(1502)黄金分割专项练习30的题目(有问题详解)
黄金分割专项练习30题（有答案）
1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．
（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；
（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；
（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）
3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．
（1）尺规作图并保留作图痕迹；
（2）写出你的作法；
（3）证明：腰与底之比为黄金比．
5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；
（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．
6．如图，线段AB的长度为1．
（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度；
（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度；
（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度；
上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．
8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．
9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD
为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．
10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．
为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．
11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：
（1）AD=BD=BC；
（2）点D是线段AC的黄金分割点．
12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值．
13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在
黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．
14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD 的长．
15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？
16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，
BE交DC于点F，已知，求CF的长．
19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的
折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．
20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的
黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．
（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；
（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；
（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图
3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；
（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？
21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）
22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．
23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．
24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．
25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．
（1）求∠B的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）
等于黄金比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长；
③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．
26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美
感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．
27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．
（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）
注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．
（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．
答：CM与AB之间的数量关系是．
28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：
第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．
第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）
29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
（3）设，试求k的值；
（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．
30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF 是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．
黄金分割专项练习30题参考答案:
1．（1）证明：∵AB=AC=1，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴DA=DB，BD=BC，
∴AD=BD=BC，
易得△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD?AC，
∴AD2=CD?AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，
∵AD2=CD?AC，
∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，
即AD的长为
2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，
根据题意得x（20﹣x）=99，
整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，
当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，
而AB＞AD，
所以x=11，即AB的长为11cm；
（2）不能．理由如下：
设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，
根据题意得x（20﹣x）=101，
整理得x2﹣20x+101=0，
因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，
所以方程没有实数解，
所以这个矩形的面积可能等于101cm2；
（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，
