圆锥曲线与方程知识点

圆锥曲线与方程重点、难点、易错点分析

一、相关知识点：

1、曲线与方程

（1）曲线与方程的概念

（2）曲线与方程的判定问题

（3）曲线的对称性

（4）已知方程画曲线

（5）坐标法与解析几何的研究对象

（6）已知曲线求方程

①直接法

②相关点法（代入法）

③交轨法

④定义法

⑤待定系数法

2、椭圆

（1）椭圆的定义

（2）椭圆的标准方程

（3）椭圆的几何性质

（4）椭圆的定义的应用

（5）利用待定系数法求椭圆的标准方程

3、双曲线

（1）双曲线的定义

（2）双曲线的标准方程

（3）双曲线的简单几何性质

（4）双曲线的定义的应用

（5）双曲线的标准方程的求法

4、抛物线

（1）抛物线的定义

（2）抛物线的标准方程

（3）抛物线的简单几何性质

5、直线与圆锥曲线

（1）直线与圆锥曲线的位置关系

（2）直线与圆锥曲线相交时的弦长公式

（3）弦中点问题

（4）直线与圆锥曲线相交的问题

（5）定值与最值问题

题型：

一、曲线与方程

1、曲线与方程的概念

例1：命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是正确的，下列命题中正确的是（）

A、方程f(x,y)=0的曲线是C

B、方程f(x,y)=0的曲线不一定是C

C、f(x,y)=0是曲线C的方程

D、以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上

例2：设方程f(x,y)=0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0 的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是（）

A 、坐标满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C 上

B 、曲线

C 上的点的坐标都不满足方程f(x,y)=0

C 、坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上

D 、一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足f(x,y)=0 2、曲线与方程的判定问题

例1：设A(2，0),B(0，2)，能否说线段AB 的方程是A+B-2=0？为什么？

例2：下列4个点中，在曲线xy=1上的是（ ）

A 、（-1，1）

B 、（1，-1）

C 、（-1，-1）

D 、（0，0） 3、曲线的对称性

例1：曲线f(x,y)=0关于直线x-y-3=0对称的曲线方程为（ ）

A 、f(x-3,y)=0

B 、f(y+3,x)=0

C 、f(y-3,x+3)=0

D 、f(y+3,x-3)=0 例2：方程y

x -=-1||1表示（ ）

A 、两条线段

B 、两条直线

C 、两条射线

D 、一条射线和一条线段 4、已知方程画曲线

例1：如图2-1-1所示的图形的方程与图中曲线的方程对应正确的是（ )

例2：方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________． 例3：画方程|x |＋|y |＝1表示的曲线．

例4：求方程()011=--+x y x 所表示的曲线。

5、坐标法与解析几何的研究对象 1）、坐标法：借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x ，y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就叫坐标法。 2）、由坐标法研究几何图形的知识所形成的学科叫做解析几何，解析几何研究的主要问题是： ①：根据已知条件，求出表示曲线的方程；②通过曲线的方程，研究曲线的性质。

3）、坐标法解题的基本思路

代数问题

直角坐标系

转化 代数方程 几何结论 代数结论 转化 几何意义

几何问题

例1：证明：平面内任意一点到矩形的一对对顶角的距离的平方和等于这个点到另一对对顶角顶点的距离 的平方和。

6、已知曲线求方程

求曲线方程一般有一下五个步骤：

①建立适当的直角坐标系，并用()y x ,表示曲线上任意一点M 的坐标。在建立坐标系时应充分考虑 平行、垂直、对称等几何因素，使解题更加简化；（建系） ②写出适合条件P 的的点M 的集合{}

)(M P M P =；（列式） ③用坐标表示P(M)，写出方程()0,=y x f ；（代换） ④化简方程()0,=y x f （化简）

⑤证明④中方程的解为坐标的点都在曲线上。（证明）

例1：A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动。已知4=BC ，A 到l 的距离为3，求ΔABC 的外心的轨 迹方程。

答案：解法一（直接法）：建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，A 点在y 轴上，则点A （0，3）。设 ΔABC 的外心为P （x,y) P Θ在BC 的垂直平分线上， ∴B ()()0,2,0,2-+x C x 。 P Θ也在AB 的垂直平分线上， ∴PB PA =， 即()222

2

23y y x +=

-+

化简，得0562

=+-y x 这就是所求轨迹方程。

解法二：（参数法）：建立同解法一中平面直角坐标系，得()3,0A 。

设BC 边的垂直平分线的方程为t x =， ① 则点B 的坐标为()0,2+t ，于是AB 的中点是??

?

??+23,22t ， 从而AB 的垂直平分线方程为??

