导数学案(完整版)精心整理

选修（1-1）第三章导数及其应用

课题：§3.1 变化率与导数

学习目标：1. 了解函数的平均变化率、瞬时变化率的概念；

2. 理解导数的概念，理解、掌握导数的几何意义

3. 会利用定义求函数在某一点附近的平均变化率及导数；

4. 会利用定义求函数在某点处的切线方程.

学习过程：

一、变化率问题

[开篇思考]：阅读开篇语，了解课程目标

1. 微积分的创立与自然科学中的哪些问题的处理直接相关？

2. 导数的研究对象是什么？

[问题探究一]：气球膨胀率

吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。从数学的角度如何

描述这种现象? 阅读教材P72并思考：

（1）问题中涉及到的两个变量分别是、，这

两个变量间的函数关系是；

（2）“气球的半径增加得越来越慢”的意思是“

”，从数学角度进行描述就是“

”，即气球的平均膨胀率就是.

（3）运用上述数学解释计算一些具体的值

当空气容量从0增加到1L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为；

当空气容量从1L增加到2L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为；

当空气容量从2L增加到2.5L时，气球半径r增加了，

气球的平均膨胀率为；

当空气容量从2.5L增加到4L时，气球半径r增加了，气球的平均

膨胀率为；

可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐.

（4）思考：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是

[问题探究二]：高台跳水

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系10

5.6

9.4

)

(2+

+

-

=t

t

t

h如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？阅读教材P73并思考：

若用运动员在某段时间[]2

1

,t

t内的平均速度v描述其运动状态，

那么：（1）v= ；

（2）算一算：

在5.0

0≤

≤t这段时间内，v=

在2

1≤

≤t这段时间内，v=

在

49

65

0≤

≤t这段时间内，v=

[新知]：

设()

y f x

=，

1

x是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点

2

x，

1

x与

2

x的差记为x?，即x?=

或者

2

x= ，x?就表示从

1

x到

2

x的变化量或增量；相应地，函数的变化量或增量记为y?，即y

?= ；如果它们的比值

y

x

?

?

，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率. 平均变化率：_______________ = ______

反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.

[试一试]：

例：已知函数2

()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，]1.1 （2）[1，]2 （3）[1，]x ?+1

[思考]：当x ?越来越小时，函数)(x f 在区间[1，]x ?+1上的平均变化率有怎样的变化趋势？ [变式]： 已知函数2

()f x x x =-+的图象上一点(1-，)2-及邻近一点(x ?+-1，)y ?+-2，则y x

??=

[学习小结]：

1. 函数()f x 的平均变化率是

2. 求函数()f x 的平均变化率的步骤：

（1）求函数值的增量 ；（2）计算平均变化率 . [作业]：形成练习P 41-42 练习21 函数的平均变化率 [再思考]：计算[问题探究二]中运动员在49

65

0≤

≤t 这段时间里的平均速度，思考以下问题： （1）运动员在这段时间内使静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 二、导数的概念

[探究]：计算[问题探究二]运动员在49

65

0≤

≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： （1）运动员在这段时间内使静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：

[知识回顾]：什么是函数)(x f y =的平均变化率？如何求平均变化率？

[想一想]：既然用平均速度不能精确描述运动员的运动状态，那该如何求运动员在某一时刻的速度呢？

回答下列问题：

1．什么是瞬时速度？

2. 当t ?趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？

3. 运动员在某一时刻0t 的瞬时速度怎样表示？

[认识与理解]：求瞬时速度

一物体的运动方程是2

3t s +=，则在2=t 时刻的瞬时速度是

[新知]：

1. 函数)(x f y =的瞬时变化率怎样表示？

2. 什么是函数)(x f y =在0x x =处的导数？如何表示？其本质是什么？

[试一试]：

例1．（1）用定义求函数2

3x y =在1=x 处的导数.

