可靠性习题

答案……10页

系统可靠性习题

学号___________ 姓名___________

第一章习题

1-1 如图所示，有三个阀门连在一起。阀门如发生故障，水便不能通过。设三个阀门发生故障的概率均为p。求水能流过a、c的概率。

图1-1

1-2 判断系统是否正常工作，采用“多数表决”，即有两个或三个单元正常工作，系统就可正常工作。如各单元的可靠工作概率为R，表决器可靠工作概率为1，求系统的可靠工作概率。

工作单元

图1-2 2/3多数表决系统

1-3 信号机灯泡使用时数在1000小时以上概率为，求三显示信号机三个灯泡在使用1000小时后最多有一个坏了的概率。

1-4 在某个车站电气集中设备中有800个继电器。设在某段时间里每个继电器的故障率为。求在这段时间内不多于10个继电器故障的概率。

1-5 某产品先后通过A、B、C三种机器加工，这些机器的偶然故障及人为原因将影响产品质量。产品是否合格只有在生产全过程终了时才能检查出来。根据统计资料，三种产品的合格率分别为

30%，40%和20%。假设机器独立运转，求产品的合格率。

1-6 计算机内第K个元件在时间T内发生故障的概率等于P K(K=1，2……n)。所有元件的工作是相互独立的，如果任何一个元件发生故障计算机就不能正常工作。求在时间T内计算机正常工作的概率。

1-7 电路由电池Ⅰ与两个并联的电池Ⅱ、Ⅲ串联而成。设电池Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ损坏的概率分别为、和，各个电池损坏与否是独立的。求电路由于电池损坏而发生故障的概率。

1-8 电路由五个元件联接而成，设各个元件发生故障是独立的，已知元件1、2发生断路故障的概率各为，元件3、4、5发生断路故障的概率为，求：

⑴由于元件1或2发生断路故障而电路断路的概率；

⑵由于元件3、4、5都发生断路故障而电路断路的概率；

⑶由于任何元件发生断路故障而电路断路的概率。

第二章习题

2-1 有两种零件，一种寿命分布呈指数型，平均寿命为1000小时；另一种寿命分布呈正态型，平均寿命为900小时，标准离差为400小时。现打算在100小时的使用时间内尽量不发生故障，问选择哪一种零件为宜

2-2 某种产品的寿命服从指数分布，λ为5*10-4/小时，求100小时内与1000小时内的可靠度。2-3 失效服从指数分布时，为使1000小时的可靠度在80%以上，失效率必须低于若干

2-4 某产品寿命服从指数分布，投入运用到平均寿命时，产品可靠度为多少说明什么问题

2-5 某铁路机车信号系统可靠度服从指数分布，投入运用后，平均四年，35，040小时失效一次，若调好后用一个月（720小时），问可靠度是多少若调好后用了四年，可靠度又是多少

2-6 一种晶体管的使用寿命(单位：小时)，分布密度为：

100/x2x≥100

Φ(x)=

0 x＜100

设某种仪器内装三个上述晶体管，求：

①使用的最初150小时内设有一个晶体管损坏的概率；

②这段时间只有一个晶体管损坏的概率；

③ε0的分布函数及其图形。

2-7 某设备平均故障时间为4000小时，试求其连续使用500小时的可靠度。如要求该设备连续运行的可靠度为95%，问可期望其运行多少时间（设备失效服从指数分布）。

2-8 在可靠性试验中，产品损坏概率为，试验100件产品，求：

①损坏5件的概率；

② 损坏不多于5件的概率； ③ 损坏多于10件的概率。

2-9 某铁路枢纽某天有1000次列车通过，每次列车在通过枢纽时出事故的概率为，并且与其它列车是否出事故是相互独立的。求该枢纽这天至少出一次事故的概率。

第三章 习题

3-1 有一电源装置由4个大功率晶体管，12个二极管，24个电阻和10个电容器组成。各部件的MTBF 如下：

大功率晶体管

105

小时 二极管 5*105小时 电阻 106

小时 电容

5*104小时

假设电源中任一部件损坏系统即失效，问电源工作9小时的可靠度。

3-2 有失效率为50菲特的集成逻辑电路，试分析计算下列各情况的可靠度（1菲特＝10－9

/小时）： （1） 1个电路，工作100小时；

（2） 10个电路，工作1000小时（可靠性串联）； （3） 10个电路，工作100小时（可靠性串联）。

3-3 系统可靠性框图如下所示，在R 1＝R 3＝，R 2＝，R 4＝R 5＝时，求系统可靠度。

输入 输出

图3-3

3-4 一个有向可靠性框图如图所示，求系统可靠度。

图3-4

3-5 如图所示，A 、B 、C 三个单元具有相同的功能，而D 、E 则具有另一种功能，欲使系统正常工作必须使上述两种功能的单元至少各有一个同时正常工作。设有单元可靠度为R ，求此系统的可靠度。