根据题意得20﹣x=x，
解得x=10（﹣1），
则20﹣x=10（3﹣），
所以矩形的面积=10（﹣1）?10（3﹣）=（400﹣800）cm2．3．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴=，即=，
∴AD2=AC?CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD=AC，
∵AC=2，
∴AD=﹣1
4．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，
（2）作法：①画线段AB作为三角形底边；
②取AB的一半作AB的垂线AC，连接BC，在BC上取CD=CA．
③分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为E；
④分别连接EA、EB，则△ABE即是所求的三角形．
（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC﹣CD=﹣1，
=．
5．解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，
则AP=2×=﹣1，
或AP=2﹣（﹣1）=3﹣；
（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．
6．解：（1）设AC=x，则BC=AB﹣AC=1﹣x，
∵AC2=BC?AB，
∴x2=1×（1﹣x），
整理得x2+x﹣1=0，
解得x1=，x2=（舍去），
所以线段AC的长度为；
（2）设线段AD的长度为x，AC=l，
∵AD2=CD?AC，
∴x2=l×（l﹣x），
∴x1=，x2=（舍去），
∴线段AD的长度AC；
（3）同理得到线段AE的长度AD；
上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），则C点为AB的黄金分割点
7．解：D是AC的黄金分割点．理由如下：
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB==72°．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠ABC=36°．
∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴BC=BD．
∵∠A=∠1，
∴AD=BC．
∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
又∵AB=AC，AD=BC=BD，
∴，
∴AD2=AC?CD，即D是AC的黄金分割点
8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，交于AC于D，
∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，
∴∠A=∠DBC，
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC，
∴
∵AB=AC，
∴=，
∵AB=AC=2，BC=﹣1，
∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），
解得AD=，
AD：AC=（）：2．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．
∵AE=BC，DF=BC，
∴AE=DF=BC=AD，
又∵∠ADF=90°，
∴四边形AEFD是正方形．
BE=，
∴，
∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．
10．解：设正方形ABCD的边长为2，
在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，
由勾股定理知EB===，
∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，
HB=AB﹣AH=3﹣；
∴AH2=（）2=6﹣2，
AB?HB=2×（3﹣）=6﹣2，
∴AH2=AB?HB，
所以点H是线段AB的黄金分割点．
11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∵∠ADB=108°，
∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，
∴△ADB是等腰三角形，
∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，
∴△BDC是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．
（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=AC?DC，
∵BC=AD，
∴AD2=AC?DC，
∴点D是线段AC的黄金分割点．
12．解：∵D在AB上，且AD2=BD?AB，
∴点D是AB的黄金分割点
而点C是AB的黄金分割点，
∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，
∴==或==．
13．解：矩形ABFE是黄金矩形．
∵AD=BC，DE=AB，
∴==﹣1==．
∴矩形ABFE是黄金矩形．
14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），
∴AD=AB=10﹣10，
∵EC+CD=AC+CD=AD，
∴EC+CD=（10﹣10）cm．
15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，
根据题意得x：1.70=0.618，
即x=1.70×0.618≈1.1（m）．
答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．
16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，
∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，
DM=AD﹣AM=3﹣．
故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；
（2）点M是AD的黄金分割点．
由于=，
∴点M是AD的黄金分割点．
17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴AP2=BP×AB，
又∵S1=AP2，S2=PB×AB，
∴S1=S2．
18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，
∴△BCF∽△EAB，
∴，即，
把AD=，AB=+1代入得，=，
解得：CF=2．
故答案为：2．
19．解：矩形EFDC是黄金矩形，
证明：∵四边形ABEF是正方形，
∴AB=DC=AF，
又∵，
∴，
即点F是线段AD的黄金分割点．
∴，
∴，
∴矩形CDFE是黄金矩形．
20．解：
（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；
（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，
由得，BP2=AP×AB，
即k2=（1﹣k）×1，
解得k=，
∵k＞0，
∴k=≈0.618；
（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则
，
∴
∴直线CP是△ABC的黄金分割线．
（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．
21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，
设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：
=0.618，
解得：x≈7.5cm．
故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．
22．解：设正方形ABCD的边长为2a，
在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，
由勾股定理知EB==a，
∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，
HB=AB﹣AH=（3﹣）a；
∴AH2=（6﹣2）a2，
AB?HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，
∴AH2=AB?HB，
所以点H是线段AB的黄金分割点．
