高中数学复习典型题专题训练20---导数的概念与几何意义
高中数学复习典型题专题训练20
1．函数的平均变化率：
一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-，
10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-，
则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y
x x
+?-?=
??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率．
注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0．
2．函数的瞬时变化率、函数的导数：
设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-．
如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()()
f x x f x y x x
+?-?=
??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．
“当x ?趋近于零时，00()()
f x x f x x
+?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：
“当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()()
lim x f x x f x l x
?→+?-=?”，
符号“→”读作“趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作
“当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()()
lim ()x f x x f x f x x
?→+?-'=?”．
3．可导与导函数：
如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．
导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．
4．导数的几何意义：
设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()()
f x x f x y x x
+?-?=
??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化知识内容
板块一.导数的概念 与几何意义
y
D C
B A
率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD
叫做此曲线过点A 的切线，即000()()
lim x f x x f x x
?→+?-=?切线AD 的斜率．
由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．
题型一：极限与导数
【例1】
正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是（ ） A ．(0180)??， B ．(060)??， C ．(6090)??， D ．(60180)??，
【例2】
在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A ．2ππn n -??
???， B ．1ππn n -?? ???， C ．π02?? ???， D ．2
1ππn n n n --?? ???
，
【例3】
对于任意π02???
∈ ???
，都有（ ）
A ．sin(sin )cos cos(cos )???<<
B ．sin(sin )cos cos(cos )???>>
C ．sin(cos )cos cos(sin )???<<
D ．sin(sin )cos cos(sin )???<<
【例4】
若0
()lim
1x f x x →=，则0(2)
lim x f x x →=________．
【例5】
若1
(1)lim
11x f x x →-=-，则1(22)lim 1
x f x x →-=-_______．
【例6】
设()f x 在0x 可导，则()()
000
3lim
x f x x f x x x
?→+?--??等于（ ）
A ．()02f x '
B ．()0f x '
C ．()03f x '
D ．()04f x '
【例7】
若000(2)()
lim
13x f x x f x x ?→+?-=?，则0()f x '等于（ ）
A ．23
B ．3
2
C ．3
D ．2
【例8】
设()f x 在x 处可导，a b ，为非零常数，则0()()
lim
x f x a x f x b x x
?→+?--?=?（ ）
． A ．()f x ' B ．()()a b f x '+ C ．()()a b f x '- D ．()f x '
【例9】
设(3)4f '=，则0
(3)(3)
lim
2h f h f h →--=（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．3-
D ．1
【例10】 若()2f a '=，则当h 无限趋近于0时，
()()
2f a h f a h
--=______．
【例11】 已知函数2
()8f x x x
=+，则0
(12)(1)
lim
x f x f x
?→-?-?的值为 ．
典例分析
【例12】 已知1()f x x =
，则0(2)(2)lim x f x f x
?→+?-?的值是（ ）
A ．14-
B ．2
C ．1
4
D ．2-
【例13】 若2
(1)(1)2f x f x x +-=+，则(1)f '=_______．
【例14】 已知函数()f x 在0x x =处可导，则22
000[()][()]lim x f x x f x x
?→+?-=?（ ）
A ．0()f x '
B ．0()f x
C ．2
0[()]f x ' D ．002()()f x f x '
【例15】 计算32
lim 43
n n n →∞-=+________．
【例16】 222lim 23
n n n
n →∞+=-_______．
【例17】 将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*
n ∈N ，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积
记为n S ，则lim n n S →∞
= ．
【例18】 2111lim 1333n n →∞
??
+
+++= ??
?
L （ ） A ．53
B ．32
C ．2
D ．不存在
【例19】 如图，在半径为r
的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接
正六边形，如此无限继续下去．设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞
=（ ）
r O
A ．22πr
B ．28
π3
r C ．24πr D ．26πr
【例20】 22
1
12lim 3243x x x x x →??
-=
?-+-+??
______．
【例21】 若1()
n n n a n =+-，则常数a =_______．
【例22】 π
x x →=-_____．
【例23】 2
123lim
n n
n →∞++++=L _________
【例24】 0
12
lim (2)x x x x →??-= ?+??
________．
【例25】 211
lim
34
x x x x →-=+-__________．
【例26】 2
2
41lim 42x x x →??-=
?--??