（2）求函数f (x )=x x +-2

在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

例2．阅读教材P 75例1,计算第h 3时和第h 5时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

[学习小结]：

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念

2．函数)(x f y =在0x x =处的导数及其本质 [作业]：形成练习P 43-44练习22 导数的概念

三、导数的几何意义（阅读教材P 74-75）

[思考与探究一]：曲线的切线及切线的斜率

如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =

沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的

变化趋势是什么？

当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的 . [想一想]：

（1）割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？

（2）切线PT 的斜率k 为多少？

（3）此处切线的定义与以前学过的切线的定义有什么不同？

[新知1]：导数的几何意义：

图3.1-2

1. 函数)(x f y =在0x x =处的导数等于

即 0000

()()

()lim

x f x x f x f x k x

?→+?-'==?

2. 函数)(x f y =在0x x =处的切线方程是 .

3. 求曲线在某点P 处的切线方程的基本步骤: ① 求出点的坐标))(,(00x f x P ；

② 求出函数在点=x 0x 处的变化率0000

()()

()lim x f x x f x f x k x

?→+?-'==?，

得到曲线在点))(,(00x f x P 的切线的斜率； ③ 利用点斜式求切线方程. [新知2]：导函数：

1. 什么是函数)(x f y =的导函数？

2. 函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系？

[试一试]：

例1:（1）求曲线1)(2

+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.

例2：在曲线2

x y =上过哪一点的切线平行于直线54+=x y ？

例3：（1）试描述函数()f x 在1,0,2,4,5---=x 附近的的变化情况.

（2）已知函数()f x 的图象,试画出其导函数()f x '图象的大致形状

.

[练一练]：

（1）求函数2

3)(x x f =在点1=x 处的切线方程.

（2）设曲线2)(x x f =在点0P 处的切线斜率是3，则点0P 的坐标是

[学习小结]：

1. 导数的几何意义是什么？

2. 函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系？

3. 求曲线在某点P 处的切线方程的基本步骤:

[作业]：1. 形成练习P 44-45 练习23 导数的几何意义； 2. 学探诊 测试十一

[课后思考]：1. 本节知识内容有哪些？你学会了什么？2. 你还有哪些困惑？快快去解决.

课题： §3.2 导数的计算

学习目标：1．会利用导数的定义推导函数y c =、y x =、2

y x =、1

y x

=

的导数公式； 2．掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，会求简单函数的导数.

学习过程：

一、几个常用函数的导数 [开篇语]：

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们先来求几个常用的函数的导数． [思考与探究]：阅读教材P 81-82，利用导数的定义，尝试自己推导函数y c =、y x =、2

y x =、

1

y x

=

的导数 [练一练1] ：利用导数的定义函数3

x y =的导数

二、基本初等函数的导数公式及导数运算法则 [记一记1]：基本初等函数的导数公式

1. =')(c _________

2. =')(α

x ________ （α为有理数） =')1(x

_________

3. =')(x e _________ =')(x

a _________(1,0≠>a a )

4. =')(ln x __________ =')(log x a ________(1,0≠>a a )

5. =')(sin x _________ =')(cos x _________ [练一练2]

例1：求下列函数的导数

（1）3

x y = （2）x x y = （3） 2

1x y =

（4）2cos 2sin 2x

x y = （5）x

y 1=

例2：（1）求x y 1=在点)2

1

,2(处的切线方程

（2）求x y ln =在2

e x =处的切线方程

（3）求x y sin =在点)2

1

,6(

πA 处的切线方程

（4）设曲线22)(x x f =在点0P 处的切线斜率是3，则点0P 的坐标是

（5）在曲线2

x y =上过哪一点的切线平行于直线54+=x y ？

（6）求过点()8,2--P 所作的3

x y =的切线方程___________.

[记一记2]：导数运算法则：设函数)(),(x g x f 是可导函数，

1. ='±))()((x g x f _________________.

2. ='?))()((x g x f _________________. []='

)(x cf _____________.

3. ='))

()

((

x g x f _________________. [练一练3]：

练1. 求下列函数的导数： （1）x x

y 3log 1

+=； （2）2x y e =；

（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-.