23．证明：设正方形ABCD的边长为2，
E为BC的中点，
∴BE=1
∴AE==，
又∵B′E=BE=1，
∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，
∴AB″
∴点B″是线段AB的黄金分割点．
24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，
∴BE=1
∴AE==，
∵EF=BE=1，
∴AF=AE﹣EF=﹣1，
∴AM=AF=﹣1，
∴AM：AB=（﹣1）：2，
∴点M是线段AB的黄金分割点．
25．解：（1）∵BD=DC=AC．
则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．
设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．
又∠BOC=108°，
∴∠B+∠A=108°．
∴x+2x=108，x=36°．
∴∠B=36°；
（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．
∵DB=DC，∠B=36°，
∴△DBC是黄金三角形，
（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．
∴△CDA是黄金三角形．
或∵∠ACE=108°，
∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，
∴∠A=∠ACB．
∴BA=BC．
∴△BAC是黄金三角形．
②△BAC是黄金三角形，
∴，
∵BC=2，∴AC=﹣1．
∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，
∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，
③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．
ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．
26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，
∵N为BC的中点，
∴NC=BC=a．
在Rt△DNC中，．
又∵NE=ND，
∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．
∴．
故矩形DCEF为黄金矩形．
27．解：（1）
（2）CM=AB（4分）
28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．
在Rt△BCF中，BF==，
则A′F=BF﹣BA′=﹣1．
设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，
在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，
即，
解得x=，
即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．
29．解：（1）如图所示；
（2）△BCD是黄金三角形．
证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A．
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠ABD=∠DBC=36°．
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴△BCD是黄金三角形．
（3）设BC=x，AC=y，
由（2）知，AD=BD=BC=x．
∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴，即，
整理，得x2+xy﹣y2=0，
解得．
因为x、y均为正数，所以．
（4）．
理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ACB=∠B=72°，
∴∠ACE=180°﹣72°=108°，
∴∠ACE=∠B1A1C1．
∵A1B1=AB，
∴AC=CE=A1B1=A1C1，
∴△ACE≌△B1A1C1，
∴AE=B1C1．
由（3）知，
∴，，
∴．
30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h．
则，，，
∴，．
又∵点D为边AB的黄金分割点，
∴，
∴．
故直线CD是△ABC的黄金分割线．
（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴，即，
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
（3）∵DF∥CE，
∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，
∴S△DFC=S△DFE，
∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．
又∵，
∴．
因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）
（4）画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
（9分）
2020年中考复习--黄金分割专题训练(一)(有答案)
2020中考复习--黄金分割专题训练（一） 一、选择题 1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为() A. 0.191 B. 0.382 C. 0.5 D. 0.618 2.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么 它到塔底部的距离大约是() A. 289.2m B. 178.8m C. 110.4m D. 468m 3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那 么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为() A. 1?x x =x 1 B. 1?x 1 =1 x C. x 1?x =1?x 1 D. 1?x x =x √5 4.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是() A. 2√5?2 B. 6?2√5 C. √5?1 D. 3?√5 5.一条线段的黄金分割点有()个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个 6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分 割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD， 取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE， 以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分 割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积 为S2，则S1与S2的大小关系是() A. S1>S2 B. S1
(1502)黄金分割专项练习30题
黄金分割专项练习 1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长． 2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）． （1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度； （2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由； （3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号） 9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD 为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．
10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点． 为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说． 12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值． 14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD 的长． 15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？
