高一数学必修1知识点总结及练习题

期中考复习

第一章集合与函数概念（10，11班）

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性如：世界上最高的山(P1,1)

(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（解题时，

最后注意检验是否满足互异性）研究p3,7、8;

(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

◆注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

2，集合的表示法（研究P2，8；）

1）列举法：{a,b,c……}

2）描述法：

M={y|y=x2-2x+1,x∈

R}

M={x|y=x2-2x+1,x∈

R}(注意代表元

素！)(P5,2)

3）Venn图:（研究P5，4/7/9）

4、集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合

(2)无限集含有无限个元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝（研究P3，2）

二、集合间的基本关系（切记，有包含关系要优先考虑空集）(P3、10)

1.“包含”关系—子集（最高次项前面有参数时，要讨论它与0的关系）

注意：B

A?

有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作

A

B(或

B A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④如果A?B 同时 B?A 那么A=B

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

三、集合的运算（ p3,6;P4，4/7/10,P5，10;P6,5/8）

运算类型交集并集补集

定义由所有属于A且属于B的

B（读作‘A交B’），即

B=｛x|x∈

A，且x∈B｝．

由所有属于集合A或属于集

B（读作‘A并B’），即A

B ={x|x∈A，或x

∈B})．

设S是一个集合，A是S的一

记作A

C

S

，即

C S A=}

,

|

{A

x

S

x

x?

∈且

韦

恩

图

示

A B

图1

A B

图2

性

质

A A=A

A Φ=Φ

A B=

B A

A B?A

A B?B

A A=A

A Φ=A

A B=

B A

A B?Ａ

A B?B

(C u A) (C u B)

= C u (A B)

(C u A) (C u B)

= C u(A B)

A (C u A)=U

A (C u A)= Φ．

例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是（）

A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a，b，c }的真子集共有个

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x∈R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .

4.设集合A=}

{12

x x

<<，B=}

{x x a<，若A?B，则a的取值范围是

5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值(注意：解不等式时，乘以除以一个数时，注意讨论它的符号，如果是负数，记住变号。)

二、函数的有关概念定义(P9，1/;P10，1)

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

（1）具体函数的定义域时列不等式组的主要依据是(P30,9;P37,2/4)

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

S

A

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 抽象函数定义域：(P9,6;P21,5;) ◆ 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； ◆ ②定义域一致 (P 9，3时具备) 2．值域 : 先考虑其定义域(P9，7/8;P10，10/6;P14，6) (1)观察法 （遇见上下都有x ，优先分离常数） (2)配方法 (3)代换法 2、函数的解析表达式(P10，9、4) 求函数的解析式的主要方法有：

1) 凑配法已知f 1x x ??- ??

?＝x 2＋21x ，求f(x) 2) 待定系数法已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x －1，求f(x)

3) 换元法已知f(x ＋2)＝x ＋4x ，求f(x)（注意新换元的范围） 4) 消参法（函数方程法）已知：2132()()f x f x x -= 3. 函数图象知识归纳 A 、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换（P10，2） 4．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 5．映射（箭射靶，且箭要全射出去）定义：(P11，1/3/5/6/7/9/10) 对于映射f ：A →B 来说，则应满足： (1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。

一一映射：一对一，且集合B 当中没有多余的元素（P11，8）

6.分段函数 （一般画图处理题目）（P11，9;P12，7;P24，10)

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

注意：分段函数单调性，除了保证每一段的单调性，还要保证最值之间

的关系，即整体的单调性。（

补充：复合函数

如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。

二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质)(P12，1/2;P14，2/3)

（1）增函数 设定义域I 如果对于内某个任意两自变量当时都有1<2)，那么就说f (x 在区间D 上是增函数.称为y =的单调如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1

(C)复合函数的单调性(P14，4;p31,9;P39,8)

复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. （D ）利用已知函数的单调性。（一次函数，二次函数，反比例函数，

双勾函数，对数函数，指数函数）(P12，3/4/5/6;P14，1/5) 注：增+增=增；减加减=减（P13，3/4） 8．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（图像法） 利用定义判断函数奇偶性的步骤： ○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○2确定f(－x)与f(x)的关系； ○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(注意：（1）函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对奇*奇=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇 （2）奇函数在对称区间单调性相同，如果x=0有意义，注意利用f(0)=0解题；偶函数在对称区间单调性相反。 9.抽象函数的单调性和奇偶性(P14，9;P15，10;P24，11，12;P23，9/6) 10．函数最大（小）值 ○1 利用二次函数的性质求函数的最大（小）值 (P16，9/2/5/8;P17，8）先画图，画出对称轴，移动区间 对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：

（1）若[]n m a b ,2∈-，则()()()?

