2019年天津中考数学试题(解析版)
{来源}2019年天津中考数学
{适用范围:3． 九年级}
{标题}2019年天津市初中毕业生学生考试试卷 数学
试卷满分120分，考试时间100分钟。 第I 卷
{题型:1-选择题}一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分） {题目}1.（2019年天津）计算（-3）×9的结果等于（ ） A. -27 B. -6 C. 27 D. 6 {答案}A
{解析}本题考查了有理数的乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，故原式=-3×9=-27，因此本题选A ． {分值}3
{章节:[1-1-4-1]有理数的乘法} {考点:有理数的乘法法则} {类别:常考题} {难度:1-最简单}
{题目}2.（2019年天津）?60sin 2的值等于（ ）
C. 3
D. 2 【解析】锐角三角函数计算，故选A. {答案}B
{解析}本题考查了特殊角的锐角三角形函数，由于sin 60?=
，所以?60sin 2=2×
2
3
=3，因此本题选B ． {分值}3
{章节:[1-28-3]锐角三角函数}
{考点:特殊角的三角函数值}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}3.（2019年天津）据2019年3月21日《天津日报》报道：“伟大的
变革---庆祝改革开放四十周年大型展览”3月20日圆满闭幕，自开幕以来，现场观众累计约为4 230 000人次，将4 230 000用科学记数法表示为
（）
A. 0.423×107
B.4.23×106
C.42.3×105
D.423×104
{答案}B
{解析}本题考查了科学记数法，将一个数写成a×10n的形式，叫做科学记
数法.其中a是整数数位有且仅有一位的数，即a应满足1≤|a|＜10；当原
数的绝对值不小于1时，n等于原数的整数位数减去1所得的差；当原数的
绝对值小于1时，n等于原数左起第一位非零数字前面所有0的个数的相反数.4 230 000=4.23×106，因此本题选B．
本题考查了，，因此本题选．
{分值}3
{章节:[1-1-5-2]科学计数法}
{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}4.（2019年天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面
4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
{答案}A
{解析}本题考查了轴对称图形的识别，看一个图形是否轴对称图形，关键是看它能否沿着某条直线折叠后使得两边能完全重合，以此来判断可知：“”可以看做轴对称图形.因此本题选A．
{分值}3
{章节:[1-13-1-1]轴对称}
{考点:轴对称图形}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}5.右图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）
A. B.
C. D.
{答案}B
{解析}本题考查了三视图，从前面看到的图形叫做物体的主视图，容易看出图中的立体图形主视图为，因此本题选B ．
{分值}3
{章节:[1-29-2]三视图} {考点:几何体的三视图} {类别:常考题} {难度:1-最简单}
{题目}（2019年天津）6.估计33的值在（ ）
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间 {答案}D
{解析}＜33＜所以5＜33＜6，因此本题选D ． {分值}3
{章节:[1-6-3]实数} {考点:无理数的估值} {类别:常考题} {难度:2-简单}
{题目}7.（2019年天津）计算
22
11
a a a +++的结果是（ ）
A. 2
B. 22+a
C. 1
D.1
4+a a
{答案}A
{解析}本题考查了同分母分式的加减，21
2
21212=++=+++a a a a a ，因此本题选A ． {分值}3
{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {考点:两个分式的加减} {类别:常考题} {难度:2-简单}
{题目}8.（2019年天津）如图，四边形ABCD 为菱形，A 、B 两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C ，D 在坐标轴上，则菱形ABCD 的周长等于（ ）
A.5
B.34
C.54
D. 20
{答案}C
{解析}本题考查了菱形的性质，∵A （2，0），B （0，1），∴OA=2，OB=1，
由勾股定理可得
由菱形的性质可知所以其周长等
C. {分值}3
{章节:[1-18-2-2]菱形} {考点:菱形的性质}
{类别:常考题} {难度:2-简单}
{题目}9.（2019年天津）方程组???=-=+11267
23y x y x 的解是（ ）
A.???=-=51y x
B.???==21y x
C.31x y =??=-?
D.??
