多元函数连续性的判定
分段函数连续性讨论书写格式
讨论分段函数在分段点的连续性与可导性涉及分段函数概念、连续概念、导数概念，既是重点，又是难点。建议同学们认真模仿以下3道题的解答过程，注意讨论的函数是整个分段函数()f x ，而不是其中的某段函数（以下解答中标红的不要省了）；务必精准写出连续、导数定义；答题过程较长时最后要加以总结． 例1：讨论20,1,()0 1,x x e f x x ≠?-=?=?在0x =的连续性与可导性． 解： (0)1f =． 020 li l m im (1)()0x x x f x e →→=-=． 因0 lim ()(0)x f x f →=，故 ()f x 在0x =不连续，从而也不可导． 例2：讨论20,1,()0sin , x x e f x x x ≤?-=?>?在0x =的连续性与可导性． 解：先讨论连续性． (0)0f =． 因020li l m(1im )0()x x x f x e --→→=-=，且00 lim l s i m ()n 0i x x x f x ++→→==， 得0 lim ()0x f x →=． 因0 lim ()(0)x f x f →=，故 ()f x 在0x =连续． 再讨论可导性． 因021()(0)(01lim )lim 02x x x f x f f x e x --→-→-'=--==， 但00sin l ()(0)(0)im l 1im x x f x f x f x x ++ +→→==-='， 得1()(0) (1)lim 0x f x f f x →-'=-不存在，故 ()f x 在0x =不可导． 总之， ()f x 在0x =连续，但不可导．
二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1) 2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2) 2.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2) 2.2二元函数连续与可微之间的关系 (3) 2.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3) 2.4二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4) 二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6) 参考文献 (7) 致谢 (8)
本科生毕业论文 2 二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系 摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性. 关键词 二元函数 连续 偏导数 可微 The Relationship among Continuation, Partial Derivatives and Differentiability in Binary Function Abstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common.. Key words binary function continuation partial derivatives differentiability 引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系. 1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 定义1 设f 为定义在点集2D R ?上的二元函数，0D P ∈（0P 或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ?∈， 就有0)||()(f P f P ε<-，则称f 关于集合 D 在点0P 连续. 定义2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若00,)(y D x ∈且0,)(y f x 在0x 的某一邻域内 有定义，则当极限00000000(,))(,) (,lim lim x x x f x y f x y f x x y x x ?→?→+-=????存在时，则称这个极限 为函数f 在点00,)(y x 关于x 的偏导数，记作0 (,) |x y f x ??. 定义3 设函数(,)z f x y =在点000,)(y P x 某邻域0()U P 内有定义， 对于0()U P 中的点00,)(,)(y P x y x x y ++=??，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为
函数的连续性复习--例题及解析
分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21)10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1==--→→x x f x x 11lim )(lim 1 1==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 21)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 00x f x f x f x x x x x x →→→+-=才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2+-=x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；
（2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(l i m )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2-=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2-=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ???-=--≠+-=)2(4)2(24)(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根
多元函数的极限与连续习题
多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1sin 1sin )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 sin ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。
1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-
函数的连续性及极限的
第四节 函数的连续性及极限的应用 1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义， lim x x →f (x )存在，且0 lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续. 2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件. (1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0 lim x x →f (x )存在； (3)0 lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点 的函数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0 处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算: ①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)?g(x)， ) ()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。 ②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。 4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义： 如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数 f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数. f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在 函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限
存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )， 在b 点处左极限存在等于f (b ). 5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义： 如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有 + →a x lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有- →b x lim f (x )=f (b ),就说函数f (x ) 在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理 如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值 7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。” 二、 问题讨论 ●点击双基 （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 解析：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A
二元函数连续可微偏导之间的关系解读
一、引言 对于一元函数而言,函数y=f(x在点x0处连续、导数存在、可微这三个概念的关系是很清楚的,即可微一定连续,但连续不一定可微,可微和导数存在是等价的。对多元函数而言,由于偏导数的出现,使得他们之间的关系要复杂的多。下面以二元函数为例,探讨其在点(x0,y0处连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系。 二、二元函数连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系 1.可微与连续的关系 若函数f(x,y在点(x0,y0处可微,则在该点连续,但反之不成立(同一元函数。 证明:因为f(x,y在点(x0,y0处可微,因此有0≤f(x0+△x,y0+△y- f(x0,y0≤A△x+B△y+O(O→(△x→0,△y→0, 所以lim (△x,△y→(0,0 f(x0+△x,y0+△y=f(x0,y0,故f(x,y在 点(x0,y0处连续。反之不成立。 例1.f(x,y= x2y x2+y2 ,x2+y2≠0 0,x2+y2= $
在点(0,0处连续, 但在该点不可微。 2.偏导数存在与可微的关系 由定理17.1[1](可微的必要条件,函数f(x,y在点(x0,y0处可微,则f(x,y在点 (x0,y0的偏导数一定存在;但反之不成立,如例1中函数f(x,y在点(0,0处偏导数存在,但在此点不可微。 3.偏导数连续与可微的关系 由定理17.2[2](可微的充分条件知,函数f(x,y在点(x0,y0处偏导数连续,则f(x,y 在点(x0,y0处可微;但反之不成立, 例2.f(x,y=(x2+y2sin1 x2+y2 ,x2+y2≠0 0,x2+y2= % ’ ’ ’ & ’ ’
分段函数的几种常见题型及解法
函数的概念和性质 考点 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()] f f .