图3-5

3-6 有一由不同功能单元A 、B 、C 、D 构成的系统，求各单元可靠度相同与不同时系统的可靠度。

3-7 下图为一个有向可靠框图，各单元的可靠度分别为R A 、R B 、R C 、R D 、R E 、R F ，求系统的可靠度。如各单元的可靠度相同，系统的可靠度又为多少

图3-7

3-8 某个通信站有三台收发报机，（可靠性并联）其平均故障间隔时间分别为3000、4000和5000小时，问该站的收发报机开始使用后，连续工作1000小时的可靠度如何（各收发报机失效服从指数分布）

3-9 某电子装置装有2000个同样的电子元件，每个电子元件在某个时刻的可靠度为，如其中一个损坏，系统即失效。在不考虑其他元器件故障的情况下，求装置停止工作的概率。

3-10 系统有向可靠性框图如下所示，如各元件可靠度相同，等于R(t)，求系统的可靠度R S (t)。 输出

图3-10

3-11 题文同上。

3-12 某系统由A 、B 、C 三个失效服从指数分布可靠性串联的子系统组成，已知它们的平均故障间隔时间分别为4000小时，5000小时和8000小时，问系统的平均故障间隔时间是多少连续运行1000个小时的可靠度是多少

3-13 某稳压电源所用的各种元件数量及其失效率如下表所示，试求其平均故障间隔时间和连续3-14 两工作单元构成可靠性并联系统，失效率分别为λ1与λ2，服从指数分布。当t 很小时，

t -e -1t λλ<<的值可用1-λt 近似计算。求此时，系统的失效率λS

；如λ1

=λ2

=λ时，当∞

→t 时，再求λS 。

3-15 证明n 个部件为并联可靠性，失效服从指数分布，在1t

i <<λ时，系统的失效率为

1n n

1

i i t )(n -=∏λ

0t )( t)-1e

,1t (n n

1

i i i t

-i i ==<<∏=λλλλ时

3-16 求n=2，可靠性并联，部件失效服从同一指数分布的系统的平均寿命。 3-17 使用推论法证明n 个部件失效率服从同一指数分布的并联系统的平均寿命为：

∑-==

1

n 0i S i -n 11

T λ

3-18 为什么说在可靠性串联系统中，单元数的多少与工作时间的长短对系统的影响是相同的 3-19 具有同等失效率λ的两单元组成的并联系统，求其在任务时间T 的可靠度，用

()()Λ

+-+-=3i

T

2i T T 1e 3

2T -λλλλ的近似算法。

3-20 晶体管开关电路如图(a)、(b)所示，如每个管子的开路故障率为k q 、短路故障率为d q 。求这两种电路的可靠度，如q q q d k

==，1q 0<<，试比较这两种电路的可靠度，再比

较这两种电路与双管串联、并联的可靠度。

图3-20

3-21 可靠度为复杂联接，求其系统的可靠度。

图3-21

3-22 有向可靠框图如下图所示，试用分解法求出系统可靠度（提示：单元E 单向导通）。

图3-22

3-23 某道口灯光信号由列车接近而点亮，为了提高其可靠性，可用两个或多个开关与信号灯串

联后再并联，若每个支路可靠工作概率为，各个支路是否发生故障是独立的。求用两个支路时，道口信号的可靠工作功率为多少如要求可靠工作功率达到，则需用几个支路并联

第四章 习题

4-1试比较由对应相同（即R 1＝R n ＋1，R 2＝R n ＋2，……，R n ＝R 2n ）的2n 个部件构成的系统冗余系统和部件冗余系统。

系统冗余可靠性框图：

输出

部件冗余可靠性框图：

图4-1

4-2 设某个终端具有三台分机，至少有二台分机正常工作终端可正常工作。每台分机的

小时/10540-?=λ，试计算终端工作10小时，100小时，2000小时的可靠度及终端的平

均寿命。

4-3 有一冷备旁待系统，工作单元的失效率为λ1，旁待单元的失效率为λ2。试证明该系统的可靠度为：

()t

t

211t

S 121e e

e

R λλλλλλ-----+

= 如考虑转换开关的可靠度R W ，则

(

)t

t W 2

11

t

S 121e e R e

R λλλλλλ-----+

=

4-4 冷备待机系统与并联系统均由两个相同部件组成，部件可靠度服从指数分布，在不考虑冷备待机系统转换开关、检测器可靠性的情况下，试比较两系统的可靠度。

4-5 在由两个相同部件构成的待机系统中，转换开关的可靠性为R Z ，为了获得比两个部件并联系统（部件可靠性与待机系统相同）更高的可靠性，问转换开关的可靠度应是多少才可行 4-6 卫星上某设备有3套，其中2套作为冷储备。已知失效服从指数分布的每个设备平均寿命为1000小时，如果转换开关完全可靠，问该系统连续工作一年的可靠度如何