黄金分割专题练习
.. 资料 《黄金分割》专题练习 一、选择题 1．已知C 是线段AB 的一个黄金分割点，则 AC ∶AB 为（ ）A ． 21 5 B ． 2 5 3 C ． 2 1 5 D ． 2 1 5或 2 5 32．若 1y y x 黄金数，则 y x 的值是（） A ．5 5 B ． 2 1 C ． 2 5 D ． 5 3．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ） A ．5 3 B ． 1 5 C ．5 1 D ． 5 34．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美 感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割。在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉。如果某女士身高为 1.60m ， 躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（） A ．2.5cm B ．5.1cm C ．7.5cm D ．8.2cm 5．如图，在正五边形 ABCDE 中，对角线AD 、AC 与EB 分别相交于点 M 、N ．下列命题： ①四边形EDCN 是菱形；②四边形MNCD 是等腰梯形；③△AEN 与△EDM 全等；④△AEM 与△CBN 相似； ⑤点M 是线段AD 、BE 、NE 的黄金分割点，其中假命题有（）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个 二、填空题 1．C 是AB 的黄金分割点，则 BC AC 。 2．P 为线段AB ＝10cm 的黄金分割点，则 AP ＝ cm （保留两个有效数字）。 3．当人的肚脐到脚底的距离与身高的比等于黄金分割比0.618时，身材是最完美的。一位身高为 165cm ，肚脐到头顶高度为65cm 的女性，应穿鞋跟为 cm 的高跟鞋才能使身材最完美（精确到1cm ）。4．如图，节目主持人现站在舞台 AB 的一端A 点，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果， 若舞台AB 长20米，主持人要想站在舞台的黄金分割点处， 她应走到距A 点至少 米处，如果向 B 点再走 米，也处在舞台的黄金分割点处（结果精确到 0.1米）
黄金分割
第1节黄金分割 一、兔子问题和斐波那契数列 1.兔子问题 问题与解答 意大利数学家斐波那契（L.Fibonacci，1170-1250）在《算盘书》（1202年）中曾经收录一个有趣的民间数学问题——兔子问题，叙述如下： 设初生的兔子一个月以后成熟，而一对成熟兔子每月会生一对兔子。假设每次生的一对兔子都是一雌一雄。且所有的兔子都不病不死，那么，又发一对初生兔子开始，12个月后会有多少对成熟兔子呢？ 我们可以一个月一个月地往下数来求出答案。 第1个月有1对初生兔子；第2个月有1对成熟兔子；第3个月有1对成熟兔子和1对初生兔子；第4个月有两对成熟兔子和1对初生兔子；第5个月有3对成熟兔子和两对初生兔子；第6个月有5对成熟兔子和3对初生兔子；等等。这样一直数到第13个月，知道有144对成熟兔子，这就是答案。 现在从第1个月后起，把每个月的成熟兔子的对数列出： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 这就是即将介绍的“斐波那契数列”的前12项。 “兔子问题”的另外一种提法是： 第1个月是一对成熟兔子，类似繁殖；到第12个月时，工有多少对兔子？ 这个问题的条件与上一个问题不同，第1个月就已经是一对成熟的兔子了。这个问题的要求也与上一个问题不同，不是问“到第12个月后”，而是问“到第12个月时”；不是问“有多少对成熟兔子”，而是问“共有多少对兔子”。 这次解决问题时，我们把“一个月一个月地数”的办法，换成“列表”的办法。简单起见，把初生兔子叫做“小兔子”；把成熟兔子（能生小兔子的兔子）叫做“大兔子”。于是列出下面的表框后，一列一列地往表里填数。 ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ月 份 1123581321345589144大 兔 对
有关黄金分割比的试题
有关“黄金分割比”的试题 1、所有的黄金矩形都是________________________________． 2、宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形，若一黄金矩形的长为2cm ，则其宽为________________cm ． 3、黄金比的近似值为_________________，准确值为______________________. 4、如图所示，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等于k ，这样的三角形叫黄金三角形，已知腰长AB=1，△ABC 为第一个黄金三角形，△BCD 为第二个黄金三角形，△CDE 为第三个黄金三角形，以此类推，第2007个黄金三角形的周长为（ ） A ．k 2006 B ．k 2007 C ． k k +22006 D ．k 2006（2+k ） 5、（2005?嘉兴）顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图，△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=1，则DE=____________________． 6、顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，五边形ABCDE 的5条边相等，5个 内角相等，则图中共有黄金三角形的个数是（ ） A ．25 B ．10 C ．15 D ．20 7、（2004?安徽）如图，扇子的圆心角为x °，余下的扇形的圆心角为y °，x 与y 的比通常按黄金比为设计，这样的扇子外形较美观，若取黄金比为0.6，则x 为（ ） A ．216 B ．135 C ．120 D ．108 8、（2009?枣庄）宽与长的比是 2 15-的矩形叫黄金矩形．心理测试表明： 黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）： 第一步：作一个正方形ABCD ； 第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ； 第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ； 第四步：过E 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ． 请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形．
黄金分割法-进退法-原理及流程图
1黄金分割法的优化问题 （1）黄金分割法基本思路： 黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。 （2）黄金分割法的基本原理 一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。
黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。如果f(a1)>f(a2)，令 a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1) 黄金分割专项练习30题（有答案） 1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长． 2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）． （1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度； （2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗若能，求出AB的长度，若不能，说明理由； （3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号） 3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点． 如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长． 4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比． （1）尺规作图并保留作图痕迹； （2）写出你的作法； （3）证明：腰与底之比为黄金比． 