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 226(12) .()3(24) x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? -1 2 1 3 1 o -2 y x
讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系
讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系 祁丽梅 学院数学与统计学院 ， 024000 摘要: 本文先是对二元函数连续性、偏导数存在及可微之间的关系就具体实例进行了讨论，然后推广到多元函数由此来总结有关多元函数微分学中关于上述三个概念之间的关系，并通过二元函数具体的实例详细加以证明。 关键词: 二元函数；多元函数；连续；偏导数；存在；可微 一、引言 多元函数微分学是数学学习中的重要容,是微积分学在多元函数中的具体体现，多元函数的连续性，偏导数存在及可微性之间的关系是学生在数学学习中易发生的概念模糊和难以把握的重要知识点。尽管它与一元函数的微分学有许多共同点，但它们之间也同样有一些差异，这些差异是由“多元”这一特殊性引起的。 二、二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系 1、若二元函数f 在其定义域某点可微，则二元函数f 在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。 可微的必要条件： 若二元函数在()000,y x p 可微，则二元函数()y x f z ,=在()000,y x p 存在两个偏导数，且全微分 y B x A dz ?+?=中的A 与B 分别是()00,y x f A x '=与()00,y x f B y '= 其中y x ??,为变量y x ,的改变量，则dy y dx x =?=?,，于是 二元函数的全微分为()()dy y x f dx y x f dz y x 0000,,'+'= 类似的n 元函数()n x x x f u ,,,21 =在点()n x x x Q ,,,21 的全微分为 n n dx x f dx x f dx x f dx x f du ??++??+??+??= 222211 我们知道一元函数的可微与可导是等价的，但通过上述情况可以知道二元函数可微一定存在两
多元函数的概念极限与连续性
§5.1 多元函数的概念、极限与连续性 一、多元函数的概念 1. 二元函数的定义及其几何意义 设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()p x y D ∈，，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x y ，的二元函数，记以()z f x y =，，D 称为定义域。 二元函数()z f x y =，的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。 例如 22: 1z D x y =+≤二元函数的图形为以原点为球心，半径为1 的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心， 半径为1的闭圆。 2. 三元函数与n 元函数。 ()()u f x y z x y z =∈ΩΩ，，，，，，为空间一个点 集则称()u f x y z =，，为三元函数 ()12n u f x x x =，，，，称为n 元函数。 它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。 【例1】 求函数arcsin 3 x z = 解 要求13 x ≤，即33x -≤≤； 又要求0xy ≥即00x y ≥≥，或00x y ≤≤， 综合上述要求得定义域300x y -≤≤??≤?或030 x y ≤≤??≥?
【例2】 求函数()2ln 21z y x =-+的定义域。 解 要求2240x y --≥和2210y x -+> 即 2222212x y y x ?+≤??+>?? 函数定义域D 在圆2222x y +≤的内部 （包括边界）和抛物线212y x +=的左侧（不包括抛物线上的点） 【例3】 设()22 f x y x y x y y +-=+，，求()f x y ，。 解 设x y u x y v +=-=，解出()()1122 x u v y u v = +=-， 代入所给函数化简 ()()()()221184 f u v u v u v u v +-+-，＝ 故 ()()()()221184f x y x y x y x y +-+-，＝ 【例4】 设()22 35f x y xy x xy y ++++，＝，求()f x y ，。 解 ()22223525x xy y x xy y xy +++=++++ ()25x y xy =+++ ∴ ()25f x y x y =++， 二、 二元函数的极限 设()f x y ，在点()00x y ，的去心邻域内有定义；如果对任意0ε>，存在0δ>，只要 0δ<，就有()f x y A ε-<， 则记以()00lim x x y y f x y A →→=，或()() ()00lim x y x y f x y A →=，，， 称当()x y ，趋于()00x y ，时，()f x y ，的极限存在，极限值为A ，否则，称为极限不存在.
