大学物理 刚体力学基础习题思考题及答案讲课稿

习题5

5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2

mr ，将由两个定滑轮以及质量为m 2和m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程：

ma T mg 222=-┄①

ma mg T =-1┄② 2()T T r J β-=┄③ βJ r T T =-)(1┄④

βr a = ，2/2J mr =┄⑤

联立，解得：g a 41=，mg T 8

11

= 。

5-2．如图所示，一均匀细杆长为l ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为：l

m

=

λ，在杆上取一小质元dm d x λ=，有微元摩擦力：

d f dmg gd x μμλ==，

微元摩擦力矩：d M g xd x μλ=，

考虑对称性，有摩擦力矩：

20

1

24

l M g xd x mgl μλμ==?；

（2）根据转动定律d M J J

dt

ωβ==，有：000t Mdt Jd ωω-=??， 2011

412

mglt m l μω-=-，∴03l t g ωμ=。

或利用：0M t J J ωω-=-，考虑到0ω=，21

12

J ml =， 有：03l

t g

ωμ=。

T

5-3．如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量

可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M 、半径为

R ,其转动惯量为2/2MR ，试求该物体由静止开始下落的过程中，

下落速度与时间的关系。

解：受力分析如图，可建立方程：

m g T ma -=┄①

βJ TR =┄②

a R β= ，21

2

J mR =

┄③ 联立，解得：22mg a M m =+，2Mmg

T M m =+，

考虑到dv a dt =，∴0022v t mg dv dt M m =+??，有：22mg t

v M m

=

+。

5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为4/M ，均

匀分布在其边缘上，绳子A 端有一质量为M 的人抓住了绳端，而在绳的另一端B 系了一质量为4/M 的重物，如图。已知滑轮对O 轴的转动惯量4/2

MR J =，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B 端重物上升的加速度？ 解一：

分别对人、滑轮与重物列出动力学方程

A Ma T Mg =-1人

B a M g M T 4

42=-

物 αJ R T R T =-21滑轮

由约束方程: αR a a B A ==和4/2

MR J =,解上述方程组 得到2

g

a =

. 解二：

选人、滑轮与重物为系统，设u 为人相对绳的速度，v 为重

物上升的速度，注意到u 为匀速，

0d u

dt

=，系统对轴的角动量为：

213

()()442

M L M v R M u v R R M v R M u B A R

ω=

--+=-()()体人(物物体)

而力矩为：13

M 44M gR M gR M gR =-

+=， 根据角动量定理dt dL M =有：)23(43MuR MvR dt d MgR -=，∴2

g

a =。

5-5．计算质量为m 半径为R 的均质球体绕其轴线的转动惯量。 解：设球的半径为R ，总重量为m ，体密度3

34m

R

ρπ=

， 考虑均质球体内一个微元：2

sin d m r d rd d ρθθ?=， 由定义：考虑微元到轴的距离为sin r θ

2(sin )J r dm θ=?，有：

2220

(sin )sin R

J r r d rd d ππθρθθ?=??

??

5

20

1

2[(1cos )cos ]5

R r d π

πρθθ=??--?22

5

mR =

。

5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数40/k N m =，当0θ=时弹簧无形变，细棒的质量kg 0.5=m ，求在0θ=的位置上细棒至少应具有多大的角速度ω，才能转动到水平位置？

解：以图示下方的三角桩为轴，从0

0~90θθ==时， 考虑机械能守恒，那么： 0θ=时的机械能为：

22()(2)11

23

l mg ml ω?+（重力势能转动动能），

090θ=时的机械能为：212

k x

有：222111

2232

l mg ml k x ω?

+=（） 根据几何关系：22215.1)5.0(+=+x ，得：1

28.3-?=s rad ω

5-7．如图所示，一质量为m 、半径为R 的圆盘，可绕O 轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：

（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C 和盘缘A 点的速率； （2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。

解：（1）设虚线位置的C 点为重力势能的零点，

下降过程机械能守恒，

有：221ωJ mgR =

，而22213

22J mR mR mR =+=

∴R g 34=ω 3

4Rg R v c ==ω 2A v R ω== （2）273

y F mg mR mg ω=+=（重力）（向心力），方向向上。

5-8．如图所示，长为l 的轻杆，两端各固定质量分别为m 和m 2的小球，杆可绕

水平光滑固定轴O 在竖直面内转动，转轴O 距两端分别为l 3

1和l 3

2

．轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为m 的小球，以水平速度0v 与杆下端小球m 作对

心碰撞，碰后以02

1

v 的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。

解：根据角动量守恒，有：

22002122()2()32333l l

mv l m v l m m ωω?=-??++?

有：22004221()9933

l l v l v l ω+=+

∴032v l

ω=

5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过其中

心O 的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为

22

1

MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 解：（1）利用角动量守恒：ωω2

22

1mR MR mvR +=

得：2(2)mv

m M R

ω=+；

（2）选微分dm rdrd σθ=，其中：面密度2

M

R

σπ=， 202

2π3

R f M M grdm gr rdr M gR R μμμπ===?? ∴由f M t J ω??=??有：22

21()032

M gR t M R mR μω??=+-，

知：()

224M m t R Mg ωμ+?=

将()22m M m R

ω=+v 代入，即得：32mv

t M g μ?= 。

5-10．有一质量为

1m 、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为2m 的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为1v 和2v ，如图所示。求碰撞后从细棒开

始转动到停止转动的过程所需的时间。

(已知棒绕O 点的转动惯量213

1

l m J =

) 解：由碰撞时角动量守恒，考虑到1v 和2v 方向相反，以逆时针为正向，有：

2

2112213m v l m l m v l

ω=-，得：l

m v v m 1212)(3+=ω 又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：

11012l

f m M

g xd x m gl l μ

μ==?，利用f d M J

dt ω

-=，有： 210011312t m l d dt m g l ωωμ=-??，得：21212()23m v v l t g m g ωμμ+==。

5-11．如图所示，滑轮转动惯量为2

m kg 01.0?，半径为cm 7；物体的质量为kg 5，用一细绳与劲度系数N/m 200=k 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 解：（1）设弹簧的形变量为x ，下落最大距离为max x 。 由机械能守恒：

2

max max 12

k x mg x =，有： max 20.49mg

x m k

=

=； （2）当物体下落时，由机械能守恒：222111

222

k x mv J mg x ω++=， 考虑到v R ω=，有：2222

111222

k x m R J mg x ωω++=，

欲求速度最大值，将上式两边对x 求导，且令0d d x

ω

=，有： 21()22d k x m R J mg d x ωω++?=，将0d d x ω=代入，有：)(245.0m k mg x ==，

∴当0.245x =m 时物体速度达最大值，有：