???==212
y x
{答案}D
{解析}本题考查了二元一次方程组的解法，用加减消元法解方程组
??
?=-=+②
①
1126723y x y x ，①+②，得9x=18，∴x=2， 将x=2代入①得，726=+y ，解得21
=y ，从而方程组的解为??
???==212
y x ，因此本题选D. {分值}3
{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组} {考点:加减消元法} {类别:常考题} {难度:2-简单}
{题目}10.（2019年天津）若点A （-3，1y ），B （-2，2y ），C （1，3y ）都在反比函数x
y 12
-
=的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A.312y y y << B.213y y y << C.321y y y << D.
123y y y <<
{答案}B
{解析}本题考查了反比例函数的性质，将（-3，1y ），（-2，2y ），（1，
3y ）代入x y 12-
=，得：12-1
12
,6212,4312321=-==--==--=y y y ，所以213y y y <<，因此本题选B ．
{分值}3
{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}
{题目}11.（2019年天津）如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列结论一定正确的是（ ）
A.AC=AD
B.AB ⊥EB
C. BC=DE
D.∠A=∠EBC
{答案}D
{解析}本题考查了图形旋转的性质，由旋转性质可知，AC=CD ，AC 不一定等于AD ，∴A 选项错；由旋转性质可知，BC=EC ，BC 不一定等于DE ，∴C 错；由旋转性质可知，∠ACB=∠DCE ，∠ACD=∠ECB ，
AC=CD ，BC=CE ，∴∠A=∠CDA=2
1
（180°-∠ECB ），∠EBC=∠CEB=2
1（180°-∠ECB ），∴∠A=∠EBC ，∴D 正确；要想∠ABE=90°，需∠ABC+∠EBC=∠ABC+∠A=90°，这就需要∠ACB=90°，而由题意不能得到∠ACB=90°，∴B 选项错误.因此本题选D ．
{分值}3
{章节:[1-23-1]图形的旋转} {考点:旋转的性质} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}
{题目}12.（2019年天津）二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：
且当x=2
-时，与其对应的函数值0>y ，有下列结论：
①abc ＞0；② －2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c ＝t 的两个根；③0＜m+n ＜
20
3
.其中，正确结论的个数是（ ） A.0 B.1 C. 2 D.3 {答案}C
{解析}本题考查了二次函数的图象与性质.由表格可知，抛物线y ＝ax 2+bx+c 过点（0，-2），（1，-2），∴c ＝﹣2，a+b ﹣2＝﹣2，∴a+b ＝0，∵a ≠0，∴ab ＜0，从而可得abc ＞0，
∴①正确；抛物线为y ＝ax 2﹣ax ﹣2，x =1
2是对称轴，x ＝﹣2时y ＝t ，故由
抛物线的轴对称性可知当x ＝3时，y ＝t ，∴﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c ＝t 的两个根，故②正确；将（-1，m ）、（2，n ）代入解析式y ＝ax 2﹣ax ﹣2得m ＝n ＝2a ﹣2，∴m ＝n ＝2a ﹣2，∴m+n ＝4a ﹣4，∵当x=12
-
时，y ＞0，∴112042
a a +->，∴a ＞83
，∴m+n ＞20
3
，故③错误.因此本题选
C ． {分值}3
{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质} {考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}
第II卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
{题目}13.（2019年天津）计算x5?x的结果等于 .
{答案}x6
{解析}本题考查了同底数幂的乘法，根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，可知x5?x＝x6．因此本题答案为：x6．
{分值}3
{章节:[1-14-1]整式的乘法}
{考点:同底数幂的乘法}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}14.（2019
3-）的结果等
1）（1
于 .