5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长； （2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB． 6．如图，线段AB的长度为1． （1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度； （选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度； （选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度； 上面各题的结果反映了什么规律（提示：在每一小题中设x和l） 7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由． 8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点． 9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成． 10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点． 为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗请试一试，说一说． 11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证： （1）AD=BD=BC； （2）点D是线段AC的黄金分割点． 12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值． 黄金分割练习题 一、请你填一填 （1）如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项. （2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）. （3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则 d =_____________cm. （4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________. （5）若d c b a ==3（b +d ≠0），则d b c a ++=________. 二、认真选一选 （1）已知y x 23=,那么下列式子成立的是（ ） A.3x =2y B.xy =6 C.32=y x D.32=x y （2）把ab =21cd 写成比例式，不正确的写法是（ ） A.b d c a 2= B.b d c a =2 C.b d c a =2 D.d a b c 2= （3）已知线段x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ） A.3∶1 B.2∶3 C.2∶1 D.3∶2 （4）有以下命题: ①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有d c b a = ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项 ③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项 ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC = 5－1 其中正确的判断有（ ） A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个 5、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（ ） A 、P B AB AP ?=2； B 、PB AP AB ?=2； C 、AB AP PB ?=2； D 、222AB BP AP =+ 熟记巧用速解法 ——快速解决“黄金分割”有关的考题 锐才数学明星老师 卢志康教授 “黄金分割”是自然界中一种重要现象。不但在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域有很多体现，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。“黄金分割”虽是初中数学教学的一个知识点与考点，但这一知识内容的掌握与学生进一步的数学技能发展却又关联不大。因此长期以来只限于要求概念的掌握和知识的记忆，考题的难度也不是很大，花尽量少的时间去快速准确的解决这类问题成为解题的关键。 在2010年的中考中，我们见到了下面两题： 1.（2010 嵊州市）如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F 、C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ，若CD ＝CF ，则 =AD AE 2．（2010四川内江）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE ＝CF ，D 为BF 的中点，则AE ∶AF 的值为 . 这是两道难度较大的中考填空题，难度系数均相当于中考填空题最后一题。 不熟悉“黄金分割”理论的同学在遇到这两道题的时候可能会感觉无从下手，因为虽然可以不断将要求的比转化成新的比，但题中并不存在可以直接利用的明确的比值。这就需要学生敏感的意识到这是有关黄金分割的问题。 我们先来看黄金分割比例理论：在线段AB 上有一点C ，若AC:AB=BC:AC ，则C 点就是线段AB 的黄金分割点。有两个重要的数需要我们熟记巧用，短:长=2 15-（黄金分割比）；长：短=5＋12 （黄金分割比的倒数）。在遇到关于黄金分割点知识点的情况不妨直接填上相应的答案或选项。 下面我们来解这两道题。 第一题：先将AE:AD 转化成AE:AD=AE:BC,然后利用三角形相似关系得到 E D M A B F C N A B D E F C 黄金分割专项练习 2 1定义：如图1，点C 在线段AB 上，若满足AC =BC?AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点.如图 2, △ ABC 中，AB=AC=1 , / A=36 ° BD 平分/ ABC 交 AC 于点 D . (1) 求证：点D 是线段AC 的黄金分割点; 2 .如图，用长为 40cm 的细铁丝围成一个矩形 ABCD (AB > AD ). 99cm 2 ,求 AB 的长度； 101cm 2 吗？若能，求出 AB 的长度，若不能，说明理由; AD 与AB 之比等于黄金比 逅二丄)，求该矩形的面积. 9.在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形， 如在矩形ABCD 中，当-'_ J 时，称矩形ABCD 为黄金矩形ABCD .请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成. 40cw (1) 若这个矩形的面积等于 (2) 这个矩形的面积可能等于 (3) 若这个矩形为黄金矩形( (结果保留根号) (2)求出线段AD 的长. 10.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD ;取AD的中点E，连接EB;延长DA至F,使EF=EB ; 以线段AF为边作正方形AFGH .则点H是AB的黄金分割点. 为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说. 12 .已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求「的值. AC 14.五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C, D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD 15?人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄 金身段.一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？ 第2课时 黄金分割 教学目标 1.了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义； 2.会找一条线段的黄金分割点； 3.在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，并在实 际操作、思考、交流等过程中进一步感悟数学与生活 的密切联系. 教学重点 了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义. 