探索性问题的常见类型及其求解策略

探索性问题的常见类型及其求解策略

在近几年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、几何，成为高考的热点之一。正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。多年来笔者对此也做了一些探讨。

探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。

探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明：

一、条件追溯型

这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。

例1．（2002年上海10）设函数)(,2sin )(t x f x x f +=若是偶函数，则t 的一个可能值是 。

分析与解答：∵是偶又)().22sin()(2sin )(t x f t x t x t x f ++=+=+函数 ∴ )22sin()22sin()()(t x t x t x f t x f +-=++-=+即。由此可得

)(2)22(222222Z k k t x t x k t x t x ∈++--=+++-=+πππ或∴)(4

1

2Z k k t ∈+=

π 评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．

二、结论探索型

这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。

例2． （2020年上海文12）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设

{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的

是第 组。（写出所有符合要求的组号）。 ①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与a n ；④q 与a n . 其中n 为大于1的整数，S n 为{}n a 的前n 项和。 分析与解答：（1）由S 1和S 2，可知a 1和a 2。由

q a a =1

2

可得公比q ，故能确定数列是该数列的“基本量”。

（2）由a 2与S 3，设其公比为q ，首项为a 1，可得

211132

112,,q a q a a S q

a a q a a ++==

= ∴q a a q

a S 222

3++=

∴

0)(23222=+-+a q S a q a

满足条件的q 可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列{}n a 的基本量。

（3）由a 1与a n ，可得1

11

1,a a q q

a a n

n n n =

=--，当n 为奇数时，q 可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量。 （4）由q 与a n ，由1

11

1,--=

=n n

n n q

a a q a a 可得，故数列{}n a 能够确定，是数列{}n a 的一个基本量。 故应填①、④

评注：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略。本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义。如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解． 例3（2002上海）．规定()()11!

m

x x x x m C m --+=

L ，其中x R ∈，m 是正整数，且0

1x C =，

这是组合数m

n C （n ，m 是正整数，且m n ≤）的一种推广． （Ⅰ）求5

15C -的值；

（Ⅱ）组合数的两个性质：①m n m n n C C -=；②11m m m

n n n C C C -++=

是否都能推广到（x R ∈，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；

（Ⅲ）我们知道，组合数m

n C 是正整数．那么，对于m

x C ，x R ∈，m 是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些m x C R ∈成立的例子吗？

分析与解答：（Ⅰ）()()()5

15151619116285!

C ----=

=-L ．

（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义．从这个

角度很快可以看出：性质①不能推广．例如当x =

1

无意义． 性质②如果能够推广，那么,它的推广形式应该是：11m m m

x x x C C C -++=，其中x R ∈，m 是

正整数．

类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上，

当1m =时，101

11x x x C C x C ++=+=．当2m ≥时，

()()()()

()()()()()()()

11

1112!1!121 11!121 !

m m x x m x x x x m x x x m C C m m x x x m x m m m x x x m x m C -+--+--++=+

---+-+??

=

+

?-??

--++=

=L L L L

由此，可以知道，性质②能够推广．

（Ⅲ）从m x C 的定义不难知道，当x Z ?且0m ≠时，m

x C Z ∈不成立，下面，我们将着眼点放在x Z ∈的情形．

先从熟悉的问题入手．当x m ≥时，m

x C 就是组合数，故m

x C Z ∈．

当x Z ?且x m <时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（m

x C ，x Z ?且x m <）

与已知的结论m

n C Z ∈相联系？

一方面再一次考察定义：()()

11!

m

x x x x m C m --+=

L ；另一方面，可以从具体的问题入手．

由（Ⅰ）的计算过程不难知道：55

1519C C -=-．另外，我们可以通过其他例子发现类似的结

论．因此，将515C -转化为5

19C 可能是问题解决的途径． 事实上，当0x <时，

()()()()()()()1111111!!

m m m m

x x m x x x m x m x x C C m m -+---+-+--+-=

=-=-L L ．

①若1x m m -+-≥，即1x ≤-，则1m

x m C -+-为组合数，故m

x C Z ∈．

②若1x m m -+-<，即0x m ≤<时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算

不难发现：43C ＝0……，可以猜想，此时0m

x C Z =∈．

这个结论不难验证．事实上，当0x m ≤<时，在,1,,1x x x m --+L 这m 个连续的整数中，

必存在某个数为0．所以，0m

x C Z =∈．

综上，对于x Z ∈且m 为正整数，均有m

x C Z ∈．

评注：类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃．在开放题的教学中，

引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有

利于培养学生的创新思维能力，又有利于提高

学生举一反三、触类旁通的应变灵活性．

三条件重组型

这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。

例4 （1999年全国）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外 的两条不同的直线，给出四个论断：

①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α

以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 。

分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证。

分析与解答：依题意可得以下四个命题：

(1)m ⊥n ， α⊥β， n ⊥β? m ⊥α；(2)m ⊥n ， α⊥β， m ⊥α?n ⊥β； (3)m ⊥α， n ⊥β， m ⊥α? α⊥β；(4)α⊥β，n ⊥β，m ⊥α?m ⊥n 。 不难发现，命题(3)、(4)为真命题，而命题(1)、(2)为假命题。故填上命题(3)或(4)。

例5． （2020年北京）已知三个不等式：0,

0,0>->->b

d

a c ad bc a

b （其中a ，b ，

c ，

d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

分析与解答：若0,0,0>-=->->ab

ad bc b d a c ad bc ab 则

∴00,0>-?