（ ） A ．1- B ．14- C ．1
4
D ．1
【例27】
1
x →= ．
【例28】 设函数12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx
=+++L ，其中12n a a a n +∈∈R N L ，，，，，已知对一切
x ∈R ，有()sin f x x ≤和0sin lim
1x x
x
→=，求证：1221n a a na +++L ≤．
【例29】 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，
，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．
【例30】 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为()04，，()20，，()64，，
则((0))f f = ；0
(1)(1)
lim
x f x f x
?→+?-=? ．
（用数字作答）
【例31】 下列哪个图象表示的函数在1x =点处是可导的（
）
B.
A.
【例32】 函数2
()21f x x =+在闭区间[11]x +?，内的平均变化率为（
）
A ．12x +?
B ．2x +?
C ．32x +
? D ．42x +?
【例33】 求函数y =
0x 到0x x +?之间的平均变化率．
【例34】 若函数2
()f x x
=
，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
【例35】 求函数2
()f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，在1x =-处的瞬时变化率与导数．
【例36】 求函数3
()2f x x x
=-在1x =附近的平均变化率，在1x =处的瞬时变化率与导数．
【例37】 已知某物体的运动方程是3
199
s t t =+
，则当3t =s 时的瞬时速度是_______．
【例38】 已知某物体的运动方程是2
2
232t s t
t -=
+，则3t =时的瞬时速度是_______．
【例39】 已知物体的运动方程是23
s t t
=+
，则物体在时刻4t =时的速度v =____，加速度a = ．
【例40】 物体运动方程为4
134s t =
-，则2t =时瞬时速度为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【例41】 一质点做直线运动，由始点起经过t
s 后的距离为4321
4164
s t t t =-+，
则速度为零的时刻是（ ）
A ．4s 末
B ．8s 末
C ．0s 与8s 末
D ．0s ，4s ，8s 末
【例42】 如果某物体做运动方程为2
2(1)s t =-的直线运动（s 的单位为
m ，t 的单位为s ），那么其在1.2s
末的瞬时速度为（ ）
A ．0.88-m/s
B ．0.88m/s
C ． 4.8-m/s
D ．4.8m/s
【例43】 求y =
在0x x =处的导数．
题型二：导数的几何意义
【例44】 已知曲线1y x x =+
上一点522A ??
???
，，用斜率定义求： ⑴ 过点A 的切线的斜率；⑵ 过点A 的切线方程．
【例45】 已知曲线1
y x
=
上一点(12)A ，，用斜率定义求： ⑴过点A 的切线的斜率；⑵过点A 的切线方程．
【例46】 函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-
B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<
C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-
D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<
【例47】 求函数()a
f x ax x
=+
(0)a ≠的图象上过点A 2(1)a a +，
的切线方程．
【例48】 曲线3
2
1y x x =+-在点(11)P --，处的切线方程是（
）
A ．1y x =-
B ．2y x =-
C ．y x =
D ．1y x =+
【例49】 求曲线1
y x
=
在点(11)，的切线1l 方程，与过点(20)-，的切线2l 的方程．
【例50】 函数1y x =-
在点122??- ???
，处的切线方程为（ ） A ．4y x = B ．44y x =- C ．4(1)y x =+ D ．24y x =+
【例51】 已知曲线214y x =
的一条切线的斜率为1
2
，则切点的横坐标为_______．
【例52】 曲线3
24y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（
）
A ．30?
B ．45?
C ．60?
D ．120?
【例53】 过点(11)，作曲线3
y x =的切线，则切线方程为__________．
【例54】 曲线2
x
y x =
-在点(11)-，处的切线方程为__ ．
【例55】 若曲线2
1y x =-与3
1y x
=-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）
A
B
． C ．23 D ．23
或0
【例56】 设曲线1
1
x y x +=
-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2
B ．12
C ．1
2
- D ．2-
【例57】 设曲线2
y ax
=在点(1)a ，处的切线与直线260x y --=平行，则a =（ ） A ．1
B ．12
C ．1
2
- D ．1-
【例58】 若曲线4
y x =的一条切线l 与直线48y x =+平行，则l 的方程为______________．
【例59】 若曲线4
y x
=的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++=
【例60】 设P 为曲线C ：2
1y x x =-+上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[13]，，
则点P 纵坐标的取值范围是_______．
【例61】 设P 为曲线C ：2
23y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04
π????