4-7 有一台计算机系统具有三台失效为指数分布的显示终端，其平均故障间隔时间分别为5000小时、8000小时和2000小时。如果在系统投入运行后，一直保持一台显示终端参与工作，其他冷备旁待，问该系统开始运行后3000小时，显示终端这一分系统的可靠度如何平均寿命是多少4-8 有一条300公里的传输线路，每一百公里需设一个中继站，才能保证传输畅通，但任一中继站发生故障都会造成传输终端。如每50公里设一个中继站，它的有效传输距离仍为100公里。因此，只有在相连两个中继站同时发生故障，会使传输中断。设每一中继站的可靠度为，线路与终端本身可靠度为1，求此传输线路的可靠度。

300km

中继站终端

图4-8

4-9甲、乙两地均有三套发送与接收设备，具体联络通道如图所示。设每个通道（含两端发送，接收设备）相同，为R。求甲、乙两地所有发送与接收设备都能与对方通信的概率。

甲

乙

4-10 有一架双引擎飞机和一架四引擎飞机，各引擎的故障是相互独立的，其故障率相等。若使飞机能持续飞行，至少须有半数的引擎正常工作。求由于引擎故障使飞机发生事故的概率，并比较上述两种飞机哪种较为可靠。

4-11 电子系统一般可分为两大部分：电源部分和功能部分。设电源部分的失效率和维修率分别为λ1和μ1；功能部分的失效率和维修率分别为λ2和μ2。当功能部分故障时，为了维修，电源部分仍将继续工作，但失效率降为λ0；而电源部分故障时，功能部分中断工作不再故障。试用马尔可夫过程求出该电子系统的稳态可用度。

答案

1.1 （1-p ）（1-p 2） 1.2 3R 2-2R 3 1.3 1.4 1.5

1.6 ∏=-=n

k K P T 11)P(）（内计算机正常工作时间

1.7 ，，0392

2.1 ； 2.2 ； 2.3 *10-4 2.4 2.5 ；

解：t dx x dx x t t

t

/1001100

)()(F 100

20

-==

Φ=??

，t t /100)(F -1R(t)==，3/2)150(R =， 即150小时内晶体管正常的概率为2/3，损坏的概率为1/3

(1)使用的最初150小时内没有一个晶体管损坏的概率为27/8)150(R 3

= (2)这段时间只有一个晶体管损坏的概率为9

4

)32(3121

3

=?C

2.7 ；小时

解：由于n 较大，p 较小，用二项分布计算比较麻烦，可用泊松分布来近似计算。 泊松强度5np ==λ

(1)1755.004.2655!)5(55

5

=?=?==

=---e e k e N P k ！

λ

λ

(2)6160.0416.91!55!352551!5!)5(55325

5

55

=?=+++++===≤--=-=-∑∑

e e k e k e N P k k k k ）！（Λλ

λ(3)

0137.038.1461!

55

!3525511!51!1)10(1)10(510

3

2

5

10

5

10

=?-=++++

+-=-=-=≤-=>--=-=-∑∑

e e k e k e N P N P k k k k ）！（Λλ

λ

解：（方法1）由于n 较大，p 较小，可用泊松分布来近似计算。

泊松强度1.0np ==λ

0952.01!

1)0(1)1(1.0=-=-

==-=≥--e k e N P N P k λ

λ

（方法2）设每次列车出事故的概率为0001.0p =，则每次列车不出事故的概率为

9999.0p 1=－

则0952.09999

.01)(P 1)(1000

=-=-=不出事故至少出一次事故P

3.1 3.2 ；； R D + ) R 5-R 4-3R 3+4R 2

R 系统=3R 2

-2R 3

R 系统=2R 5

-5R 4

+2R 3

+2R 2

3.8 3.9

3.10 R 系统=-R (t)7+4R (t)6-3R (t)5-3R (t)4+2R (t)3+2R (t)2 3.11 R 系统=2R (t)5-5R (t)4+2R (t)3+2R (t)2 3.12 ； 3.13 ；

解：（1）用近似计算：

2

2121S 12)(/)()(/)(f t t

t R t R t R t S S

S S λλλλλ-='-==

（2）t t S e e t R λλλ22

t 2)e

1(1)(----=--=

1

222222)(/)()(/)(f 22S --=--='-==----t t t t t t S S S S e e e e e e t R t R t R t λλλλλλλ