>->b

d

a c ad bc a

b 若0,0,0>->->ab

ad

bc b d a c ab 则

0,0,00,0,00

0,0,0>?>->->∴>->->->-?>->>-∴ab b

d

a c ad bc a

b ab

ad

bc b d a c ad bc ad bc b

d

a c a

b ad b

c 即则若即

故三个命题均为真命题，选D 。 四、存在判断型

这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由

此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。

其中反证法在解题中起着重要的作用。

例6、（2020年福建）已知[]11)(3

24)(3

2

，R x x ax x x f -∈-+=在区间上是增函数。

（1）求实数a 的值组成的集合A ； （2）设关于x 的方程3

3

12)(x x x f +

=的两个非常零实根为x 1、x 2，试问：是否存在实数m ，使得不等式212

1x x tm m -≥++对任意[]1,1-∈∈t A a 及恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

分析与解答：（1）2

224)(x ax x f -+='， ∴f(x)在[－1，1]上是增函数，

[]恒成立对1,10)(-∈≥'∴x x f

即x 2

－ax －2≤0,对x ∈[－1，1]恒成立 ① 设2)(2

--=ax x x ?

021)1(.

021)1(≤-+=-≤--=∴a a ??

11≤≤-∴a

[]{}110)1(10)1(11,1≤≤-=∴='-==-'=-∈a a A f ，a f ，a ，x 时以及当时只有当对Θ

（2）

[]0

2)1(,02)1(1,11.

38,11.84)(022,0

8,

020.3

12324222122212

21221212122332≤-+=≥--=--∈∈-≥++≤+=-∴≤≤-+=-+=-=--∴>+=?=--=+=-

+m m g m m g ，t A a x x tm m a x x a a x x x x x x ，

ax x x x a ax x ，x x x x ax x 恒成立及对任意要使不等式又的两非零实根是方程或得由ΘΘ

∴m ≥2或m ≤－2.

所以，存在实数m ，使不等式

[]1,11212-∈∈-≥++t A a x x tm m 及对任意

}{2,2-≤≥m m m ，或其取值范围是

恒成立 评注：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行。“不存在”就是没有，找不到。这类问题常用反证法加以认证。“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由。这类问题常用“肯定顺推”。

例7、(2020年天津) 已知常数a>0，向量c=（0，a ），i=（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.

分析与解答：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.

∵i=(1,0),c=(0,a), ∴).2,1(2),,(a c i a i c λλλλ-=-=+

因此，直线OP 和AP 的方程分别为λy=ax 和y －a=－2λax .消去参数λ，得点P （x,y ）

的坐标满足方程y (y －a)=－2a 2x 2

,整理得,1)2()2(812

2

2

=-+a a y x ①

因为a>0，所以得：

（i ）当a=22

时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ；

（ii ）当0

时，方程①表示椭圆，焦点E )

2,2121(2a a -和 )2,2121(2a

a F --

为合乎题意的两个定点；

（iii ）当a>22

时，方程①表示椭圆，焦点E ())2121,0(2-+a a 和 F

(2121

,

0(2--a a ））为合乎题意的两个定点.

评注：假设存在，按常规方法去求解，但要注意对a 进行讨论。 五、规律探究型

这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论。解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。在数列问题研究中，经常是据数列的前几项所提供的信息作大胆的猜测，然后用数学归纳法证明，

限于篇幅这样的例子不在列举。

下面来看：

例8、（2002年全国理）已知函数2

2

(),1x f x x =+那么 ___________.

111

(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++=

分析与解答：考察函数可发现左式构成规律：1()()1

f x f x +=，于是立得结论为72。

若直接代入费力又费时。

评注：本题要求学生在陌生的问题情境中能自主探索，提取相关信息，获得规

律，从而解决问题。

例9、（2001年上海）在棱长为a 的正方体''''OABC O A B C -中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF 。

（1）求证：'';A F C E ⊥

（2）当三棱锥'B BEF -的体积取得最大值时，

求二面角'B EF B --的大小（结果用反三角函数表示）

分析与解答：如图(2)：（1）中E 、F 虽在棱上运动，但始终体现出直线''A F C E ⊥的一个不变关系，而''C F A O ⊥不变，故只要去证'C F OF ⊥即可达到目的。（2）中寻求的是E 、F 在变化过程中二面角'B EF B --的最值状态，易看到该三棱锥的高一定，因此，只要底面面积最大即可。考察E 、F 在变化过程中当E 由A 向B 运动时，BEF ?的面积先由小渐大到一定值后又渐小，因此，在E 为AB 的中点时该三棱锥的体积取得最大值，从而解决问题。