?
?
，，
则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112??
--???
?，
B ．[]10-，
C ．[]01，
D ．1
12??????
，
【例62】 曲线21
x
y x =
-在点()11，
处的切线方程为（ ） A ．20x y --= B ．20x y +-= C ．450x y +-=
D ．450x y --=
【例63】 设函数2
()()f x g x x
=+，曲线()y g x =在点(1(1))g ，处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1(1))f ，处切线的斜率为（ ）
A ．4
B ．14-
C ．2
D ．1
2
-
【例64】 设()
f x 是偶函数．若曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率为1，则该曲线在点
()()11f --，处的切线的斜率为 ．
【例65】 函数sin y x =的图象上一点π3?
??
处的切线的斜率为（ ）
A ．1
B C D ．12
【例66】 曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是（
）
A
B ．
C ．
D ．0
【例67】 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3
:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在
点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ．
【例68】 抛物线2
y x bx c =++在点(1,2)处的切线与其平行线0bx y c ++=间的距离为________．
【例69】 若0y =是曲线3
y x bx c
=++的一条切线，则32()()32
b c
+=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【例70】 函数2
(0)y x x =>的图像在点(
)2
k k
a a ，处的切线与x 轴交点的横坐标为1
k a
+，其中*k ∈N ，若
116a =，则135a a a ++的值是 ．
【例71】 已知点P 在曲线4
e 1x y =
+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．π04
??
???
?
，
B ．ππ42??????，
C ．π3π24?? ???，
D ．3ππ4???
???，
【例72】 曲线2
x
y x =
+在点(11)--，处的切线方程为（ ） A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．23y x =--
D ．22y x =--
【例73】 若曲线1
2
y x
-=在点12a a -?
? ???
，处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，
则a =（ ）
A ．64
B ．32
C ．16
D ．8
【例74】 函数()ln f x x =的图象在点()e ,(e)f 处的切线方程是
．
【例75】 设曲线()1
*
n y x
n +=∈N 在点(11)，
处的切线与x 轴的交点的横坐标为n
x ，则12n x x x ?L 等于（ ）
A ．1n
B ．
11
n + C ．
1
n n +
D ．1
【例76】 直线1y kx =-与曲线ln y x =相切，则k =（ ）
A ．0
B ．1-
C ．1
D ．1±
【例77】 已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为（
）
A ．1
B ．2
C ．1-
D ．2-
【例78】 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：3
103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C
在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为____ ．
【例79】 若存在过点(10)，的直线与曲线3
y x
=和215
94
y ax x =+
-都相切，则a 等于（ ） A ．1-或2564- B ．1-或214 C ．74-或2564- D ．7
4
-或7
【例80】 已知函数2
1()()5
g x f x x =+
的图象在P 点处的切线方程为8y x =-+，
又P 点的横坐标为5，则(5)(5)f f '+=________．
【例81】 设曲线1cos sin x y x +=
在点π12??
???
，
处的切线与直线10x ay -+=平行，则实数a 等于（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2
【例82】 已知函数()log a f x x =和()2log (22)(01)a g x x t a a t =+->≠∈R ，，的图象在2x =处的切线互相
平行，则t =_______．
【例83】 ⑴曲线3
2
242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____．
⑵曲线32242y x x x =--+过点(13)-，的切线方程是_________．
【例84】 已知曲线314
33
y x =
+，则过点(24)P ，
的切线方程是_______．
【例85】 已知曲线s ：3
3y x x
=-及点(22)P -，，则过点P 可向s 引切线的条数为_____．
【例86】 曲线1
y x
=
和2y x =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是______．
【例87】 曲线12
e
x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．29e 2
B ．24e
C ．22e
D ．2e
【例88】 曲线3
y x
=在点3()(0)a a a ≠，
处的切线与x 轴、直线x a =所围成的三角形的面积为1
6
，则a = ．
【例89】 曲线313y x x =
+在点413??
???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．19 B ． 29 C ．13
D ．23
【例90】 求曲线2
21y x =-的斜率等于4的切线方程．
【例91】 若曲线
3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________．
【例92】 曲线cos y x =在点π4P ? ??
