人教版 九年级数学 第22章 二次函数 综合训练(含答案)

人教版九年级数学第22章二次函数综合训

练

一、选择题

1. 二次函数y＝x2－2x－2的图象与坐标轴的交点个数是()

A．0 B．1 C．2 D．3

2. 已知二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则它与x轴的另一个交点的坐标是()

A．(1，0) B．(－1，0) C．(－3，0) D．(3，0)

3. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD的总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()

A．18 m2B．18 3 m2C．24 3 m2 D.45 3

2m

2

4. 若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是() A．b＜1且b≠0 B．b＞1

C．0＜b＜1 D．b＜1

5. 已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是()

A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1

C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0

6. 如图，利用一面墙，其他三边用80米长的篱笆围成一块矩形场地，墙长为30米，则围成矩形场地的最大面积为()

A．800平方米B．750平方米

C．600平方米D．2400平方米

7. （2020·襄阳）二次函数

y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论：①ac ＜0；

②3a ＋c ＝0；③4ac －b 2＜0；④当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小．其中正确的有（ ）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

8. (2019?泸州)已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是 A ．2a < B ．1a >- C ．12a -<≤ D ．12a -≤<

二、填空题

9. 某抛物线与抛物线y ＝7x 2的形状、开口方向都相同，且其顶点坐标为(－2，5)，则该抛物

线的解析式为__________________．

10. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线，

若点P (4，0)在该抛物线上，则4a －2b ＋c 的值为________．

11. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为

12 m 时，桥拱顶部离水面4 m ，

以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系．若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式为y ＝－1

9 (x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式为________________．

12. 二次函数

y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图22－2－2所示，若方程ax 2＋bx ＋c ＝

k

有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_______．

13. 某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：

(1)月销量y(件)与售价x(元/件)的关系满足y＝－2x＋400；

(2)工商部门限制售价x满足70≤x≤150(计算月利润时不考虑其他成本)．

给出下列结论：

∠这种文化衫的月销量最小为100件；

∠这种文化衫的月销量最大为260件；

∠销售这种文化衫的月利润最小为2600元；

∠销售这种文化衫的月利润最大为9000元．

其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上)

14. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．

三、解答题

15. 若关于x的函数y＝(m2－1)x2－(2m＋2)x＋2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．

16. 已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是直线x＝－1.

(1)求m，n的值；

(2)当x取何值时，y随x的增大而减小？

17. （2020·新疆）某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．

（1）A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？

（2）由于需求量大，A 、B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A 款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的两倍．若A 款保温杯的销售单价不变，B 款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？

18. 如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案，按照图中的直角坐标系，

最左边的抛物线可以用y ＝ax 2＋bx (a ≠0)表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的

距离均为34 m ，到墙边OA 的距离分别为12 m ，3

2

m.

(1)求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；

(2)若该墙的长度为10 m ，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案？

人教版 九年级数学 第22章 二次函数 综合训

练-答案

一、选择题 1. 【答案】D

2. 【答案】C

[解析] 抛物线的对称轴为直线x ＝－2a

2a ＝－1.因为抛物线与x 轴的

两个交点关于对称轴对称，所以它与x 轴的另一个交点的坐标是(－3，0)．

3. 【答案】C

[解析] 如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，

则四边形ADCE 为矩形，∠DCE ＝∠CEB ＝90°，

则∠BCE ＝∠BCD －∠DCE ＝30°. 设CD ＝AE ＝x m ，则BC ＝(12－x)m.

在Rt∠CBE 中，∵∠CEB ＝90°，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝12BC ＝(6－1

2x)m ，

∴AD ＝CE ＝BC 2－BE 2

＝(6 3－32 x )m ，AB ＝AE ＋BE ＝x ＋6－12 x ＝(12 x ＋

6)m ，

∴梯形ABCD 的面积＝1

2(CD ＋AB)·CE ＝12(x ＋12x ＋6)·(6 3－32x) ＝－3 3

8x 2＋3 3x ＋18 3 ＝－3 3

8(x －4)2＋24 3.

∴当x ＝4时，S 最大＝24 3.

即CD 的长为4 m 时，梯形储料场ABCD 的面积最大为24 3 m 2.故选C.

4. 【答案】A

【解析】 ∵函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交

点，∴???（－2）2－4b >0，b ≠0，解得b ＜1且b ≠0.

5. 【答案】C

[解析] ∠y ＝ax 2(a ＞0)，∠抛物线的开口向上，对称轴为y 轴，当x

＝0时，函数取得最小值，最小值是0.∠A(－2，y 1)在对称轴的左侧，B(1，y 2)在对称轴的右侧，点A 到对称轴的距离大于点B 到对称轴的距离，∠y 1>y 2>0.故选C.

6. 【答案】B

[解析] 设矩形场地中平行于墙的边长为x 米，则垂直于墙的边长为

80－x

2米，围成矩形场地的面积为y 平方米， 则y ＝x ·

（80－x ）2＝－12x 2＋40x ＝－12

(x －40)2

＋800. ∵a <0，∴x <40时，y 随x 的增大而增大，由于墙长为30米，∴0

2×(30－40)2＋800＝750.