二元函数的连续性
§3 二元函数的连续性 (一) 教学目的： 掌握二元函数的连续性的定义，以及多元函数的局部性质和它们在有界闭域上的整体性质． (二) 教学内容：二元函数的连续性的定义；有界闭域上连续函数的有界性，最大最小值定 理，介值性定理和一致连续性． 基本要求： (1) 掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质． (2) 较高要求：掌握有界闭域上连续函数性质的证明要点． (三) 教学建议： (1) 有界闭域上多元连续函数的性质基本上与一元函数的情况类似，教学中可通过复习一元连续函数的定理引出．对较好学生，可布置一些与有界闭域上多元连续函数的性质有关的习题 —————————————————————— 一． 二元函数的连续概念 由一元函数连续概念引入 . 定义（用“δε-”定义二元函数连续） 设函数),(y x f 为定义在点集2R D ?上的二元函数，D P ∈0（它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），若对0,0>?>?δε，使 得当 D P U P );(0δ∈时，都有 ε<-|)()(|0P f P f 则称),(y x f 关于集合D 在0P 点连续，简称0P f 在点连续。 若函数D f 在上任何点都连续，则称D f 为上的连续函数。 由连续定义，若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于集合D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于集合D 在0P 连续等价于 )()(lim 00 P f P f D P P P =∈→ 如果0P 是D 的聚点，而上式不成立，则称f 关于集合D 在0P 不连续（或间断点）。特别 )()(lim 00 P f A P f D P P P ≠=∈→时，称0P 是f 的可去间断点。
《数学分析》第十六章_多元函数的极限与连续
第十六章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 ) §1 平面点集与多元函数 ( 3 时 ) 一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 1. 常见平面点集: ⑴ 全平面和半平面: }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >, }|),{(b ax y y x +≥等. ⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ?, 1|||| ),{(≤+y x y x }. ⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环. 圆的个部分. 极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤. ⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r . ⑸ 简单域:-X 型域和-Y 型域. 2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集 }||0 , ||0|),{(00δδ<-<<- 目录 1引言 (1) 2多元函数的连续、偏导数及可微........................... ... (1) 2.1多元函数的连续性 (1) 2.2 多元函数的偏导数 (3) 2.3多元函数的可微性 (4) 2.4多元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系 (7) 2.4.1二元函数连续性与偏导存在性间的关系 (7) 2.4.2二元函数的可微性与偏导存在性间的关系 (8) 2.4.3二元函数的连续性与可微性间的关系 (10) 3小结.................................... .. (11) 参考文献 (12) 致谢辞 (13) 1 引言 对于一元函数而言，函数()y f x =在0x 极限存在、连续、可微，这三个概念的关系是很清楚的，即可微一定连续，但连续不一定可微，连续一定有极限，但有极限不一定连续.简单表示为：可微?连续?极限存在(且不可逆) 对于二元函数而言，它既不同于一元函数有可导与可微的等价关系，也没有一元函数的“可导必连续”的关系.但对于二元函数的可微性，可以证明，若二元函数(,)z f x y =在点0p (0x ,0y )可微，则函数(,)f x y 在点0p （0x ，0y ） 连续，偏导存在；若二元函数(,)z f x y =的两个偏导数'x f （x,y ）与'y f (x,y)在点0p （0x ，0y ）连续，则函数(,)f x y 在0p （0x ，0y ）可微.因此对于函数的连续、偏导存在、可微、偏导连续，有下列蕴涵关系：偏导连续?可微?(连续，偏导存在);它们反方向结论不成立. 多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有某些差异，而且情况也更复杂一些.下面我们分别从多元函数的可微性、偏导存在性、连续性，进而到它们之间的关系进行具体的探讨. 2多元函数的连续、偏导数及可微性 2.1 多元函数的连续性 一个一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续.但对于二元函数(,)f x y 来说，即使它在某点000(,)p x y 既存在关于x 的偏导数00(,)x f x y ，又存在关于y 的偏导数00(,)y f x y ，(,)f x y 也未必在000(,)p x y 连续.甚至，即使在000(,)p x y 的某邻域0()U p 存在偏导数(,)x f x y （或(,)y f x y ），而且(,)x f x y （或(,)y f x y ）在点000(,)p x y 连续，也不能保证(,)f x y 在000(,)p x y 连续.如函数浅谈多元函数的连续