处的切线方程是 ．
【例93】 函数cos2y x =在点π04??
???
，处的切线方程是（ ） A ．42π0x y ++= B ．42π0x y -+= C ．42π0x y --= D ．42π0x y +-=
【例94】 已知函数()f x 在R 上满足()()2
2288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()
()11f ，处的切
线方程是（ ） A ．21y x =-
B ．y x =
C ．32y x =-
D ．23y x =-+
【例95】 已知曲线C ：4
3
2
3294y x x x =--+，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程．
【例96】 已知抛物线2
y ax bx c =++通过点(11)P ，，且在点(21)Q -，处与直线3y x =-相切，求实数a 、
b 、
c 的值．
【例97】 曲线(1)(2)y x x x =+-有两条平行于直线y x =的切线，求此二切线之间的距离．
【例98】 已知曲线3
2
()21f x x x =-+，求经过点(21)P ，且与曲线()f x 相切的直线l 的方程．
【例99】 已知曲线3
2y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行直线410x y --=，且点0P 在第三象限，
⑴求0P 的坐标；⑵若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．
【例100】 已知函数3
2
()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++()a b ∈R ，．
若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求a ，b 的值．
【例101】 已知函数
x x e a e x f -?+=)(（a ∈R ）的导函数是)(x f '，且)(x f '是奇函数，若曲线)
(x f y =的一条切线的斜率是2
3
，则切点的横坐标为（ ）
A ．ln 2
B ．2ln -
C ．
22ln D ．2
2
ln -
【例102】 已知函数32
()c f x x bx x d
=+++的图象过点(02)P ，，且在点(1(1))M f --，
处的切线方程为670x y -+=．求函数()y f x =的解析式．
【例103】 已知直线1l 为曲线2
2y x x =+-在点(10)，处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥，
⑴求直线2l 的方程；
⑵求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积．
【例104】 设函数()b
f x ax x
=-
，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=． ⑴求()y f x =的解析式；
⑵证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【例105】 设函数1
()()f x ax a b x b
=+
∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，
处的切线方程为3y =． ⑴求()y f x =的解析式；
⑵证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
⑶证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
【例106】 已知抛物线1C ：2
2y x x =+和2C ：2
y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和
2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．
⑴则a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程．
⑵若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．
【例107】 设0t ≠，点(0)
P t ，是函数3()f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象
在点P 处有相同的切线．试用t 表示a b c ，，．
【例108】 已知曲线1C ：2
y x
=与2C ：2(2)y x =--，直线l 与12C C ，都相切，求直线l 的方程．
【例109】 已知函数3
()f x x x =-．
⑴求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程； ⑵求曲线()y f x =过点(26)P --，的切线的方程． ⑶设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<． ⑷求过任一点()N a b ，能作的曲线3()f x x x =-的切线的条数．
【例110】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，
与抛物线2
y x =相
交于A B ，两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，， ⑴若2OA OB ?=u u u r u u u r
，求c 的值；
⑵若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线； ⑶试问⑵的逆命题是否成立？请说明理由．
【例111】 证明如下命题：
命题：设(0)C c ，是y 轴正半轴上的一动点，过C 的动直线与抛物线22(0)x py p =>交于A B
，两点，则过A B ，的抛物线的两切线的交点的轨迹方程为y c =-，且轨迹上任一点的横坐标一定是该点对应的切点弦AB 中点的横坐标．
【例112】 设Q 为直线(0)y c c =-<上任意一点，过Q 作抛物线2
2x py =(0)p >的两条切线，切点分别为
A B ，，
求证：直线AB 必过定点(0)C c ，，且线段AB 的中点的横坐标一定对应于Q 点的横坐标．
【例113】 已知函数()2ln f x x x =-．
⑴写出函数()f x 的定义域，并求其单调区间；
⑵已知曲线()y f x =在点()()00x f x ，处的切线是2y kx =-，求k 的值．
【例114】 求曲线1
2
y x =
+上的点到直线10x y ++=的距离的最小值．
高中数学导数的概念、运算及其几何意义练习题
导数的概念、运算及其几何意义 黑龙江 依兰高中 刘 岩 A 组基础达标 选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2． 已知函数f ’ (x)＝3x 2 , 则f (x)的值一定是（ ） A. 3x +x B. 3x C. 3x +c (c 为常数) D. 3x+c (c 为常数) 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f / (x)的图象是（ ） 4.下列求导数运算错误．． 的是（ ） A. 20122013x 0132c x ='+）（ (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+='）（ C. 2x cosx xsinx x cosx +='）（ D . 3ln 33x x ='）（ 5．.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12 ，则切点的横坐标为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 12 D ．1 填空题： 1．若2012)1(/ =f ，则x f x f x ?-?+→?)1()1(lim 0= ，x f x f x ?--?+→?)1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 2．函数y=(2x －3)2 的导数为 函数y= x -e 的导数为 A x D C x B