7. 【答案】B

【解析】（1）由抛物线开口向上且与y 轴的负半轴相交，得a ＞0，c ＜0，从而

ac ＜0，于是①正确；（2）由抛物线的对称轴为x ＝1，得－2b

a

＝1，于是b ＝－

2a ．由抛物线过点(－1，0)，得a －b ＋c ＝0，于是a －(－2a )＋c ＝0，即3a ＋c ＝0，从而②正确；（3）由抛物线与x 轴有两个不同的交点，得b 2－4ac ＞0，从而4ac －b 2＜0，于是③正确；（4）由图可知，当－1＜x ≤1时，y 随着x 的增大而减小，当x ＞1时，y 随着x 的增大而增大，于是④错误．综上，结论正确的有3个，故选B ． 8. 【答案】D

【解析】(1)(1)37y x a x a a =---+-+22236x ax a a =-+-+， ∵抛物线与x 轴没有公共点，

∴22(2)4(36)0a a a ?=---+<，解得2a <， ∵抛物线的对称轴为直线22

a

x a -=-

=，抛物线开口向上， 而当1x <-时，y 随x 的增大而减小， ∴1a ≥-，

∴实数a 的取值范围是12a -≤<， 故选D ．

二、填空题

9. 【答案】y ＝7x 2＋28x ＋33 [解析] 设该抛物线的解析式为y ＝a(x －h)2＋k.

∵该抛物线与抛物线y ＝7x 2的形状、开口方向都相同，∴a ＝7. 又∵其顶点坐标为(－2，5)，

∴它的解析式为y ＝7(x ＋2)2＋5，整理，得y ＝7x 2＋28x ＋33.

10. 【答案】0

【解析】设抛物线与x 轴的另一个交点是Q ，∵抛物线的对称轴是

过点(1，0)的直线，与x 轴的一个交点是P(4，0)，∴与x 轴的另一个交点Q(－2，0)，把(－2，0)代入解析式得：0＝4a －2b ＋c ，∴4a －2b ＋c ＝0.

11. 【答案】y ＝－1

9(x ＋6)2＋4

12. 【答案】k <2

【解析】 从图象上来看，当k <2时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与

直线y ＝k 有两个不同的交点，此时方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根．

13. 【答案】①②③

[解析] 由题意知，当70≤x≤150时，y ＝－2x ＋400，

∵－2＜0，∴y 随x 的增大而减小，

∴当x ＝150时，y 取得最小值，最小值为100，故①正确； 当x ＝70时，y 取得最大值，最大值为260，故②正确； 设销售这种文化衫的月利润为W 元，

则W ＝(x －60)(－2x ＋400)＝－2(x －130)2＋9800， ∵70≤x≤150，

∴当x ＝70时，W 取得最小值，最小值为－2(70－130)2＋9800＝2600，故③正确；

当x ＝130时，W 取得最大值，最大值为9800，故④错误． 故答案为①②③.

14. 【答案】1.6

秒 【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可

知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为t ＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同. 故该距离为0.5秒， 所以此时第一个小球抛出后t ＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．

三、解答题

15. 【答案】

解：①当m 2－1＝0且2m ＋2≠0，即m ＝1时，该函数是一次函数，其图象与x 轴只有一个公共点；

②当m 2－1≠0，即m ≠±1时，该函数是二次函数，则 Δ＝[－(2m ＋2)]2－8(m 2－1)＝0， 解得m 1＝3，m 2＝－1(舍去)． 综上所述，m 的值是1或3.

16. 【答案】

解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点P (－3，1)，对称轴是直线x ＝－1，

∴?????1＝9－3m ＋n ，－m 2

＝－1，解得???m ＝2，n ＝－2.

(2)由(1)知二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －2.

∵a ＝1＞0，∴抛物线的开口向上， ∴当x ≤－1时，y 随x 的增大而减小．

17. 【答案】

解：（1）设A 款保温杯的销售单价是x 元，根据题意得360x ＝480

10x +，解得x ＝

30．经检验，x ＝30是分式方程的解．x ＋10＝40．答：A 、B 两款保温杯的销售单价分别是30元，40元．

（2）设再次购进a 个A 款保温杯，(120－a)个B 款保温杯，此时所获利润为w 元，则W ＝(30－20)a ＋[40×(1－10%)－20](120－a)＝－6a ＋1 920，∴W 是a 的一次函数．∵－6＜0，∴W 随a 的增大而减小．由题意得a≥2(120－a)，解得a≥80．∴当a ＝80时，W 最大，最大为－6×80＋1 920＝1 440（元），此时120－a ＝40．答：购进80个A 款保温杯，40个B 款保温杯才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少1 440元．

18. 【答案】

解：(1)由题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx(a ≠0)经过点B(12，34)，C(32，3

4)， 则?????14a ＋12b ＝3494a ＋32b ＝34

，解得???a ＝－1b ＝2，

∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋2x.(3分) 根据对称性知，抛物线的对称轴是x ＝－b

2a ＝1， 当x ＝1时，y ＝1， ∴顶点坐标是(1，1)．

答：图案最高点到地面的距离是1 m ．(5分) (2)∵抛物线的对称轴是x ＝1，

∴一个图案与地面两交点间的距离是2 m ，10÷2＝5. 答：最多可以连续绘制5个这样的抛物线型图案．(8分)