全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案

2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题

一、填空题（ 每小题10分，共80分）

1. 某人在将2009中间的两个数码00分别换成两位数ab 与cd 时，恰好都得到完全平

方数：22

29,29,(,,)ab n cd m m n m n N ==>∈，则数组()

,m n ab cd ++= ．

2. 若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线

22

1916

y x -=的顶点和焦点，则椭圆的方程为： ．

3. 实数,x y 满足22236x y y +=，则x y +的最大值是 ．

4. 四面体ABCD 中，,,,1CD BC AB BC CD AC AB BC ⊥⊥===平面BCD 与平面

ABC 成045的二面角，则点B 到平面ACD 的距离为 ． 5. 从集合{}1,2,3,

,2009M =中，去掉所有3的倍数以及5的倍数后，则M 中剩下

的元素个数为 ．

6. 函数3

22

()(1)x x f x x -=+的值域是 ．

7. 247cos

cos

cos cos 15

151515

π

πππ--+= ． 8. 九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,

,a a a ，若13579a a a a a ++++的值

为一平方数，2468a a a a +++的值为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是 ． 二、解答题（ 共70分）

9. （20分）给定Y 轴上的一点(0,)A a （1a >）

，对于曲线2

112

y x =-上的动点(,)M x y ，试求,A M 两点之间距离AM 的最小值（用a 表示）

．

10. （25分）如图，AB 、CD 、EF 是一个圆中三条互不相交的弦，以其中每两条

弦为一组对边，各得到一个凸四边形，设这三个四边形的对角线的交点分别为,,M N P ；证明：,,M N P 三点共线．

11. （25分）n 项正整数列12,,,n x x x 的各项之和为2009，如果这n 个数既可分为

和相等的41个组，又可分为和相等的49个组，求n 的最小值．

答案

1. (100,100) 提示： 注意到，对于整数k ，若2k 的末位数为9，则k 的末位数必

为3或7，易知2

44200029ab <<，（2

452025=），2

55302529cd =>，因此4455n m <<<，

于是，若要,m n 满足条件，只可能是，47,53n m ==，由于2

472209=，2532809=，所以20,80,47,53ab cd n m ====，()

(),100,100m n ab cd ++=．

2.

22

11625

x y += 提示：双曲线的两顶点为()0,3±，两焦点为()0,5±，故由条件，椭圆的两焦点为()0,3±，两顶点为()0,5±，因此，3,5c a ==，2

2

2

16b a c =-=，则椭

圆的方程为

22

11625

x y +=．

3. 1 提示：令x y t +=，则x t y =-，由()2

2236t y y y -+=，得()22522320y t y t -++=，因y 为实数，则判别式()2

24234520t t ?=+-??≥，得

t ≤≤．

4.

3

提示：DC AC ==，作DE ⊥平面ABC ，垂足为E ，连,CE AE ，由

三垂线逆定理，EC BC ⊥，所以0

45DCE ∠=，故12

CE DE DC ==

=，11

36

ABCD ABC V DE S =?=，又因ABCE 为正方形，1AE =，则AD =

ACD 的面积为

2，设B 到平面ACD 的距离为h ，由11

36

ACD h S ?=，得3h = 5. 1072．提示：集合M 中，3的倍数有20096693??=????个，5的倍数有20094015??

=????

个，15的倍数有200913315??

=????

个，则剩下的元素个数为()20096694011331072-+-=个．

6. 11

[,]44

- 提示：222

1()11x x f x x x -=?++，令tan x α=，则 11

sin 2cos 2sin 424

f ααα=?=，

由此，1144f -

≤≤，当tan ,tan 88x ππ

=-时两边分别取得等号． 7. 1

2

-．提示：

724cos cos cos cos 1515151542cos cos 2cos cos

155155

ππππππππ?

???

=+-+ ?

??

???=-原式

42cos

cos cos 515154cos

sin

sin

56

10

ππππ

π

π

??=- ???