高中数学导数概念的引入
一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即 0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义: 当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的 斜率k ，即 000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数 二．导数的计算 1. 基本初等函数的导数公式 2. 导数的运算法则 3. 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值； （2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题
导数概念及意义
导数概念及意义 1．已知函数()y f x =的图象在点()() 1,1f 处的切线方程210x y -+=，则()()121f f +'的值是（ ）． A. B. 1 C. D. 2 2．设函数在x ＝1处存在导数，则＝( ) A. B. 3f ′(1) C. ′(1) D. f ′(3) 3．设函数()2 f x x x =+，则=（ ） A. -6 B. -3 C. 3 D. 6 4．设 是可导函数，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 0 5．若 ，则 （ ） A. B. C. D. 6．设函数()f x 可导，则 ） A. ()1f ' B. C. D. ()31f -' 7．函数()x f x xe =在点()() 0,0A f 处的切线斜率为（ ） A. 0 B. D. e 8在点()1,4P 处的切线与直线l 平行且距离为，则直线l 的方程为( ) A. 490x y -+= B. 490x y -+=或4250x y -+= C. 490x y ++=或4250x y +-= D. 以上均不对 9．设()1 f x x =，则()()lim f x f a x a x a -→-等于（ ） A. 1a - B. 2a C. 21a - D. 21a ()() 011lim 3x f x f x ?→+?-?
10．已知()y f x =的图象如图所示，则()'A f x 与()'B f x 的大小关系是( ) A. ()()''A B f x f x > B. ()()''A B f x f x = C. ()()''A B f x f x < D. ()'A f x 与()'B f x 大小不能确定 11．若曲线()y h x =在点()() ,P a h a 处的切线方程为210x y ++=，那么( ) A. ()'0h a = B. ()'0h a < C. ()'0h a > D. ()'h a 不确定 12( ) A. 30? B. 45? C. 135? D. 60? 13．如图，直线l 是曲线y =f (x )在x =4处的切线，则f ′(4)=( ) A. 1 2 B. 3 C. 4 D. 5 14．已知函数()3 1f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围 成的三角形的面积为( ) A. B. C. D. 2 15．曲线 在点 处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 16．设曲线2 y x =在其上一点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________． 17．设函数()y f x =的0x x =处可导，则()0f x '等 于__________．
(完整)高考文科数学导数专题复习
高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结
数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计
《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观
高中数学导数及其应用电子教案
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量；
②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。
高考文科数学专题复习导数训练题文
欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数
高考数学专题导数题的解题技巧
第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
高中数学-导数的概念及运算练习
高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A
近3年2015-2017各地高考数学真题分类专题汇总--导数及其应用
2017年高考数学试题分类汇编及答案解析---导数及其应用 一、选择题（在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的） 1（2017北京文）已知函数1()3()3 x x f x =-?则()f x （ ） .A 是偶函数?且在R 上是增函数 .B 是奇函数?且在R 上是增函数 .C 是偶函数?且在R 上是减函数 .D 是奇函数?且在R 上是增函数 2.（2017新课标Ⅱ文）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是（ ） .A (,2)-∞- .B (,1)-∞ .C (1, )+∞ .D (4,)+∞ З.（2017山东文）设()()1 21,1x f x x x <<=-≥?? ,若()()1f a f a =+,则 1f a ?? = ??? （ ）2.A 4.B 6.C 8.D 4.（2017山东文）若函数()e x f x 在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性 质.下列函数中具有M 性质的是（ ） x x f A -=2)(. .B ()2f x x = .C ()3x f x -= .D ()c o s f x x = 5.（2017新课标Ⅰ文数）函数sin21cos x y x = -的部分图像大致为（ ） б.（2017新课标Ⅰ文数）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-?则（ ） .A )(x f y =在)2,0(单调递增 .B )(x f y =在)2,0(单调递减 .C )(x f y =的图像关于直线1=x 对称 .D )(x f y =的图像关于点)0,1(对称 7.（2017天津文）已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若 0.8221 (log ),(log 4.1),(2)5a f b f c f =-==?则,,a b c 的大小关系为（ ） .A a b c << .B b a c << .C c b a << .D c a b <<
(精心整理)高中数学导数知识点归纳总结
§14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数， 记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)] ()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→
高中数学导数知识点归纳