练2. 求下列函数的导数：

（1）3

2log y x x =+； （2）n x

y x e =； （3）31

sin x y x

-=

练3.（1）设曲线1

1

x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a 的值.

（2）（2013年江西）若曲线1y x α

=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α的值.

[提高篇]

1.（朝阳一模）已知函数()()x a x a x x f ln 22++-=，其中R a ∈，求曲线()x f y = 在点

()()2,2f 处的切线的斜率为1，求a 的值.（如改为已知切线方程）

2. （2012北京）已知函数()()012

>+=a ax x f ，()bx x x g +=3

.若曲线()x f y =与曲线()x g y =

在它们的交点()c ,1处具有公共切线，求b a ,的值.

[学习小结]：

1．对于简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类 简单函数的导数.

2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则。求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.

[作业]：1. 形成练习P 45-48练习24、常见函数的导数；练习25 导数的四则运算 2. 学探诊 测试十二、十三

[课后思考]：1. 本节知识内容有哪些？你学会了什么？2. 你还有哪些困惑？快快去解决.

课题： §3.3 导数在研究函数中的应用

学习目标：1. 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；

2．理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数的极值的步骤；

3. 理解函数的最大值和最小值的概念；掌握用导数求函数最值的方法和步骤.

学习过程：

一、函数的单调性与导数 [知识回顾]

1. 以前，我们用定义来判断函数的单调性.

已知函数)(x f ，对于任意的两个数D x x ∈21,（D 为函数)(x f 定义域内的某个区间），若当21x x <时，有 ，那么函数)(x f 就是区间D 上的增函数，D 是 ；若当21x x <时，有 ，那么函数)(x f 就是区间D 上的减函数，D 是 . 2．'C = ； =')(α

x ； (s i n )'x = ； (c o s )'x = ；

(ln )'x = ； (log )'a x = ； =')(x

e ； =')(x

a _________

[问题探究一]：函数的导数与函数单调性的关系

1. 阅读教材P 89-90后，你有了哪些新的认识？还有哪些疑惑？

2. 自己再探究一下下列问题

问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x = 的导数. 通过函数342

+-=x x y 的图像来观察：在区间（2，∞+）内，

图像上每一点处的切线斜率都为 ，也就是)(x f ' 0，此时函数()y f x =的值随x 的增大而 .即0)(>'x f 时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为 函数；在区间（∞-，2）内，图像上每一点处的切线斜率都为 ，也就是)(x f ' 0，此时函数()y f x =的值随x 的增大而 ，即

[新知]：

一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，若在这个区间内)(x f ' ，那么函数

()y f x =在这个区间内单调递增；若在这个区间内)(x f ' ，那么函()y f x =在这个区间内

单调递减.

［想一想］：判断函数的的单调性，求函数单调区间的步骤应是怎样的？

［试一试］：

例1：判断下列函数的单调性，并求出单调区间．

（1）42)(2+-=x x x f ； （2）3

3)(x x x f -=；

（3）x e x f x

-=)( （4）2

()2ln f x x x =-

[问题探究二]：如果)(x f 在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？

［练一练］：

1. 已知导函数的下列信息，试画出函数()f x 图象的大致形状.

当14x <<时，()0f x '>； 当4x >，或1x <时，()0f x '<； 当4x =，或1x =时，()0f x '=.

2. 函数()y f x =的图象如图所示，试画出导函数()f x '图象的大致形状.

3. 求证：函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数.

［学习小结］：1. 用导数求函数单调区间的步骤；2. 函数图像的增减与导数图像的关系

［知识拓展］：导数绝对值的大小与函数图象变化的关系（阅读教材P 93）

［作业］：1.形成性练习P 50-51练习26 导数与函数的单调性 2. 学探诊 测试十四

［巩固练习］：

1. 函数)(x f 的定义域为开区间3

(,3)2

-，导函数)(x f '在 区间3

(,3)2

-

内的图象如图所示，则函数)(x f 的单调增 区间是___________单调增区间是_

2. 若函数2

()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则其导函数'()f x 的图象是（ ）

3. 设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的图象如右图所示，则

)(x f y =的图象最有可能的是（ ）

4. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水 面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）