教学难点 怎样找一条线段的黄金分割点. 教学过程 一、情境创设： 1.P85欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感，请量出图中线段AB 、AC 的长度，并求出线段AB 与AC 的比值； 2.上海东方明珠电视设计巧妙，整个塔体的挺拔秀丽，请量出图中线段AB 、AC 的长度，并求出线段AB 与AC 的比值； 3.观察P84“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学选择是哪一个矩形，在此矩形中，宽与长的比值约是多少？ 二、探索活动： 活动一、计算AC AB （或 AB BC ）的值，引入黄金分割的概念. 把矩形ABCD 的长AB 与宽BC 画在同一条直线上，此时点B 把线段AB 分成两部分，如果 AB BC AC AB ，那么线段AC 被点 B 黄金分割，点B 为线段A C 的黄金分割点.AB 与AC （或BC 与AB ）的比值约为0.618，这个比值称为黄金比. 注意：（1）一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称； （2）若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形. C B A A B C 活动二、认识黄金分割在几何中的一些应用.（黄金三角形） 1.作顶角为36°的等腰△ABC ； 2.分别量出底边BC 与腰AB 的长度； 3.作∠B 的平分线，交AC 于点D ，量出△BCD 的底边CD 的长度； 最后，分别求出△ABC 与△BCD 的底边与腰的长度的比值（精确到0.001） 问：这两个比值约是多少？ 所以我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形，它具有如下的性质： （1） 618.0AB BC ； （2）设BD 是△ABC 的底角的平分线，则△BCD 也是黄金三角形，且点D 是线段AC 的黄金分割点； （3）如再作∠C 的平分线，交BD 于点E ，则△CDE 也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形. 活动三、如图，五边形ABCDE 的5条边相等，5个内角也相等， （1）找出图中的黄金三角形； （2）图中的点F 、G 、H 、M 、N 分别是那些线段的黄金分割点？你能说明理由吗？ 三、课堂练习 1．若线段AB ＝4cm ，点C 是线段AB 的一个黄金分割点，则AC 的长为多少？ 变题：电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为20米，试计算主持人应走到离A 点至少多少米处是比较得体的位置？（结果精确到0.1米） 2．据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37o C ）的黄金比值时,人体感到最舒适。这个气温约为_______ o C (精确到1 o C)。 3.科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm ，下肢长为92cm ，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 cm （精确到0.1cm ）； 四、课堂小结 1． 由现实情境出发，学习黄金分割、黄金比的概念； 2．通过尝试、思考活动，认识黄金分割在几何中的一些应用. 五、课堂作业 P87习题 1、2 六、教学反思 黄金分割点教案 教学目标： （一）知识技能目标： （1）知道黄金分割的定义． （2）会找一条线段的黄金分割点． （二）能力训练要求通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力．（三）情感态度目标： （1）从学生乐于接受的现实背景中学习黄金分割，认识到数学上解决实际问题和进行交流的重要工具。 （2）通过对黄金分割的理解和掌握，明确黄金分割的作图方法，体会数形结合的思想。 （3）通过分组讨论学习，体会在解决实际问题的过程与他人合作的重要性，从而培养学生的团结协作精神。 教学重点：黄金分割的定义和简单应用。 教学难点： 黄金点的画法和验证。 教学方法和手段 1、采用教师引导，学生自主探索和小组合作相结合的学习方式。 2、利用多媒体教学设备辅助教学，充分调动学生的积极性，创设和谐、轻 松的学习氛围。 学法指导学生通过动手、动口、动脑等活动，主动探索，发现问题，小组之间互相合 作，取长补短。养成自主学习和合作学习相结合的良好习惯。 教学准备 教师准备多媒体课件，黄金分割的学习资料直尺圆规 教学流程设计 （一）、创设问题情境，激发学生兴趣 向学生展示与“黄金分割”有关的图片：以激发学生兴趣，引起学生探索的欲 望。 问：为什么它们会给人感到和谐、平衡、舒适、美的感觉? （二）、实例引入，导出定义。 1、（这是本节课的重点。学生学习“线段的比”仅有两节课，掌握程度比较浅，而黄金分割的定义又使用了这一知识点，所以在课件使用过程中应注意帮助学生体会、理解定义中出现的“线段的比”。） 以五角星为例引入黄金分割的定义，在五角星中也存在黄金分割。 首先，《黄金分割》学习资料 ［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方．那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？ ［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC 、BC 的长度，然 后计算、,它们的值相等吗？ ［生］相等． ［师］所以． ［设计意图］阅读是学生自主获取知识的一种重要学习方法，培养学生良好的学习习惯和数形结合的思想，加深对概念的理解。 2、黄金分割的定义 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section ），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中~0 618 : 1 . 3、想一想 古希腊时期的巴台农神庙( Parthenom Temple )．把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，,点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？ 2020中考复习——黄金分割专题训练（二） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题 1. 已知矩形ABCD 中，AB =1，在BC 上取一点E ，使BE =1，过点E 作EF ⊥AD ， F 是垂足．若点E 是线段BC 的黄金分割点(BE >EC)，则矩形ABCD 的面积(精确到0.1)为( ) A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 2. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知 这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( ) A. 12.36 cm B. 13.6 cm C. 32.36 cm D. 7.64 cm 3. 已知线段AB =1，C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为( ) A. √5?12 B. 3?√5 2 C. √5?12或3?√52 D. 以上都不对 4. 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则下列等式中成立的是( ) A. BC 2=AC ?AB B. AC 2=2AB ?BC C. AB 2=AC ?BC D. AC 2=BC ?AB 5. 我们把宽与长的比值等于黄金比例√5?1 2 的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形 ABCD (AB >BC)的边AB 上取一点E ，使得BE =BC ，连接DE ，则AE AD 等于( ) A. √2 2B. √5?1 2 C. 3?√5 2 D. √5+1 2 6.矩形的两边长分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是() A. a=4，b=√5+2 B. a=4，b=√5?2 C. a=2，b=√5+1 D. a=2，b= √5?1 7.如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=1 2 AC，以点B为圆心，BC长为半径做弧，交AB于点D，再以点A 为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，下列结论错误的是() A. BC AB =√5 5 B. AE AC =√5?1 2 C. EC AC =3+√5 2 D. AC AB =2√5 5 8.