?????

???

??-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()?

????????

??-=n f a b f m f x f ,2,min min

；

（2）若[]n m a

b

,2?-

，则()()(){}n f m f x f ,max max =，()()(){}n f m f x f ,min min = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。 ○2 利用图象求函数的最大（小）值(P22，5;) ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)； 11:恒成立问题转化为最值问题，（一般求什么，就把它放到一边。）(p24,9;P17,8;P37,6/7/10；p44,6;p45,4;) 例题： 1.求下列函数的定义域： ⑴221533

x x y x --=

+- ⑵211()

1x y x -=-+ 2.设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2

的定义域为_ _

3.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是

4.函数22(1)

()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<

?≥?

，若()3f x =，则x =

5.求下列函数的值域：

⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ (3)12y x x =-- (4)245y x x =-++ 6.已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式 7.已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。

8.设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时,3()(1)f x x x =+,则当(,0)x ∈-∞时()f x = ()f x 在R 上的解析式为 9.求下列函数的单调区间：

⑴ 223y x x =++ ⑵223y x x =-++ ⑶ 261y x x =-- 10.判断函数13+-=x y 的单调性并证明你的结论．

11.设函数22

11)(x x x f -+=判断它的奇偶性并且求证：)()1(x f x

f -=．

第二章 基本初等函数 一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n

n =，当n 是偶数时，?

??<≥-==)0()0(||a a a a a a n n

2．分数指数幂，正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m

，)1,,,0(1

1*>∈>==-n N n m a a a

a n

m n

m n m

◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

（1）r a ·

s

r r a a +=),,0(R s r a ∈>

（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>

（3）

s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈> 注意利用平方差公式，完全平方之间的关系，以及立方差公式。（p27,9,10,p28,9/10;p29,4/6） （二）指数函数及其性质)1,0(≠>=a a a y x

且（注意值域大于零） 2、指数函数的图象和性质

a>1 0

6

5

4321

-1

-4-2

2460

1

6

5

4

3

2

1

-1

-4-2

246

1

定义域 R 定义域 R 值域y ＞0

值域y ＞0

在R 上单调递增 在R 上单调递减 非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，

)1a 0a (a )x (f x

≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或

)]a (f ),b (f [；

（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；

（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；

二、对数函数 （切记真数大于零，注意定义域） （一）对数 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；

○

2 x N N a a x =?=log ； ○

3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：

○

1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○

2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． （二）对数的运算性质

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○

1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○

2 =N

M

a log M a log －N a log ； ○

3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式

a

b

b c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．

利用换底公式推导下面的结论(P35,3/5/6/8/9;P36,3/4/6/8) （1）b m n

b a n a m log log =

；（2）a

b b a log 1log =

．（3） (注意：解对数指数方程不等式，或者比较大小都是化为同底数。若真

数一样，利用换底公式（2）；

同时解对数方程时，要验根，是否真数大于0)

（二）对数函数(区别清楚定义域为R 和值域为R ，x2前面有参数时，别忘记讨论它与0的关系)

1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：

x y 2log 2=，5

log 5

x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○

2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2、对数函数的性质：

a>1

0

32.521.5

1

0.5-0.5

-1-1.5-2-2.5

-1

1

23456780

11

32.521.5

1

0.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-1

1

2345678

1

1

定义域x ＞0 定义域x ＞0

值域为R 值域为R 在R 上递增 在R 上递减 函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0） 注意：对于y=loga g(x),若u=g(x)为二次函数，先画图，取x 轴上半部的图像，再结合图像解题。（一定注意先求定义域，真数大于0） f(x)= 的图像要记住，若有f(a)=f(b),则a,b 互为倒数。 （三）幂函数αx y =（a=-1,1/2,2,3的图像必须掌握）

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；

（3）0<α时，幂函数的图象在区间

),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．(p22,1)

总结：幂函数在第一象限为减函数，则0<α;为增函数，则0>α；幂函数为奇函数，则a 为奇数，为偶函数则a 为偶数（p22,9） 第三章 函数的应用

即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点

?函数)(x f y =有零点．

3、函数零点的求法：

○

1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点： 二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y ．

（1）根的分布：画图！！看四点、开口方向，⊿，对称轴，端点值的符号。（注意隐含条件， 和经过的定点）没有隐含条件时，切记每一个都要考虑。

（2）两个正根，两个复根，一正一负根时一般用维达定理.（除了一正一负隐含了德塔大于零，其他时候不要忘记德塔）

（3）若已知一个根，代入求出参数，再解方程，检验另外一根是否满足条件。

N a log