(A)

(B)

(C) (D)

5. 若函数)(x f y =的图象如右图，那么导函数()y f x '=的图象可能是( )

6. 设)('x f 是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =和)('x f y =的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

)(x f y '=

O 1 2 x

y x

y

y O

1 2 y O

1 2 x

O 1

2

x

D

O

1 2 x

y

O t

h

h t O h t O O t h

正视图

侧视图

俯视图

A ．

B ．

C ．

D ．

7. 已知函数()x f y =的图象是下列四个图像之一,且其导函数()x f y '

=的图象如右图所示,则该函数

的图象是（ ）

8. 求函数3

2

()15336f x x x x =--+的单调区间. [提高篇]

1. 函数()x ax x f -=3在R 上为减函数，求a 的取值范围

2. 函数()523-+-=x x ax x f 在()+∞∞-,上单调递增，则实数a 的取值范围.

3. (2008北京) 已知函数3

2

()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数．

（Ⅰ）求c a ,的值；（Ⅱ）求函数()x f 的单调区间．

4. (2011北京) 已知函数()()x

f x x k e =-.（Ⅰ）求()f x 的单调区间 （高考说明样题）

二、函数的极值与导数 [知识回顾]：

1. 设函数)(x f y =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数)(x f y = 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数)(x f y =为这个区间内的 函数.

2. 用导数求函数单调区间的步骤：

① ② ③ ④

[问题探究]：阅读教材P 93-94

1. 如下图，函数()y f x =在j i h g f e d c ,,,,,,,等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？)(x f 在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？

［新知］：

A

D

C B

如上图，我们把点j h f d ,,,这样的点叫做函数()y f x =的 点，)(),(h f d f 等叫做函数()y f x =的 ；点i g e c ,,,这样的点叫做函数()y f x =的 点，)(),(e f c f 等叫做函数()y f x =的 .

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.

极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 . ［想一想1］：

1. 函数的极值 （填是，不是）唯一的.

2. 一个函数的极大值是否一定大于极小值.

3. 函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.

［想一想2］：

1. 导数为0的点是否一定是极值点. 比如：函数3

()f x x =在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点.即：导数为0是点为极值点的 条件.

2.求函数极值的步骤： ［想一想3］：下图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.

例1. 函数()x f 的定义域为开区间()b a ,，导函数()x f '在()b a ,内的图象

如图所示，则函数()x f 在开区间()b a ,内有极小值点（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 ［试一试］： 例2.求函数31

443y x x =-+的极值.

变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，

(2,0)，如图所示，求 （1）0x 的值 ； （2） a ，b ，c 的值.

［练一练］：

练1. 判断下列函数有无极值点，如果有请求出极值.

（1）3()27f x x x =-； （2）3()612f x x x =+-；

（3）321

()353

f x x x x =-+-； （4）2()x f x x e =?；

（5）2

()ln f x x x =-+； （6）2()1x f x x =+

x

练2.（1）已知函数3

2

()f x ax bx =+，当1x =时，有极大值3.（Ⅰ）求,a b 的值；(Ⅱ)求函数()f x 的极小值.

（2）已知3

2

()f x x ax bx c =+++在1x =与2

3

x =-时都取得极值 （Ⅰ）求,a b 的值； (Ⅱ)若3

(1)2

f -=，求()f x 的单调区间和极值.

［提高篇］：

1.(2009北京) 设函数3

()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与 直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.

2. (2010北京) 设定函数())0(3

2

3>+++=a d cx bx x a x f ，且方程()09'=-x x f 的两个根分别

为1，4.（Ⅰ）当3=a 且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无

极值点，求a 的取值范围．

3.（2010海淀末）函数2()1x a f x x +=+()a R ∈ . （Ⅰ）若()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为1

2

，求

实数a 的值；（Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极值，求函数()f x 的单调区间.