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越 给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度 大约为() A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 二、填空题 9.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄 金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB 的长度为10cm，那么AP的长度为______cm． 10.已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB·BP，那么AP 长为______厘米． 11.已知a?b a =1 3 ，则a b 的值为;已知点P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，若AB= 2，则PB=. 12.相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫作黄金矩形，从外形看，它最具美感.现在 想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于____厘米． 13.一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB长为16米，一个主 持人现在站在A处，则它应至少再走______米才最理想．(结果精确到0.1米) 黄金分割同步练习 （典型题汇总） 1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比； 2.能对黄金分割进行简单运用.（重点、难点） 一、情景导入 生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，下图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？ 二、合作探究 探究点一：黄金分割的有关概念 已知M 是线段AB 的黄金分割点，MA 是被分线段AB 中较长的线段，且MA ＝5 －1，求原线段AB 的长. 解析：由于M 是黄金分割点，根据黄金比＝较长线段原线段＝5－1 2，可求出原线段长. 解：因为M 是线段AB 的黄金分割点，且MA >MB ， 所以MA AB ＝5－12， 所以AB ＝ 25－1·MA ＝2 5－1 ×（5－1）＝2. 方法总结：把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比 值关系，只要知道其中一条线段的长度，就可以求出另外两条线段的长度. 已知线段AB ＝6，点C 为线段AB 的黄金分割点，求下列各式的值： （1）AC －BC ；（2）AC ·BC . 解析：黄金分割点是线段上一个点，这个点把线段分成一长一短两部分，由题意可知较长的线段是原线段的 5－1 2 ，并且在一条线段上有两个黄金分割点. 解：若AC ＞BC ，如图，则AC ＝5－12AB ＝5－1 2 ×6＝35－3，所以BC ＝AB －AC ＝6－（35－3）＝9－3 5. （1）AC －BC ＝35－3－（9－35）＝35－3－9＋35＝65－12； C B A （2）AC ·BC ＝（35－3）×（9－35）＝275－45－27＋95＝365－72. 若AC ＜BC ，如图. （1）AC －BC ＝12－65； （2）AC ·BC ＝365－72. 易错提醒：注意一条线段有两个黄金分割点，因此题中未指出黄金分割点离哪个端点较近时，要分情况讨论. 探究点二：黄金分割的应用 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越 给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的 身高为1.60m ，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解析：想要看起来更美，则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比，此题应根据已知条件求出肚脐到脚底的距离，再求高跟鞋的高度. 解：设肚脐到脚底的距离为x m ，根据题意，得x 1.60＝0.60，解得x ＝0.96. 设穿上y m 高的高跟鞋看起来会更美，则y ＋0.96 1.60＋y ＝0.618. 解得y ≈0.075，而0.075m ＝7.5cm. 故她应该穿约为7.5cm 高的高跟鞋看起来会更美. 易错提醒：要准确理解黄金分割的概念，较长线段的长是全段长的0.618.注意此题中全段长是身高与高跟鞋鞋高之和. 三、板书设计 黄金分割 ???? ?定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，那么称线段AB 被点 C 黄金分割 黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点黄金比：较长线段：原线段＝5－12 ：1 经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程，通过问题情境的创设和解决过程，体会黄 金分割的文化价值，在应用中进一步理解相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识和自信心.感受数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增进数学学习的兴趣. 黄金分割同步练习 （典型题汇总） 一、选择题: 1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果 AC BC AB AC =,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点 黄金分割的正确计算方法 1．618减去基数1，得0．618，1再减去0．618得0．382，黄金分割在个股当中的应用方式有一派观点认为是：直接从波段的低点加上0．382倍、0．618倍、1．382倍、1．618倍……作为其涨升压力。或者直接从波段的高点减去0．382倍及0．618倍，作为其下跌支撑。 另一派观点认为不应以波段的高低点作为其计算基期。而应该以前一波段的涨跌幅度作为计算基期，黄金分割的支撑点可分别用下述公式计算：(抄底不可盲目，要抓住真正机会！) 1、某段回档高点支撑＝某段终点－（某段终点－某段最低点）0．382 2、某段低点支撑＝某段终点－（某段终点－某段最低点）0．618 如果要计算目标位：则可用下列公式计算 3、前段最低点（或最高点）＝（前段最高点－本段起涨点）1．382（或1．618） 上述公式有四种计算方法，根据个股不同情况分别应用。 案例分析托普软件（000583） 该股的走势颇为符合黄金分割原则，1999年3月份，该股从14．31元起步，至6月底，该股拉升到34．31元，完成这一波的涨升，随后我们来看该股的支撑价位： 根据公式：下跌低点支撑＝34．31－（34．31－14．35）0．618＝22元事实上该股1999年11月份回调最低点为22．48元，误差极小，投资者只要在22元一线附近吸纳，就可以找到获利机会。目标价位也可通过公式计算。 上升上涨压力＝21．97＋（34．31－21．97）1．618＝42元 该股在今年二月份摸高至45元后回落，投资者在42元可以从容卖出获利。 该股走势说明了如果对黄金分割掌握透彻，可以成功利用它来捕捉黑马。使用时要注意。 1、买点在回调到0．618处比较安全，回调到0．382处对于激进型投资者较适合，稳健型投资者还是选择回调到0．618处介入。 一、填空题 1．若点C 是线段AB 的黄金分割点（BC AC >），则 AC:AB=_____,BC:AB___________:=BC AC ． 如果AB=10cm,则AC=______,BC=_________. 若C 是线段AB 的黄金分割点，则____:=BC AC 2．若Q P ,是线段AB 上的两个黄金分割点，且452-=PQ ，则____=AB 3．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC>BC ，则 ______,AB BC AC AB ==_______． 4．若点C 是线段AB 的黄金分割点（BC AC >），则AB 与AC 的比 值是__________，BC 与AC 的比值是_________． 5．在线段AB 上取一点P ，使AP ：PB=1：3，则AP ：AB=______， 6．如图，已知3 ,(1)2AB AC BC CE AD AE DE AE ===则:=______， （2）若BD=10cm ，则AD=______；（3）若△ADE 的周长为16cm ， 则△ABC 的周长为_______ ． 