广东仲元中学2020年学年第一学期期末考试(高一数学)

广东仲元中学2020年学年第一学期期末考试

高一年级 数学科必修一、二模块试卷

命题人：黄意娴 审题人：邱志红、雷 伟

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将答案写在答题卷上。）

1. 已知集合M ={1,2}，N ={2,3}， 则=?N M （ ） （A ） {1,3} （B ） {2,3} （C ） {2} （D ） {1,2,3}

2.已知圆C 的方程为：2(1)x ++2(2)y -=4，则圆心坐标与半径分别为（ ） （A ）2),2,1(=r （B ） 2),2,1(=-r （C ） 4),2,1(=r （D ）4),2,1(=--r

3.直线013=--y x 的倾斜角是（ ）

（A ）

65π （B ）3π （C ） 32π （D ）6

π 4．设,1)21()(+-=x x f x 用二分法求方程01)2

1(=+-x x

在)3,1(内近似解的过程

中,,0)3(,0)2(,0)5.1(,0)1(<<<>f f f f 则方程的根落在区间 ( )

A ．)5.1,1(

B ．)2,5.1(

C ．)3,2(

D ．无法确定 5.若方程2

2

0x y x y m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是（ ）

1.2A m <

1.2B m > .0C m < 1.2

D m ≤ 6.两圆的方程是(x+1)2

+(y-1)2

=36，x 2

+y 2

-4x+2y+4=0,则两圆的位置关系为（ ）

A ．相交

B ． 外切

C ．内含

D ．内切 7.给出下列命题:

1. 垂直于同一直线的两直线平行.

2. 同平行于一平面的两直线平行.

3. 同平行于一直线的两直线平行.

4. 平面内不相交的两直线平行. 其中正确的命题个数是( )

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 8、如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（ ） (A ）BD ∥平面CB 1D 1 (B)AC 1⊥BD

(C)AC 1⊥平面CB 1D 1 (D)异面直线AD 1与CB 所成的角为60°

9、若圆0422

2

=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为2

2

,则a 的值为（ ） (A) 2或0

(B)2

321或

(C) -2或2 (D)-2或0

10、定义：不在同一侧面（底面）的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线。那么六棱柱的对角线共有（ ）条。 (A)54 (B)36 (C)18 (D)9

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案写在答题卷上。） 11.过点(－6，4)，且与直线032=++y x 平行的直线方程是 ．

12.在空间直角坐标系中点P （1，3，－5）关于xoy 平面对称的点的坐标是____________ 13．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2

－x ，则f (1)＝________. 14．直线1l 过点(2,2)C 并绕点C 转动，直线2l 过点C 而且始

终与1l 垂直。初始时1l 、2l 分别垂直x 轴、y 轴，此时1l 与x 轴

交于点0A ，

2l 与y 轴交于点0B ，线段

00A B 中点为0M 。现将1l 绕

C 点

逆时针旋转3

π

，则中点0

M 移动的距离为 。

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

15.（本题满分12分）已知△ABC

三边所在直线方程为AB ：3x +4y +12=0，BC ：4x －

3y +16=0，CA ：2x +y －2=0,求AC 边上的高所在的直线方程.

16.（本题满分12分）

如图所示，已知BCD ，AB 平面⊥M 、N 分别是AC 、AD 的中

点， BC ⊥CD ．

（1）求证：MN ∥平面BCD ；

（2）求证： ABC CD ⊥平面平面A

17．（本题满分14分）

2020年年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。据科学测

算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高

点距水面2

10

3

米，入水处距池边4米。 (Ⅰ)求这个抛物线的解析式；

B 0

M 0

A 0

l 1

l 2

x

y

C

B

A

D

C

M

?N

?第16题图

(Ⅱ)当运动员在空中距池边的水平距离为125米至3

35

米时，问运动员在这个过程中的最大落差是多少米？

18．（本题满分14分）一个几何体是由圆柱11ADD A 和三棱锥E ABC -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中EA ABC ⊥平面， AB AC ⊥，

AB AC =，2AE =． （1）求证：AC BD ⊥；

（2）求三棱锥E BCD -的体积．

19. （本题满分14分）已知a ∈R ，函数f(x)= 11,0

(1

1,0x x

a x x ?->???-+≤?） (1) 求f(1)的值；

（2）证明：函数f(x)在（0，+∞）上单调递增 （3）求函数f(x)的零点

20. （本题满分14分）函数()log (4)1(0,1)a f x x a a =-->≠所经过的定点为(,)m n ，圆C 的方程为

222()()(0)x m y n r r -+-=>31230x y ++-=被圆C 73 （1）求m 、n 以及r 的值； （2）设点(2,1),P -探究在直线y=－1上是否存在一点B （异于点P ），使得对于圆C 上任意一点T 到,P B

两点的距离之比(TB k k TP

=为常数）。若存在，请求出点B 坐标以及常数k 的值，若不存在，请说明理由。

A O D

E 正（主）视图

E A

侧（左）视图

A 1 D 1

A D 1

A 1 E B

C O

D 图

2

广东仲元中学2020年学年第一学期期末考试参考答案

一．选择题： CBDAA CBDAC

二. 填空题: 11. 220x y +-= ; 12. (1,3,5) 13. -3 14. 三. 解答题:

15. 解： 由3412043160

x y x y ++=??