=- 12cos

sin

5

102

π

π

=-=-． （注：由0

sin 722sin36cos364sin18cos18cos36==，则00

1

sin18cos364

=，即1cos

sin

5

10

4

π

π

=

．） 8. 18000 提示：

设这九数为 4,3,2,1,,1,2,3,4a a a a a a a a a ----++++，则有，2

5a m =，3

4a n =，9S a =，则22

54

m n a ==，得 23

45m n = ①

令112,5n n m m ==，得231110040m n =，所以 23

1152m n =，再取122m m =，125n n =， 化为 222

2225m n =，取2210,2m n ==，可使左式成立，这时20,100n m ==，2000a =，

918000S a ==．

9. 如图，易求得曲线上诸点的坐标为

：

(0),0),(0,1)E F D ，当2

2x <，

即x ≤≤时，

曲线方程为212

x y =- ……①；

而当2

2x ≥时，曲线方程为2

12

x y =-

……②，对于情形①，即x ≤时，显然当M 位于顶点D 处时，距离AM 取得最小值1a -；

对于情形②，即在x ≤

x ≥2

(,1)2

x M x -，由于 22

2

2221

(1)(2)2124

x AM x a x a a =+--=-++，

因1a >，则22a >

，>

x =AM

；再

比较AD 与AM ：令

22

2()(1)(21)(4)f a AD AM a a a a =-=--+=-，

则当14a <≤时，()0f a ≤，AD AM ≤，即最小值为1AD a =-；而当4a >时，

()0f a >

，则最小值AM =

10. 如图，

设,,AB CD EF 为三条不相交的弦，其中AC BD P =，AF BE M =，

CE DF N =，又设BD CE H =，点,,N P M 截BEH ?的

三边，据梅涅劳斯逆定理，只要证

1HP BM EN

PB ME NH

??= ①， 用记号?表示三角形面积，则由

BM BAF BA BF

ME EA EF

EAF ??==?? ② HP HAC HAC EAC CH EA EC CH EA

PB CE BA BC BA BC

BAC EAC BAC ?????==?=?=????? ③ 由此得

HP BM CH BF

PB ME BC EF

??=?， 因此只要证，

1EN BF CH

EF BC NH

?=?， ④

注意

EN DN

EF DC

=， BFD BCD ∠=∠，则

NH NBD FBD FBN

CH CBD CBD

??-?==?? FB FD FB FN

CB CD

FB ND FB EN CB CD CB EF ?-?=

??==??

所以

1EN BF CH

EF BC NH

?=?，即④成立，从而①成立，故结论得证．

11. 设分成的41个组为1241,,

,A A A ，每组中的各数和皆为49，称这种组为A 类组；

而分成的49个组为1249,,

,B B B ，每组中的各数和皆为41，称这种组为B 类组．

显然，每个项k x 恰好属于一个A 类组和一个B 类组，即同类组之间没有公共项，如果两个组,i j A B 中有两个公共项,r t x x ，则可以将这两个数合并为一个项r t x x +，这样可使n 值减少，故不妨设，每对,i j A B 至多有一个公共项．

今用点1241,,

,u u u 分别表示1241,,,A A A ，而点1249,,,v v v 表示组1249,,,B B B ，

如果组,i j A B 有公共项，则在相应的点,i j u v 之间连一条边，于是得二部图G ，它恰有n 条边和90个顶点．下面证明G 是连通图．

如果图G 的最大连通分支为G '，其顶点数少于90，设在分支G '中，有a 个A 类顶点

12,,,a k k k u u u 和b 个B 类顶点12,,,b s s s v v v ，其中90a b +<，则在相应的A 类组

12,,

,a k k k A A A 和B 类组12,,

,b s s s B B B 中，A 类组i k A 中的每个数i x 都要在某个B 类组

j s B 中出现；而B 类组i s B 中的每个数j x 也都要在某个A 类组j r A 中出现，（否则将有边与分支外的顶点连接，发生矛盾），因此a 个A 类组12,,,a k k k A A A 中各数的和应等于b 个B 类

组12,,

,b s s s B B B 中各数的和，即有4941a b =，由此得41a ，49b ，所以

414990a b +≥+=，

矛盾！因此G 是连通图．于是图G 至少有90189-=条边，即89n ≥； 另一方面，我们可实际构造一个具有89项的数列1289,,,x x x ，满足本题条件．例如

取141427541,8,x x x x =

=====76797,x x ===808384851,6,x x x x =

====

86872x x ==，88895,3x x ==，（该数列有41个取值为41的项；34个取值为8的项；另

将其余七个8拆成七对，其中四对{}7,1，两对{}6,2，一对{}5,3，又得到14个项），于是，

每个A 类组可由一个41，一个8，或者由一个41，添加一对和为8的项组成；这样共得41个A 类组，每组各数的和皆为49；为了获得和为41的49个B 类组，可使1241,,

,x x x

各成一组，其余的数可以拼成八个B 类组：{}8,8,8,8,8,1的组四个，{}8,8,8,8,7,2的组两个，{}8,8,8,8,6,3的组一个，{}8,8,7,7,6,5的组一个．故n 的最小值为89．