二、认真选一选 7．已知y x 2 3=,那么下列式子成立的是（ ） A.3x=2y B.xy=6 C.32=y x D.32=x y 8．把ab=2 1cd 写成比例式，不正确的写法是（ ） A.b d c a 2= B.b d c a =2 C.b d c a =2 D.d a b c 2= 9已知线段x,y 满足（x+y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ） A.3∶1 B.2∶3 C.2∶1 D.3∶2 10．若3a=4b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是（ ）． A ．17 B ．7 C ．-17 D ．-7 10．已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=2：5，则AB ：PB 等于（ ）． A ．7：5 B ．5：2 C ．2：7 D ．5：7 11有以下命题: ①如果线段d 是线段a,b,c 的第四比例项，则有d c b a = ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项 ③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项 ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC ，且AB=2，则 AC=5－1 其中正确的判断有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A ．7：5 B ．5：2 C ．2：7 D ．5：7 黄金分割率的应用 黄金分割 1.618减去基数1，得0.618，1再减去0.618得0.382。 黄金分割在个股当中的应用方式有一派观点认为是：直接从波段的低点加上0.382倍、0.618倍、1.382倍、1.618倍……作为其涨升压力。或者直接从波段的高点减去0.382倍及0.618倍，作为其下跌支撑。 另一派观点认为不应以波段的高低点作为其计算基期。而应该以前一波段的涨跌幅度作为计算基期，黄金分割的支撑点可分别用下述公式计算： 1、某段行情回档高点支撑=某段行情终点-(某段行情终点-某段行情最低点)0.382 2、某段行情低点支撑=某段行情终点-(某段行情终点-某段行情最低点) 0.618 如果要计算目标位：则可用下列公式计算 3、前段行情最低点(或最高点)=(前段行情最高点-本段行情起涨 点)1.382(或1.618) 上述公式有四种计算方法，根据个股不同情况分别应用。 使用时要注意： 1、买点在回调到0.618处比较安全，回调到0.382处对于激进型投资者较适合，稳健型投资者还是选择回调到0.618处介入。 2、卖点在涨升1.382处比较保守，只要趋势保持上升通道，可选择涨升1.618处卖出。 1、黄金分割法可以为个股的强弱定性 A、对强势上升股股性的判断： 假设一只强势股，上一轮由10元涨至15元，呈现一种强势，然后出现回调，它将回调到什么价位呢?黄金分割的0.382位为13.09元，0.5 位为12.50元，0.618位为11.91元，这就是该股的三个支撑位。若股价在13. 09元附近获得支撑，该股强势不变，后市突破15元创新高的概率大于70%。若创了新高，该股就运行在三主升浪中。能上冲什么价位呢?用一个0.382价位即 (15-13.09)+15=16.91元，这是一压力位;用两个0.382价位 (15-13.09)×2+15=18.82元，这是二压力位;三压力位为10元的倍数即20元。回到前头，若该股从15元下调至12.50元附近才获得支撑，则该股的强势特征 初中数学相似三角形之黄金分割专项练习题（附答案详解） 1．点D 是线段AB 的黄金分割点（AD ＞BD ），若AB ＝2，则BD ＝（ ） A ．51- B ．3 52 C ．5﹣1 D ．3﹣5 2．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，则有（ ） A ．A B 2=AP?PB B ．AP 2=BP?AB C ．BP 2=AP?AB D ．AP?AB=PB?AP 3．若线段 ，且点C 是AB 的黄金分割点，则BC 等于（ ） A ． B ． C ．或 D ．或 4．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP ＞BP ，设以AP 为边的等边三角形的面积为S 1，以PB 、AB 为直角边的直角三角形的面积为S 2，则S 1与S 2的关系是 ( ) A ．S 1＞S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1=S 2 D ．S 1≥S 2 5．已知线段AB 的长为4，点P 是线段AB 的黄金分割点(AP ＞BP )，则P A 的长为( ) A ．2﹣2 B ．6﹣2√5 C ． D ．4﹣2 6．已知点C 是线段AB 上的一个点，且满足AC 2=BC?AB ，则下列式子成立的是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．已知如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则下列结论中正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．线段MN 长为1cm ，点P 是MN 的黄金分割点，则MP 的长是( ) A ． B ． C ．或 D ．不能确定 9．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ．记以AP 为一边的正方形面积为S 1，以BP 、AB 为邻边矩形的面积为S 2，则（ ） A ．12S S > B ．12S S = C ．12S S < D ．1S 、2S 大小不能确定 10．已知线段AB 长是2厘米，P 是线段AB 上的一点，且满足AP 2＝AB?BP ，那么AP 长为_____厘米． 2014年河南省中学数学优质课评选 （初中组） 课题学习：《黄金分割》 代慧枢 开封市第三十三中学 2014年4月 课题学习：《黄金分割》教学设计说明 一、地位与作用： 本节课内容在教材中不占有重要地位，但它的内涵比较丰富。对这节课是“小题大做”，打破以书本知识为唯一学习途径的局限，通过创设情景、让学生自主探求、上网搜集资料、小组交流等不同形式的学习，使学习过程转变成学生产生兴趣、不断提出问题、分析问题、解决问题的探索过程，使学生感受数学学习活动的探索过程，获得一些研究数学问题的方法和经验，让学生在问题解决中求知，拓宽学习的渠道，激发起学习的积极性和潜力。 二、教学目标 依据新课标的要求，为了使学生在双基、数学能力、理性精神等方面都能有所发展，基于学生的认知能力和思维能力以及情感态度的分析，确立以下三个方面的教学目标： （1）知识与技能 了解黄金分割,通过折叠黄金矩形活动，加深对黄金分割的认识. （2）过程与方法 通过观察、推理、交流、反思等数学活动过程培养学生发现、分析、解决问题的能力，积累数学活动经验. （3）情感、态度、价值观 通过学生主动参与、积极思考、合作交流体会黄金分割的文化价值，感悟到“数学奇”、“数学美”。 自主探究，合作交流 三、课堂结构： 本节课的结构可以简单概括为：一段文化、六个活动。即创设情景发现美，动手实践探索美，学以致用应用美，欣赏拓展感悟美，课堂小结收获美，布置作业延伸美；通过这六个活动学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学学习中的问题，增强应用数学的意识，体会黄金分割的文化价值。从而提升学生的人文素养，增加数学自身的人文魅力。 四、教法特点以及预期效果分析 1教法特点 （1）本节课在教法上体现教师的“启发诱导”，突出教师对活动的组织设计和方法的引导，为学生搭参与和交流的平台；在学法上突出学生的“自主探究”，让学生自己去观察，去思考，去发现，并鼓励与他人合作交流，充分体现以学生为主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者的新课程理念. （2）注重培养学生的合作意识.合作能力是现代人才必备的基本素质之一.是否具有协作精神，能否和他人有效合作，已成为一个人能否成功的重要因素.教师要创设合作学习的机会，使学生学会和他人合作. 2 预期效果分析 《数学课程标准》指出：“数学是人类的一种文化。我有意识引导学生从生活文化角度把握“黄金分割”这一数学瑰宝，不仅丰富黄金分割专项练习30题
黄金分割__习题精选
解决“黄金分割”有关的数学题
黄金分割专项练习30题
第2课时 黄金分割
黄金分割点教案
2020年中考复习—黄金分割专题训练(二)
黄金分割同步练习及答案 (7)
黄金分割的正确计算方法
黄金分割练习题
黄金分割率的应用
初中数学相似三角形之黄金分割专项练习题(附答案详解)
黄金分割教学说明