导数及其应用 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于 P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00 ()() n n n f x f x k x x -= -，当点n P 趋近于 P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作y ',即0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 例一： 若2012)1(/=f ，则x f x f x ?-?+→? )1()1(l i m 0 = ，x f x f x ?--?+→?) 1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 2 若()f x x α =,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=
高中数学导数专题训练
精心整理 高二数学导数专题训练 一、选择题 1.一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（） A.1 B.2 C.－1 D.0 3()f x 与(f x A (f C (f 4.函数y A (5.若函数A.f(x)6.0'()f x A C 7．曲线f A (1,0)C (1,0)8．函数y A.C.9.对于R A (0)(2)2(1)f f f + 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（） A ．' 0()f x B ．' 02()f x C ．' 02()f x -D ．0 二、填空题 11．函数32 y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是.
13.曲线x x y 43 -=在点(1,3)-处的切线倾斜角为__________. 14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ??+?? 的前n 项和的公式是 . 三、解答题： 15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3 2 35y x x =+-相切的直线方程 16 17 （1）求y （2）求 y 18（I （II （III 19（I （II 20.已知x （1）求m （2）求f （3）当x AABCBACCDB 二、填空题 11．递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（1 3 -，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，1 3 ）∪（1，+∞）） 12．(,0)-∞13．3 4 π 14．1 2 2n +-()()/ 112 22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，
高中数学-导数的几何意义及应用
高中数学 导数及其应用复习学案 例2、若函数y f(x)的导函数在区间［a,b］上是增函数，则函数y f(x)在区间［a,b］上的图象 练习1.如右图：是f (x)的导函数 , 例3、(1)求曲线y 2x 1 在点1,1 处的切线方程。2 5 (2)求抛物线y= x过点一,6的切线方程 2 (C) (A)(B) f/(x) 的图象如右图所示，则 f ( X)的图象只可能是(
练习：若存在过点(1,0)的直线y X 3和y ax 2 15 X 9都相切，则a 等于( ) 4 25 21 _ 7 25 7 . A.-1 或- B. 1 或 C.—或- D.—或 7 64 4 4 64 4 7.曲线y = x 2— 2x + a 与直线y = 3x + 1相切时，常数a 的值是 ____________ . 类型三：利用导数研究函数的单调性 例4、已知a , b 为常数，且 0，函数f (x ) =-ax+b+axInx , f(e)=2 (e=2.71828…是自然对数的底数) (I) 求实数b 的值； (II) 求函数f (x )的单调区间； 例5、已知函数f(x)= ax _1在(一2,+^ )内单调递减，求实数 a 的取值范围 x 2 1 1 练习：若函数y= — x 3— ax 2+ (a — 1) x+1在区间(1, 4)内为减函数，在区间(6, +1 内为增函数，试 3 2 求实数a 的取值范围 类型四：导数与极值 ln x 例6求函数f x 的极值。 x 3 2 2 例7、已知f x x 3ax bx a 在x 2、直线y = a 与函数f(x) = x 3 — 3x 的图象有相异的三个公共点，则求 a 的取值范围。 类型五：导数与最值 例8、已知函数f(x)=(x-k)e (1)求f(x)的单调区间； 1有极值0,求常数a,b 的值 _ 3 2 练习 1、已知 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围是() (A ) -1 v a v 2 (B ) -3 v a v 6 (C ) a v -1 或 a > 2 (D ) a v -3 或 a > 6
高中数学学案-导数的概念及计算
高中数学学案 导数及其应用 第1讲导数的概念及计算 考点导数的概念及其几何意义 知识点 1 导数的有关概念 (1)导数：如果当Δx→0时，Δy Δx有极限，就说函数 y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个极限叫 做f(x)在x＝x0处的导数(或瞬时变化率)．记作f′(x0)或y′|x＝x ，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx→0 f x0＋Δx－f x0 Δx. (2)导函数：如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，那么其导数值在(a，b)内构成一个新的函数，我们把这个函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数．记作f′(x)或y′. 注意点 如果函数f(x)在x＝x0处可导，那么函数y＝f(x)在x＝x0处连续. 2 导数的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3 几种常见函数的导数 原函数导数 y＝C(C为常数)y′＝0 y＝x n(n∈Q*)y′＝nx n－1 y＝sin x y′＝cos x y＝cos x y′＝－sin x y＝e x y′＝e x y＝ln x y′＝1 x y＝a x(a>0，且a≠1)y′＝a x ln_a
y ＝log a x (a >0，且a ≠1) y ′＝ 1 x ln a 4 导数的四则运算法则 若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ③?? ?? ??f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)． 注意点 “过某点”和“在某点”的区别 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0， y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点. 入门测 1．思维辨析 (1)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (4)若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a >0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1 x .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．(1)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C.ln 2 2 D ．ln 2 (2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 答案 (1)B (2)B 解析 (1)由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1. 根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.