? ??+-+=-

223223t x t y ② 由①②消去t ，得0562

=+-y x ，即为所求。

例2：设圆C ：()1122

=+-y x ，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程。

答案：解法一（直接法）

设OQ 为过O 点的任意一条弦，()y x P ,为其中点， 则OQ CP ⊥.因OC 中点为??

?

??0,21M ， 故2121==OC MP ，得方程412122

=+??? ?

?

-y x ，由圆的范围知10≤

解法二（定义法） Θο

90=∠OPC ，

∴动点P 在以点M ??

? ??0,21

为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得：

()10412122

≤<=+??? ?

?

-x y x 。

解法三（代入法）

设()11,y x Q ，则??

?==????

?

??

?

==y y x

x y y x x 222

,

21111

又()112121=+-y x Θ ∴()()()1012122

2

≤<=+-x y x 解法四（参数法）

设动弦OQ 的方程为kx y =，代入圆的方程得

例3：已知ΔABC 中，()0,2-A 、B(0，-2)，第三个定点C 在曲线132

-=x y 上移动，求ΔABC 的重心的

轨迹方程。

二、椭圆

1、椭圆的定义

B 、已知1F (-4，0)2F (4，0),到1F ，2F 两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆。

C 、到1F (-4，0)2F (4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到1F ，2F 的距离之和的点的轨迹是椭圆。

D 、到点1F (-4，0)，2F (4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆。

例2：平面一动点M 到两定点1F 、2F 的距离之和为常数a 2，则点M 的轨迹为（ ）。 A 、椭圆 B 、圆 C 、无轨迹 D 、椭圆或线段或无轨迹 2、椭圆的标准方程

（1）这里的标准指中心在原点，对称轴为坐标轴。 （2）标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴。

①焦点在x 轴时标准方程为()0122

22>>=+b a b y a x ；

②焦点在y 轴时标准方程为()0122

22>>=+b a b

x a y

③为了计算方便，有时将方程写为()n m n m ny mx ≠>>=+,0,012

2

（标准方程的统一形式）

例1：椭圆的两个焦点坐标分别为()()0,8,0,821F F -,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（ ）

110036.

22=+y x A 1336

400.2

2=+y x B 136100.22=+y x C 11220.22=+y x D

例2：已知中心在原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点。 求：椭圆C 的方程。

例3：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()01:22

221>>=+b a b

y a x C 的左焦点为()0,11-F ，且点()

1,0P 在1C 上。求椭圆1C 的方程。

例4：求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（-12，0），（12，0），椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于26；

A和()1,32-B

（2）焦点在坐标轴上，且经过点()2,3

（3）椭圆的几何性质

2

例1：已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率 等于（ ） 53.A 54.B 13

5

.C 1312.D

例2：设椭圆()0,012222>>=+n m n y m x 的右焦点与抛物线x y 82

=的焦点相同，离心率为2

1，则此椭圆

的方程为（ ）

A.

1161222=+y x B.1121622=+y x C.1644822=+y x D.148

642

2=+y x

例3：已知椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M （在x 轴上方）

向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，OM //. 求椭圆的离心率e 。

（4）椭圆的定义的应用

例1：一个动圆与已知圆()13:22

1=++y x O 外切，与圆()813:2

2

2=+-y x O 内切，试求动圆圆心的

轨迹方程。

例2：求过点A （2，0）且与圆03242

2

=-++y x x 内切的圆的圆心的轨迹方程。

（5）利用待定系数法求椭圆的标准方程

例1：在直角坐标系xOy 中，点P 到两点()()

303,0，、

-的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1+=kx y 与C 交于A 、B 两点.

（1）写出C 的方程：（2）若⊥，求k 的值。

三、双曲线

（1）双曲线的定义

①平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于21F F 且不等于零）的点的轨迹 叫双曲线。

②两定点21F F 、叫做双曲线的焦点，两焦点的距离21F F 叫做双曲线的焦距。

例1：已知定点()()020,221，

、F F -，在满足下列条件的平面内，动点P 的轨迹为双曲线的是（ ） 3.21=-PF PF A 4.21=-PF PF B 5.21=-PF PF C 4.21±=-PF PF D 2.双曲线的标准方程

（1）这里的标准指中心在原点，对称轴为坐标轴。 （2）标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴。

①焦点在x 轴时标准方程为()0,0122

22>>=-b a b y a x ；

②焦点在y 轴时标准方程为()0,0122

22>>=-b a b

x a y

例1：k>1,则关于x,y 的方程()112

2

2

-=+-k y x k 所表示的曲线是（ ）

A.焦点在x 轴上的椭圆

B.焦点在y 轴上的椭圆

C.焦点在Y 轴上的双曲线

D.焦点在x 轴上的双曲线 （3）双曲线的简单几何性质

例1：已知双曲线的离心率是2，焦点是()0,4-，()0,4，则双曲线方程为 （ ）

A.