4. 已知函数()1)x

f x ax e =+（.（Ⅰ）若()f x 在2x =处取得极值，求实数a 的值；（Ⅱ）求

函数()f x 的单调区间及极值.

［学习小结］：

1. 求可导函数f (x )的极值的步骤；

2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象.

［作业］：1.形成性练习P 52-53练习27 导数与函数的极值 2. 学探诊 测试十五 三、函数的最大（小）值与导数

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大（小）值点，那么在点0x 附近找不到比()0f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个

值最小．如果0x 是函数的最大（小）值，那么()0f x 不小（大）于函数()y f x =在相应区间上的所有函数值． [知识回顾]：

1. 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值

[问题探究]：函数的最大（小）值（阅读教材P 96-97）

观察以下函数)(x f 在区间[]b a ,的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？

图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 ，最小值是 ；

图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 . ［新知］： 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值.

［想一想1］：

上图的极大值点 ，为极小值点为 ；最大值为 ，最小值为 . ［想一想2］：

1. 函数的最值是 得出的； 函数的极值是 得出的．

2. 函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的 条件（选填）

3. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多 个，而函数的极值可能 . ［想一想3］： 2. 求函数极值的步骤

［试一试］：

例1 求函数31

()443

f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值.

［练一练］：

1．下列说法正确的是（ ）

A. 函数的极大值就是函数的最大值

B. 函数的极小值就是函数的最小值

C. 函数的最值一定是极值

D. 在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数)(x f y =在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ，若M = m ，则)(x f '（ ）

A. 等于0

B. 大于0

C. 小于0

D. 以上都有可能

3. 求下列函数在指定区间内的最值 ①()[]

312,3,3f x x x x =-∈-

②()3

1612,,13f x x x x ??=-+∈-??

??

图1

图2

4. 已知函数2

()ln (1)2

ax f x x a x =+-+，a ∈R ，且0a ≥．（Ⅰ）若(2)1f '=，求a 的值；（Ⅱ）当0a =时，求函数()f x 的最大值；

5. 已知函数c ax ax x f +-=2

3

6)(在[]2,1-上的最大值为3，最小值为29-，求c a ,的值.

［提高篇］：

1.（2012朝阳期末统练18）设函数2

()ln 2,R 2

ax f x a x x a =+-∈.（Ⅰ）当1a =时，试求函

数()f x 在区间[1,e]上的最大值； （Ⅱ）当0a ≥时,试求函数()f x 的单调区间.

2. (2011北京)已知函数()()x

f x x k e =-．（高考说明样题）

（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．

3.（2012北京文）已知函数()()012

>+=a ax x f ，()bx x x g +=3

.

（Ⅰ）若曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线，求b a ,的值； （Ⅱ）当9,3-==b a 时，若函数()()x g x f +在区间[]2,k 上的最大值为28，求k 得取值范围.

4.（2010崇文二模文18）已知函数3

2

()f x x ax bx c =+++在1x =-与2x =处都取得极

值．（Ⅰ）求,a b 的值及函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对[2,3]x ∈-，不等式2

3()2f x c c

+<

恒成立，求c 的取值范围.

5. (东城二模)已知函数()ln a

f x x x

=+

(0)a >.(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)如果00(,)P x y 是曲线()y f x =上的点，且(0,3)x ∈，若以 00(,)P x y 为切点的切线的斜率1

2

k ≤恒成立，求实数a 的最小

值.

［学习小结］：

［作业］：1. 形成性练习P 54-55 练习28 导数与函数的最值

2. 学探诊 测试十六

［课后思考］：1. 本节知识内容有哪些？你学会了什么？2. 你还有哪些困惑？快快去解决.

导数综合练习

1. 已知函数)(x f y =在1=x 处的导数为1，则=-+→x

f x f x )

1()1(lim 0

.

2. 若3)(0-='x f ，则=--+→h

h x f h x f x )

3()(lim

000

.

3. 如图，函数)(x f y =的图像在点P 处的切线方程是5+-=x y ，

则='+)3()3(f f .