{答案}2
{解析}本题考查了二次根式的乘除，由平方差公式得原式＝221-＝3﹣1＝2．因此本题答案为：2．
{分值}3
{章节:[1-16-2]二次根式的乘除}
{考点:二次根式的乘法法则}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}15.（2019年天津）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球，3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，
则它是绿球的概率是 . {答案}37
{解析}本题考查了等可能条件下的概率的计算，因为不透明袋子装有7个球，其中3个绿球，所以从袋子中随机取出一个球，有7种等可能的结果，其中是绿球的有三种，∴P （摸出1个球是绿球）=37.因此本题答案为：37
． {分值}3
{章节:[1-25-1-2]概率} {考点:一步事件的概率} {类别:常考题} {难度:1-最简单}
{题目}16.（2019年天津）直线12-=x y 与x 轴交点坐标为 . {答案}（21，0）
{解析}本题考查了一次函数图象的性质，求直线与x 轴的交点坐标，就要求出当y=0时，x 的值为多少.令0=y ，得2
1=x ，所以直线12-=x y 与x 轴交点坐标为（2
1，0）.因此本题答案为：（21，0）． {分值}3
{章节:[1-19-2-2]一次函数} {考点:一次函数的性质} {类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}17.（2019年天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上
一点，连接AE.折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得
到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为 .
{解析}本题考查了正方形的性质、勾股定理及折叠的有关性质.设AE、BF
交于点H.在正方形ABCD中，AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠FAH+∠AFH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠AFH＝∠BAH，∴△ABF≌△DAE
（AAS），∴AF＝DE＝5，由勾股定理得，AE=BF===13，
S△ABF=1
2AB?AF=1
2
BF?AH，∴AB?AF=BF?AH，∴12×5＝13AH，∴AH=60
13
，
∴AG＝2AH=120
13，∴GE＝AE﹣AG＝13-120
13
=49
13
.因此本题答案为：49
13
．
{分值}3
{章节:[1-18-2-3] 正方形} {考点:正方形的性质}
{类别:常考题}
{难度:4-较高难度}
{题目}18.（2019年天津）如图，在每个小正方形得边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点A、B的圆的圆心在边AC上.
（1）线段AB的长等于；
（2）请用无刻度
．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足
∠PAC=∠PBC=∠PCB，并简要说说明点P的位置是如何找到的（不要求证
明） .
{答案}（1；（2）利用圆与网格线的交点画出一条直径与AC相交
得到圆心O，取AB与网格线的交点F，连接FO并延长交⊙O于点G，连接GC并延长交BO于点P，连接AP，即可找到点P．
{解析}本题第（1）问考查了勾股定理，由勾股定理得AB=；第（2）问考查了正方形网格和圆的背景下的网格直尺作图问题，综合性
较强.先利用90°的圆周角所对的弦是直径，两条直径的交点为圆心找出
圆心.如图，取圆与网格线的交点D，E，连接DE交AC于点O，则点O是
圆心.再取AB与网格线的交点F，连接FO并延长交⊙O于点G，连接GC
并延长交BO于点P，连接AP，则点P就是满足条件∠PAC＝∠PBC＝∠PCB
的点.简要证明如下：根据题意容易知道∠OAF＝∠OBF＝30°，∠AOF＝∠BOF＝∠BOC＝∠GOC＝60°，从而可得∠OBC＝20°，利用“SAS”证明△GOC≌△GBC，得到∠G=∠OBC=20°，从而可求出∠OPG=40°，从而可得∠PCB＝∠OPG-∠PBC＝20°=∠PBC.利用“SAS”证明△GOP≌△AOP，得到∠PAC=∠G=20°，从而可证出∠PAC＝∠PBC＝∠PCB.因此本题答案为：（1）
；（2）利用圆与网格线的交点画出一条直径与AC相交得到圆心O，
2
取AB与网格线的交点F，连接FO并延长交⊙O于点G，连接GC并延长交BO于点P，连接AP，即可找到点P．
{分值}3
{章节:[1-24-1-4]圆周角}
{考点:圆周角定理}
{考点:直径所对的圆周角}
{考点:几何综合}
{类别:高度原创}
{类别:发现探究}
{难度:6-竞赛题}
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答题写出文字说明、演算步骤或推理过程）
{题目}19.（2019年天津）（本小题8分）
解不等式
11,
211
x
x
+≥-
?
?
-≤
?
