2021届高考二轮复习数学专题训练：三角函数(2018-2020年全国卷高考题选)
2018-2020年高考全国卷数学之三角函数专题训练
一．选择题（共25小题）
1．（2018?全国）要得到y＝cos x，则要将y＝sin x（）
A．向左平移π个单位B．向右平移π个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
2．（2018?全国）已知α为第二象限的角，且tanα＝﹣，则sinα+cosα＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．3．（2020?新课标Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．4．（2020?新课标Ⅰ）设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）
A．B．C．D．5．（2020?新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（）
A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0 6．（2020?新课标Ⅲ）已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则tanθ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2
7．（2020?新课标Ⅲ）在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝（）A．B．C．D．8．（2020?新课标Ⅲ）在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝（）A．B．2C．4D．8 9．（2020?新课标Ⅲ）已知sinθ+sin（θ+）＝1，则sin（θ+）＝（）A．B．C．D．10．（2019?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B ＝4c sin C，cos A＝﹣，则＝（）
A．6B．5C．4D．3 11．（2019?新课标Ⅰ）tan255°＝（）
A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+ 12．（2019?新课标Ⅱ）下列函数中，以为最小正周期且在区间（，）单调递增的是（）
A．f（x）＝|cos2x|B．f（x）＝|sin2x|C．f（x）＝cos|x|D．f（x）＝sin|x| 13．（2019?新课标Ⅱ）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．14．（2019?新课标Ⅱ）若x1＝，x2＝是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（）
A．2B．C．1D．
15．（2019?新课标Ⅲ）设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：
①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点
②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点
③f（x）在（0，）单调递增
④ω的取值范围是[，）
其中所有正确结论的编号是（）
A．①④B．②③C．①②③D．①③④16．（2019?全国）已知tan A＝2，则＝（）
A．B．C．3D．5 17．（2018?新课标Ⅱ）若f（x）＝cos x﹣sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π18．（2018?新课标Ⅲ）函数f（x）＝的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π19．（2018?新课标Ⅱ）若f（x）＝cos x﹣sin x在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π20．（2018?新课标Ⅱ）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（）A．4B．C．D．2 21．（2018?新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为
，则C＝（）
A．B．C．D．22．（2018?新课标Ⅲ）若sinα＝，则cos2α＝（）
A．B．C．﹣D．﹣23．（2018?新课标Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α＝，则|a﹣b|＝（）
A．B．C．D．1 24．（2018?新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝2cos2x﹣sin2x+2，则（）
A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3
B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4
C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3
D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4
25．（2017?全国）cos20°cos25°﹣sin20°sin25°＝（）
A．B．C．0D．
二．填空题（共7小题）
26．（2020?新课标Ⅱ）若sin x＝﹣，则cos2x＝．
27．（2019?新课标Ⅰ）函数f（x）＝sin（2x+）﹣3cos x的最小值为．28．（2019?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B ＝，则△ABC的面积为．
29．（2019?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin A+a cos B＝0，则B＝．
30．（2018?新课标Ⅱ）已知tan（α﹣）＝，则tanα＝．
31．（2018?新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝．32．（2018?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为．
三．解答题（共8小题）
33．（2020?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B＝150°．（1）若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
（2）若sin A+sin C＝，求C．
34．（2020?新课标Ⅱ）△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sin B sin C．
（1）求A；
（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
35．（2020?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2（+A）+cos A＝．