112422=-y x B.141222=-y x C. 161022=-y x D.11062

2=-y x 例2：与双曲线

116

92

2=-y x 有公共的渐近线，且过()

32,3-，求双曲线的标准方程。

（4）双曲线的定义的应用

例1：已知动圆M 与圆()24:22

1=++y x C 外切，与圆()24:2

2

2=++y x C 内切，试求动圆

圆心M 的轨迹方程。

例2：已知双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且且过点()

10,4-. （1）求双曲线方程。

（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：021=?MF

（5）利用待定系数法求双曲线的标准方程

①如果明确双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，则双曲线方程可设为()0,0122

22>>=-b a b

x a y

然后由条件求a,b 。

②如果明确双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，则双曲线方程可设为()0,0122

22>>=-b a b

y a x

然后由条件求a,b 。

③解决此类问题的常用方法是“先定型”（焦点在哪个轴上），“在定量”（确定2

2b a 、的值）。 ④如果已知双曲线的方程为标准式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为 12

2

=-ny mx （m 、n 同号），然后由条件求m 、n. 例1：已知双曲线经过??? ??-523,21P 和??

? ??4,7342P 两点，求双曲线的标准方程。

例2：设双曲线与椭圆

136

2722=+y x 有相同的焦点，且与椭圆相交，一个焦点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程。

四、抛物线

（1）抛物线的定义

平面内到一定点F 和一定直线l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线，定点F 不在定直线l 上。

例1：过点A(3,0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为（ ）

A.圆 B 、椭圆 C 、直线 D 、抛物线

例2：若点P 到直线1-=x 的距离比它到点（2,0）的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A.圆 B 、椭圆 C 、双曲线 D 、抛物线 （2）抛物线的标准方程

①px y 22

= ()0>p ②px y 22

-= ()0>p ③py x 22

= ()0>p ④py x 22

-=()0>p

例1：已知抛物线x y 22

=的焦点是F ，点P 事抛物线上的动点，又有点A （3，2）。 （1）求PF PA +的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标。 （2）求点P 到点??

?

??-1,21B 的距离与点P 到直线21-=x 的距离之和的最小值。

例2：设P 是曲线x y 42

=上的一个动点。

（1）求点P 到点A(-1,1)的距离与点P 到直线1-=x 的距离之和和最小值； （2）若B(3，2），点F 是抛物线的焦点，求PF PB +的最小值。

（3）抛物线的简单几何性质

例1：抛物线2

2x y -=的准线方程是（ ） A.21=

x B.81=x C.21=y D.8

1

=y

例2：抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其上有一点A(4，m ），其到准线的距离为6，

则m=( )

例3：已知圆0762

2

=--+x y x 与抛物线px y 22

=()0>p 的准线相切，则p=（ ）

五、直线与圆锥曲线

（1）直线与圆锥曲线的位置关系

例1：在平面直角坐标系xOy 中，经过点（0，2）且斜率为k 的直线l 与椭圆12

22

=+y x 有两个不同 的交点P 和Q 。 （1）求k 的取值范围；

（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B 是否存在常数k ，使的向量OQ OP + 与共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由。

（2）直线与圆锥曲线相交时的弦长公式

例1：已知两定点()(

)

0,2,0,22

1F F -2=-的点P 的轨迹是曲线E ，直线

1-=kx y 与曲线E 交于A 、B 两点。

（1）求k 的取值范围；

（2）如果36=AB ，且曲线E 上存在点C ，使m =+，求m 的值和ABC ?的面积S 。

（3）弦中点问题

例1：在椭圆1642

2

=+y x 中，求通过点M （2，1）且被这点平分的弦所在直线的方程和弦长。

例2：已知双曲线的方程为12

2

=-y x ，试问：是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的

直线方程；如果不存在，说明理由。

（4）直线与圆锥曲线相交的问题

例1：已知椭圆1:2222=+b y a x C ()0>>b a 过点??

?

??23,1，且离心率21=e

（1）求椭圆方程；

（2）若直线()0:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点

??

?

??0,81G ，求k 的取值范围。

例2：（动弦过定点问题）

已知椭圆C 的中点在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3； 最小值为1；

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若直线m kx y l +=:与椭圆C 教于A 、B 两点（A ，B 不是左右定点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

（5）定值与最值问题

例1：已知，椭圆C 过点A ??

? ??23,1，两个焦点为（-1,0），（1,0）。

（1）求椭圆C 的方程；

（2）E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，

并求出这个定值。

例2：已知椭圆14

22

2=+y x 两焦点分别为21F F 、，P 是椭圆在第一象限的图像上一点，并满足121=?PF PF ，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点。

（1）求P 点坐标；

（2）求△PAB 面积的最大值。