4. 垂直于直线0162=+-y x 并与曲线532

3-+=x x y 相切的直线方程是 . 5. 过原点作曲线x

e y =的切线，则切点的坐标为 ，切线方程为 .

6. 过点()0,2与曲线x

y 1

=相切的直线方程是 . 7. 直线m x e

y +=

1

是曲线x e y =的一条切线，则实数m 的值是 . 8. 函数)1()(f e x f x

'+=，则曲线在1=x 处的切线方程是 .

9. 函数x x y sin 2+=的单调增区间为 .

10. 已知函数1)(2

3--+-=x ax x x f 在()+∞∞-,上是单调函数，则实数a 的取值范围

是 .

11. 若()0)(2

3>+++=a d cx bx ax x f 在R 上是增函数，则c b a ,,的关系式是 .

12. 设函数)(x f y =在定义域内可导，)(x f y =

'

A B

C D 13. 函数)(x f y =的图像过原点且它的导函数)(x f y '=的

图像是如图所示的一条直线，则)(x f y =的图像不经过第 象限. 14. 已知函数)(x f 的定义域为R ，且1)2(=-f ，1)3(=f .

)(x f '是)(x f 的导函数，其图像如图所示. 则不等式 1)6(2>-x f 的解集为（ ）.

A.)2,3()3,2(--

B.)2,2(-

C. )3,2(

D. ),2()2,(+∞--∞

15. 若函数2

)()(c x x x f -=在2=x 处有极大值，则常数c 的值为 .

16. 函数2

23)(a bx ax x x f +++=在1=x 是有极值10，那么b a ,的值分别是 .

17. 方程010962

3=-+-x x x 的实数根的个数是 个.

18. 下列区间中，2

x y =存在最大值的区间是（ ）

A. ),(+∞-∞

B. (]2,1-

C. [)2,1-

D. ()2,1-

19. 函数344+-=x x y 在区间[]3,2-上的最小值是 . 20. 设522

1)(2

3

+--

=x x x x f ，当[]2,1-∈x 时，m x f <)(恒成立，则实数m 的取值范围是 .

21. 关于x 的不等式kx x ≤ln 恒成立，则实数k 的取值范围是 .

22. 函数)(x f 的定义域是[]5,1-，部分对应值如表. )(x f 的导函数'的图像如图所示

下列关于)(x f 的命题：

（1）函数)(x f 的值域是[]2,1； （2）函数)(x f 在[]2,0上是减函数；

（3）若[]t x ,1-∈时，)(x f 的最大值是2，那么4=t ； （4）当21<

其中正确命题的序号是 .

23. 若函数1

4)(2+=x x

x f 在区间)12,(+m m 上是单调递增函数，求实数m 的取值范围.

24. 设函数()R a x x a ax x f ∈--+

=6)12(2

3

)(23

（1）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(--f 处的切线方程；

（2）当3

1

=a 时，求)(x f y =的极大值和极小值；（3）若函数)(x f y =在区间)3,(--∞上是增函数，求实数a 的取值范围.

25. 已知函数593)(3

+-=x x x f . （1）求函数)(x f 的单调增区间；（2）若方程0)(=-a x f 有

三个实数根，求实数a 的取值范围.

26. 已知函数c bx ax x x f +++=2

3)(在3

2

-

=x 与1=x 时都取得极值.（1）求b a ,的值与函数)(x f 的单调区间；（2）若对[]2,1-∈x ，不等式2

)(c x f <恒成立，求c 的取值范围.

27. 设函数x e x f x -=)(.（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）证明：当R x ∈时，1+≥x e x

.

28. 已知函数x x x f ln 2

1)(2

+=

.（1）求函数)(x f 在区间[]e ,1-上的最大、最小值. （2）求证：在区间()+∞,1上，函数)(x f 的图象在函数3

3

2)(x x g =的图像下方.

29. 已知函数()R a x a ax x x f ∈-+=2

2ln )(.（1）求函数)(x f 的单调区间；

（2）若()+∞∈?,00x ，使得1)(0≥x f ，求实数a 的取值范围.