①
，②
请结合题意填空，完成本题的解答：
（I）解不等式①，得；（II）解不等式②，得；（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（IV）原不等式组的解集为 . {解析}本题考查了一元一次不等式组的解法，由于采用了填空的形式，因此考生只需按题中所提供的解题步骤依次完成即可．
{答案}（Ⅰ）x≥﹣2；
（Ⅱ）x≤1；
（Ⅲ）
（Ⅳ）﹣2≤x≤1．
{分值}8
{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}
{难度:2-简单}
{类别:常考题}
{考点:解一元一次不等式组}
{题目}20.（2019年天津）（本小题8分）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据随机调查结果，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：
图① 图② （I ）本次接受调查的初中生人数为 ，图①中m 的值为 ；
（II ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数； （Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h 的学生人数. {解析}本题考查了统计图，求平均数、众数、中位数，以及利用样本估计总体.（I ）根据公式频率=频数÷样本容量进行计算即可，样本容量=1.2÷20%=40，m%=10÷40=25%，所以m=25，故本小题答案为40、25；（II ）根据平均数、众数、中位数的定义计算即可；（Ⅲ）利用样本中体育活动时间大于1h 的学生人数的占比对总体作出估计即可. {答案}解： （I ）40，25； （II ）5.13
1015843
1.2108.1155.18
2.149.0=++++?+?+?+?+?=
x
∵在这组数据中，1.5出现了15次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是1.5；
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.5，故这两个数的平均数即这组数据的中位数是1.5. 答：这组数据的平均数、众数、中位数都是1.5h.
（III ）∵在统计的这组每天在校体育活动时间的样本中，每天在校体育活动时间大于1h 的学生人数占的比例为1-10%=90%，∴估计该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1h 的人数约占90%， 从而可计算得：800×90%=720，
答：该校每天在校体育活动时间大于1h 的学生约有720人． {分值}3
{章节:[1-10-1]统计调查}
{章节:[1-20-1-1]平均数}
{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}
{难度:3-中等难度}
{类别:常考题}
{考点:用样本估计总体}
{考点:扇形统计图}
{考点:条形统计图}
{考点:加权平均数（频数为权重）}
{考点:中位数}
{考点:众数}
{题目}21.（2019年天津）（本小题10分）已经PA,PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=80°，C为⊙O上一点.
如图①，求∠ACB的大小；
（II）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D，若AB=AD，求∠EAC的
大小.
图①图②
{解析}本题考查了切线的性质、切线长定理、圆心角与圆周角的关系等相
关知识．（I）连接OA、OB，根据切线的性质结合四边形内角和先求出∠AOB，再利用在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
的一半即可求出答案；（II）先求出∠PAB=50°，再求出∠BAD=40°，再
根据AB=AD求出∠ADB=70°，再根据三角形外角的性质可得∠EAC=∠ADB-
∠ACB=20°．
{答案}解：（Ⅰ）连接OA、OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠APB=80°，∴在四边形OAPB中，∠
∠AOB=50°；
AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=100°，∴∠ACB=1
2
图①图②
（II）如图②，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∵∠APB=80°，∴∠PAB=∠PBA=50°，由（Ⅰ）知∠PAD=90°，∠ACB=50°，∴∠BAD=∠PAD-
∠PAB=40°，∵AB=AD，∴∠ADB=∠B=70°，∵∠ADB=∠EAC+∠ACB，∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=20°.
{分值}10
{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}
{难度:3-中等难度}
{类别:常考题}
{考点:切线长定理}
{题目}22.（2019年天津）（本小题10分）如图，海面上一艘船由西向东
航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继
续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°.根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD(结果取整数).
参考数据： sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60 .
{解析}本题考查了解直角三角形的应用问题（增长率）．设所求灯塔高度为x，利用直角三角形的边角关系表示出AD和BD的长，再列出方程即可求解.
{答案}解：设CD=x.在Rt△CAD中，∵tan∠CAD=CD
AD ≈0.60，∴AD=
tan31
x
≈5
3
x.
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，∴BD＝CD=x，∵AD＝AB+BD，∴5
3
x＝x+30，解得x＝45.
答：这座灯塔的高度CD约为45m．
{分值}10
{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}
{难度:3-中等难度}
{类别:常考题}
{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}
{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}