（1）求A；
（2）若b﹣c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
36．（2019?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．
（1）求A；
（2）若a+b＝2c，求sin C．
37．（2019?新课标Ⅲ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知a sin＝b sin A．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
38．（2019?全国）已知函数f（x）＝2sin2x﹣4cos2x+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）设g（x）＝f（），求g（x）在区间[0，]的最大值与最小值．
39．（2018?新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC＝2，求BC．
40．（2018?全国）在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A ﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．
（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；
（2）求角C和边c．
2021年02月06日步步高的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共25小题）
1．【解答】解：要将y＝sin x的图象向左平移个单位，可得y＝sin（x+）＝cos x的图象，
故选：C．
2．【解答】解：tanα＝＝﹣，①，sin2α+cos2α＝1，②，
又α为第二象限的角，
∴sinα＞0，cosα＜0，
联立①②，解得，，
则sinα+cosα＝．
故选：C．
3．【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0，即3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos．
∵α∈（0，π），∴α∈（，π），
则sinα＝＝．
故选：A．
4．【解答】解：由图象可得最小正周期小于π﹣（﹣）＝，大于2×（）
＝，排除A，D；
由图象可得f（﹣）＝cos（﹣ω+）＝0，
即为﹣ω+＝kπ+，k∈Z，（*）
若选B，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k不为整数，排除B；
若选C，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k＝﹣1，成立．
故选：C．
5．【解答】解：α为第四象限角，
则﹣+2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，
则﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，
∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，
∴sin2α＜0，
故选：D．
6．【解答】解：由2tanθ﹣tan（θ+）＝7，得2tanθ﹣＝7，
即2tanθ﹣2tan2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，
得2tan2θ﹣8tanθ+8＝0，
即tan2θ﹣4tanθ+4＝0，
即（tanθ﹣2）2＝0，
则tanθ＝2，
故选：D．
7．【解答】解：在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，
由余弦定理可得AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BC?cos C＝42+32﹣2×4×3×＝9；
故AB＝3；
∴cos B＝＝＝，
故选：A．
8．【解答】解：∵cos C＝，AC＝4，BC＝3，
∴tan C＝＝，
∴AB＝＝＝3，可得A＝C，∴B＝π﹣2C，
则tan B＝tan（π﹣2C）＝﹣tan2C＝＝＝4．
故选：C．
9．【解答】解：∵sinθ+sin（）＝1，
∴sinθ+sinθ+cosθ＝1，
即sinθ+cosθ＝1，
得（cosθ+sinθ）＝1，
即sin（）＝1，
得sin（）＝
故选：B．
10．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
a sin A﹣
b sin B＝4
c sin C，cos A＝﹣，
∴，
解得3c2＝，
∴＝6．
故选：A．
11．【解答】解：tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°）＝＝＝．
故选：D．
12．【解答】解：f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；
f（x）＝cos|x|的周期为2π，可排除C选项；
f（x）＝|sin2x|在处取得最大值，不可能在区间（，）单调递增，可排除B．故选：A．
13．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1，
∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，
∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，
∴cosα＝2sinα，
∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，
∴解得：sinα＝．
故选：B．
14．【解答】解：∵x1＝，x2＝是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，∴T＝2（）＝＝
∴ω＝2，
故选：A．
15．【解答】解：当x∈[0，2π]时，ωx+∈[，2πω+]，
∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，
∴5π≤2πω+，
∴，故④正确，
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
下面判断③是否正确，
当x∈（0，）时，ωx+∈[，]，
若f（x）在（0，）单调递增，
则，即ω＜3，
∵，故③正确．
故选：D．
16．【解答】解：tan A＝2，
则＝＝＝．
故选：B．
17．【解答】解：f（x）＝cos x﹣sin x＝﹣（sin x﹣cos x）＝﹣sin（x﹣），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，
得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，
取k＝0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，
由f（x）在[0，a]是减函数，
得a≤．
则a的最大值是．
故选：C．
18．【解答】解：函数f（x）＝＝＝sin2x的最小正周期为＝π，