λλλλ

当∞→t

，λλ→S

解：∏∏==--≈--

=n

i i

n

n

i t

S t

e

t R i 1

11)1(1)(λ

λ

∏=-='-=n

i i

n S

nt t R t f 1

1

)()(λ

1n n

1

i i 1

1

1

11

t )(n 0

11)

()

(-==-==-∏∏∏∏=-≈

-=

=λλ

λλ

λn

i i

n n i i

n n

i i

n S S nt t nt

t R t f

λ

λλ

23

212

=

-

=

MTBF 解：t n t

t t S e e n n n e n n ne t R λλλλλ-----±---+--

=--=)1(!

3)2)(1(!2)1()e

1(1)(32n

t Λ ∑-==++++=++++=1n 0i i

-n 1

1)131211(1131211

λλλλλλn n T S ΛΛ

解：

()()()()()()()()i 2

14

433223

2

3

2

22T T !2211T 4!

22T 3!22T 2!221]3!

T 22!T 2T 21[]3!T 22!T 2T 22[2)e 1(1)(λλλλλλλλλλλλλ∑∞

=+-----+=+---+--=+-+

--+-+-=-=--=I i n T

T S i e e T R ）

（ΛΛΛ R 系统= R 系统= 解：

用两个支路时，道口信号的可靠工作概率9984.0)96.01(12

=--=P

若要求9999.0≥P ，即0001.0)96.01(1≤-=-n

P ，解得86.2≥n ，即至少需用三个支路并联。

解：系统冗余的可靠性)2()(211)(1

1

2

1

1

1

2

∏∏∏∏∏=====-=-=--

=n

i i n i i n i i n i i n i i a R R R R R t R ）（ 部件冗余的可靠性∏∏∏∏====-=-=--=

n

i i n i i n i i

i n

i i

b R R R R R t R 1

1

1

2

1

2

)2(]2[])

1(1[)(

由于10<

n

i i

n i i

R R 1

1

)2()2(，

故部件冗余的可靠性大于系统冗余的可靠性。

4.2 ；；；1666小时

解：（1）冷备旁待系统在时刻t 的可靠性，一种情况是工作单元在],0(x 内正常工作（其概率

为t

11e

)(R λ-=t ），另一种情况是在x 时刻，工作单元故障，其后),(t x 时间内，转换到储备单元

工作（其概率为)(R 2x t -）。因此，系统的可靠度为

()

t t

2

11t 0

)(0

211121211e e

e )()()()(λλλλλλλλλλ---------+

=+=-+=??t

x t x t t

S dx e e e dx x t R x f t R t R

（2）考虑转换开关的可靠度R W ，则在上述第二情况中，其概率为)(R R 2W x t -?

则()t t W 2

11

t 0

)(W 0

2W 111

2

1211e e R e R )(R )()()(λλλλλλλλλλ---------+

=+=-+=??t

x t x t

t

S dx e e e

dx x t R x f t R t R 解：（1）冷备待机系统：

在时刻t 的可靠性，一种情况是工作单元在],0(x 内正常工作，另一种情况是在x 时刻，工作单元故障，其后),(t x 时间内，转换到储备单元工作。因此，其可靠度为

)1()()()()(0

)(0

1t e dx e e e

dx x t R x f t R t R t t

x t x t

t

S λλλλλλ+=+=-+=-----??

（2）并联系统

)2(2)]1[1)](1[1)(2222t t t t t S e e e e e t R t R λλλλλ------=-=--=--=

t

S S e t

t R t R λλ--+=21)()(21

由于

()()t)

1()3i

t

2i t t 1(e 32t -λλλλλ->+-+-=Λ，故

1)

()

(21>t R t R S S ，即冷备待机系统可

靠性较高。

解：设待机系统可靠度为)(1t R S ，并联系统可靠度为)(2t R S ，

)1()()()()(0

)(0

1t R e dx e e R e

dx x t R x f R t R t R Z t t

x t x Z t

t

Z S λλλλλλ+=+=-+=-----??

)2(2)]1[1)](1[1)(2222t t t t t S e e e e e t R t R λλλλλ------=-=--=--=

t

Z S S e t

R t R t R λλ--+=21)()(21

由上题可得，由于()()t)

1()3i

t 2i

t t 1(e 3

2t

-λλλλλ->+-+-=Λ

故t 1e

-2t

-λλ+<，但当01→<

故要获得比两部件并联系统更高的可靠性，转换开关的可靠度应是1才可行。

； R s =

I City2= 1/2: 2R-R

2

; 2/4: 6R 2-8R 3+3R 4