(完整版)高中数学导数压轴题专题训练
高中数学导数尖子生辅导（填选压轴） 一．选择题（共30小题） 1．（2013?文昌模拟）如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（） A．B．C．D． 考点：利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化． 专题：计算题；压轴题；数形结合． 分析：先利用图象得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，求出其导函数，利用x1，x2是原函数的极值点，求出x1+x2=，，即可求得结论． 解答：解：由图得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x， ∴f'（x）=3x2﹣2x﹣2 ∵x1，x2是原函数的极值点 所以有x1+x2=，， 故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==． 故选D． 点评：本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础题． 2．（2013?乐山二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（） A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．γ＞α＞βD．β＞γ＞α 考点：导数的运算． 专题：压轴题；新定义． 分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可． 解答： 解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2， 由题意得： α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2， ①∵ln（β+1）=， ∴（β+1）β+1=e， 当β≥1时，β+1≥2， ∴β+1≤＜2， ∴β＜1，这与β≥1矛盾， ∴0＜β＜1； ②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，
高中数学导数及其应用
高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点?１、导数定义的认知与应用； ?2、求导公式与运算法则的运用; ? 3、导数的几何意义； ?4、导数在研究函数单调性上的应用; ５、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。??三、知识要点? (一)导数?１、导数的概念?（1)导数的定义 （Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x（△ｘ可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果
时,有极限,则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率）,记作 ,即 。 ?(Ⅱ）如果函数在开区间(）内每一点都可导，则说在开区间()内可导,此时,对于开区间(）内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间(）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间( )内的导函数(简称导数),记作或, 即。??认知： （Ⅰ)函数的导数是以ｘ为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当 时的函数值。 （Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲: ①求函数的增量 ;? ②求平均变化率； ③求极限?上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。?? (2)导数的几何意义:?函数在点处的导数，是曲线在点 处的切线的斜率。? (3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别:?（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续;?若函数在开区间(）内可导,则在开区间（）内连续(可
导一定连续）。??事实上，若函数在点处可导，则有 此 时,? ? ? ?记 ,则有即在点处连续。?（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。?反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量?当 时，, ；?当时，, 由此可知，不存在，故在点处不可导。??2、求导公式与 求导运算法则 （１）基本函数的导数(求导公式） 公式1 常数的导数：(c为常数），即常数的导数等于0。??公式2 幂函 数的导数:。? 公式3 正弦函数的导数:。??公式4 余弦函数的导数： ??公式5 对数函数的导数:? (Ⅰ)； ?（Ⅱ）
高中数学导数及其应用
高中数学导数及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如
在点处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间 （）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率；
③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时，
高中数学选修2-2导数的概念
导数的概念 教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。 教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课： 上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。 二、新授课： 1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?，如果0→?x 时，y ?与x ?的比 x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即 x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0。 3.x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率。 4.导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。 5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ?无关。 6.在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成0 0000/)()(lim )()(lim )(0x x x f x f x x f x x f x f x x o x --=?-?+=→→?。