故选：C．
19．【解答】解：f（x）＝cos x﹣sin x＝﹣（sin x﹣cos x）＝，由，k∈Z，
得，k∈Z，
取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，
由f（x）在[﹣a，a]是减函数，
得，∴．
则a的最大值是．
故选：A．
20．【解答】解：在△ABC中，cos＝，cos C＝2×＝﹣，BC＝1，AC＝5，则AB＝＝＝＝4．
故选：A．
21．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
△ABC的面积为，
∴S△ABC＝＝，
∴sin C＝＝cos C，
∵0＜C＜π，∴C＝．
故选：C．
22．【解答】解：∵sinα＝，
∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．
故选：B．
23．【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α＝，
∴cos2α＝2cos2α﹣1＝，解得cos2α＝，
∴|cosα|＝，∴|sinα|＝＝，
|tanα|＝||＝|a﹣b|＝＝＝．
故选：B．
24．【解答】解：函数f（x）＝2cos2x﹣sin2x+2
＝2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x
＝4cos2x+sin2x
＝3cos2x+1
＝
＝，
故函数的最小正周期为π，
函数的最大值为，
故选：B．
25．【解答】解：因为cos20°cos25°﹣sin20°sin25°
＝cos（20°+25°）
＝．
故选：A．
二．填空题（共7小题）
26．【解答】解：∵sin x＝﹣，
∴cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×（﹣）2＝．
故答案为：．
27．【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+）﹣3cos x，
＝﹣cos2x﹣3cos x＝﹣2cos2x﹣3cos x+1，
令t＝cos x，则﹣1≤t≤1，
令g（t）＝﹣2t2﹣3t+1的开口向下，对称轴t＝，在[﹣1，1]上先增后减，故当t＝1即cos x＝1时，函数有最小值﹣4．
故答案为：﹣4
28．【解答】解：由余弦定理有b2＝a2+c2﹣2ac cos B，
∵b＝6，a＝2c，B＝，
∴36＝（2c）2+c2﹣4c2cos，
∴c2＝12，
∴S△ABC＝，
故答案为：6．
29．【解答】解：∵b sin A+a cos B＝0，
∴由正弦定理可得：sin A sin B+sin A cos B＝0，
∵A∈（0，π），sin A＞0，
∴可得：sin B+cos B＝0，可得：tan B＝﹣1，
∵B∈（0，π），
∴B＝．
故答案为：．
30．【解答】解：∵tan（α﹣）＝，
∴tan（α）＝，
则tanα＝tan（α+）＝＝＝＝＝，故答案为：．
31．【解答】解：sinα+cosβ＝1，
两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β＝1，①，
cosα+sinβ＝0，
两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β＝0，②，
由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin（α+β）＝1，
∴2sin（α+β）＝﹣1．
∴sin（α+β）＝．
故答案为：．
32．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
b sin C+
c sin B＝4a sin B sin C，
利用正弦定理可得sin B sin C+sin C sin B＝4sin A sin B sin C，
由于0＜B＜π，0＜C＜π，
所以sin B sin C≠0，
所以sin A＝，
则A＝
由于b2+c2﹣a2＝8，
则：，
①当A＝时，，
解得bc＝，
所以．
②当A＝时，，
解得bc＝﹣（不合题意），舍去．
故：．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
33．【解答】解：（1）△ABC中，B＝150°，a＝c，b＝2，cos B＝＝＝，
∴c＝2（负值舍去），a＝2，
∴＝．
（2）sin A+sin C＝，
即sin（180°﹣150°﹣C）+＝，
化简得＝，
sin（C+30°）＝，
∵0°＜C＜30°，
∴30°＜C+30°＜60°，
∴C+30°＝45°，
∴C＝15°．
34．【解答】解：（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sin B sin C，
由正弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝bc，
即为b2+c2﹣a2＝﹣bc，
由余弦定理可得cos A＝＝﹣＝﹣，
由0＜A＜π，可得A＝；
（2）由题意可得a＝3，
又B+C＝，可设B＝﹣d，C＝+d，﹣＜d＜，
由正弦定理可得＝＝＝2，
可得b＝2sin（﹣d），c＝2sin（+d），
则△ABC周长为a+b+c＝3+2[sin（﹣d）+sin（+d）]＝3+2（cos d﹣sin d+cos d+sin d），
＝3+2cos d，
当d＝0，即B＝C＝时，△ABC的周长取得最大值3+2．
另解：a＝3，A＝，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，
∴9＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc≥（b+c）2﹣（b+c）2，
由b+c＞3，则b+c≤2（当且仅当b＝c时，“＝”成立），
则△ABC周长的最大值为3+2．
35．【解答】解：（1）∵cos2（+A）+cos A＝sin2A+cos A＝1﹣cos2A+cos A═，∴cos2A﹣cos A+＝0，解得cos A＝，
∵A∈（0，π），
∴A＝；
（2）证明：∵b﹣c＝a，A＝，
∴由正弦定理可得sin B﹣sin C＝sin A＝，
∴sin B﹣sin（﹣B）＝sin B﹣cos B﹣sin B＝sin B﹣cos B＝sin（B﹣）＝，
∵B，B﹣∈（﹣，），
∴B﹣＝，可得B＝，可得△ABC是直角三角形，得证．
36．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．∵（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．
∴sin2B+sin2C﹣2sin B sin C＝sin2A﹣sin B sin C，
∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，
∴cos A＝＝＝，
∵0＜A＜π，∴A＝．
（2）∵a+b＝2c，A＝，
∴由正弦定理得，
∴
解得sin（C﹣）＝，∴C﹣＝，C＝，
∴sin C＝sin（）＝sin cos+cos sin＝+＝．37．【解答】解：（1）a sin＝b sin A，即为a sin＝a cos＝b sin A，可得sin A cos＝sin B sin A＝2sin cos sin A，
∵sin A＞0，