评注：本题要求学生能让动态的量静止下来观察探究其特殊位置下的极值情况或一些恒成立的情况；让静止的量运动起来，观察探究其取值情况，并渗透极限思想。这是这类问题求解常用的方法之一。本题如果把（1）问改为'A F 与'C E 的位置关系如何？并证明你的结论则更好。

六、实验操作型

这类问题的基本特征是：给出一定的条件要求设计一种方案。解决这类问题的基本策略是：需要借助逆向思考动手实踐。

例10、（2002年全国文）已知四个面都是直角三角形的三棱锥，其中三个面展开后构成一直角梯形ABCD 。如图(3)所示，

,,2,,.AD AB AD DC AB a BC CD a ⊥⊥===

请你在图中设计一种虚线，沿虚线翻折可成原来的三棱锥（指三棱锥的三个面）；求这个三棱锥外接球的体积。

分析与解答：本题是考查线面的垂直，直角三角形的性质和球的体积公式等知识。需大胆猜测：虚线之交点应是某边的中点，然后动手实踐，加以检验。

O'

C'

B'

C

B

A

A'

F

E

图

C

D

A

B

E 图3

C

D A

B

图4

如图(4)，取AD 的中点E ，连EC ，EB ，沿EC ，EB 折起，使A 与D 重合。接下来通过证明得BEC ?为直角三角形即可（略）（2）略。

评注：该高考题在当年考后受一致好评，它要求考生有一定的动手能力和大胆的猜测能力。

例11、某自来水厂要制作容积为5002

m 的无盖长方体水箱。现有三种不同规格的金属制箱材料（单位m ）：（1）1919;(2)3010;(3)2512???请你选择其中的一种规格并设计出相应的制作方案（要求用料最省，简便易行）

分析与解答：“用料最省”等价于“无盖水箱表面积最小”。因此先确定该水箱的尺寸使其表面积最小，然后根据尺寸选择材料。

设无盖水箱的长、宽、高分别为,,a b c ，则其体积：3

500V abc m ==表面积：

22S bc ca ab =++，

这样问题可以转化为：已知：,,a b c 为正数，500abc =。求：22bc ca ab ++的 最小值及相应,,a b c 的值。

由均值不等式知

22bc ca ab ++≥300==，当且仅当22bc ca ab ==，即10,5a b c ===时，22bc ca ab ++2300m =最小。这表明将无盖水

箱设计为10105??时，用料最省。

如何选择材料并设计制作方案？我们可逆向思考，先将无盖水箱分解(展开)，我们不难发现制作10105??的无盖长方体水箱需一个1010?的正方形及4个105?的长方形；而用一个3010?的长方形材料，我们只要割四次易得1010?正方形一个及105?正方形4个。故选择3010?的材料，不但用料最省而且简便易行。

评注：本题又是实际应用问题中的问题，解答时除了考虑前面提及的方法外，还需考虑实际意义及可行性。

总之，解决探索性问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合应用。它对学生的观察、联想、类比、猜想、抽象、概括等方面的能力有较高的要求。

思维能力训练

1、（2020浙江）若n

x

x )2(3+

展开式中存在常数项，则n 的值可以是 A 、8 B 、9 C 、10 D 、12

2、（2020浙江）若)()(x g z f 和都是定义的实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．

是 A 、512

-

+x x B 、512++x x C 、512-x D 、5

12

+x

3、（2020北京）如果a ，b ，c 满足0,<<

A 、ac ab >

B 、0)(>-a b c

C 、2

2

ab cb > D 、0)(<-c a ac

4、（2020上海）某地2020年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下 行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易 应聘人数 215830

200250

154676

74570

65280

行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工 招聘人数

124620

102935

89115

76516

70436

若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是

A 、计算机行业好于化工行业

B 、建筑行业好于物流行业

C 、机械行业最紧张

D 、营销行业比贸易行业紧张

5 、三棱锥中，互相垂直的棱最多有（ ）对。 A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

6（2000年全国高考试题）如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1和面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是_____________（要求把可能的图形的序号都填上）

7、（2002上海春季高考）设曲线1C 和2C 的方程分别为()1,0F x y =和()2,0F x y =，则点()12,P a b C C ??的一个充分条件为_____________________．

8、（2020全国）已知a 、b 为不垂直的异面直线，a 是一个平面，则a 、b 在a 上的射影有可能是（ ）

①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线

④一条直线及其外一点

在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号） 9 、已知数列{}n a （n 为正整数）是首项为a 1，公比为q 的等比数列。

（1）求和：3

34233132031223122021,C a C a C a C a C a C a C a -+-+-；

（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以认证； （3）设{}n n a S q 是等比数列,1≠的前n 的和，求

n n n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+-Λ

10、（2020湖北）直线12:1:2

2=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B

（Ⅰ）求实数k 的取值范围

（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由

11、（2000年上海）已知复数01(0), z mi m z x yi =->=+ , w x y i ''=+和

, , , x y x y ''其中均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数0,, ||2||z w z z w z =?=有．

（Ⅰ）试求m 的值，并分别写出x '和y '用x 、y 表示的关系式；

（Ⅱ）将(x 、y )作为点P 的坐标，(x '、y ')作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ，当点P 在直线1+=x y 上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；

（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由