-+=?解得交点B （－4，0）

， 2

11,=-=∴⊥AC BD

k k AC BD Θ. ∴AC 边上的高线BD 的方程 为042),4(21=+-+=y x x y 即.

16. 证明: （1）因为,M N 分别是,AC AD 的中点，所以//MN CD ．

又MN ?平面BCD 且CD ?平面BCD ，所以//MN 平面BCD ． …………………6分 (2) ∵BCD ，AB 平面⊥CD ?平面BCD

∴AB ⊥CD

又∵BC ⊥CD ．且AB BC B ?=??，AB 平面ABC ，BC 平面ABC ∴CD BC ⊥平面A 又∵CD ?平面ACD

∴ABC CD ⊥平面平面A …………………12分

17. 解：(Ⅰ) 由题设可设抛物线方程为2

()(0)y f x ax bx c a ==++<,且(0)0

(2)10f f =??=-?

∴0,52c b a ==--;

即2

2

252(52)()(52)()(0)24a a y f x ax a x a x a a a

++==-+=--<………………4分 ∴2max (52)2[()](0)43a f x a a +=-=<且

5202a

a

+>,得(625)(23)0a a ++=且

5

2a <- ……………………………6分

∴2510,63a b =-=,所以解析式为：22510

63

y x x =-+ ………11分 (Ⅱ) 当运动员在空中距池边的水平距离为335米时，即38

3255

x =-=时，

2825810816

()()565353

y f ==-?+?=- ………13分

又因为在这个过程中max 23

y = 所以运动员的最大落差为

23-（163

-）=6（米） 答：运动员在这个过程中的最大落差是6米。……14分

18. （1）证明：因为EA ABC ⊥平面，AC ABC ?平面

所以 AE AC ⊥，

又因为 AB AC ⊥，AB AE A ?=， 所以AC BE ⊥平面A

又因为BD ABE ?平面,所以AC BD ⊥……7分

（2）解：依题意，有OA=2,AD=2

因为EA ABC ⊥平面，所以

111116

422233323

E BCD E ABC D ABC ABC ABC V V V S EA S DA ---??=+=?+?=?????=……14分

19. 解：（1）当x>0时，11

()1,(1)101

f x f x =-

∴=-= （2）证明：在22(0,),x x +∞<11上任取两个实数x 、且x

则12

2122112

1111)()(1)(1)x x f x x x x x x x --=---=-=1f(x

1

2

12121212

0,0,0,0,x x x x x x x x x x -<<∴-<>∴

（3）（Ⅰ）当x>0时，令1

()0,10f x x

=-=即，解得x=1>0,

∴x=1是函数f(x)的一个零点

(Ⅱ)当x 0≤时，令()0,f x =即（a-1）x+1=0 (※)

①当a>1时，由(※)得x=11-a <0, ∴x=1

1-a

是函数f(x)的一个零点

②当a=1时,方程(※)无解

③当a<1时,由（※）得x=

1

1-a

>0,(不合题意，舍去) 综上所述，当a>1时，函数f(x)的零点是1和1

1-a

；当a 1≤时，函数f(x)的一个零点是1.

20.解：

（1） 在函数()log (4)1(0,1)a f x x a a =-->≠中，当5x =时，1y =-，所以其经过的定点为点

(5,1)-，即5,1m n ==-。。。。。。。。。。。2分

由于直线AP 被圆C

C 半径为r ，设圆心到直线AP 的距离为d 由于圆心(5,1)-

10y ++-=

的距离为d =

=

。。4分

那么2

22

d r +=??

，解之有5r =。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

（2） 假设在直线y=－1上存在一点B （异于点P ），使得对于圆C 上任意一点T 到,P B 两点的距离之

比

(TB k k TP

=为常数）

。 圆与直线y=－1的交点为(0,1),(10,1)S Q --，(,1)B m - 则

102

8

m m -=

，解有10

3

m =-

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 下面证明：设(,)T x y 为圆上任意一点，则

TB TP ==。。。。。。。。。。。。。。。10分

TB TP

=

=。

。。。。。。。。。。。。。。。11分

53=

==

所以在直线y=－1上存在一点10

(,1)3

B -

-，使得对于圆C 上任意一点T 到,P B 两点的距离之比5

3

TB

TP = 。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14分