河南省郑州市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)

河南省郑州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）抛物线x2=2y的焦点坐标是（）

A．B．C．（1，0）D．（0，1）

2．（5分）设a，b∈R，则a＞b是（a﹣b）b2＞0的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．（5分）不等式x2+2014x﹣2015＞0的解集为（）

A．{x|﹣2015＜x＜1} B．{x|x＞1或x＜﹣2015}

C．{x|﹣1＜x＜2015} D．{x|x＜﹣1或x＞2015}

4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于（）

A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2

5．（5分）如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定

A，B间距离的是（）

A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γD．α，β，b

6．（5分）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）

A．a n=n2﹣n+1 B．a n=C．a n=D．a n=

7．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23

8．（5分）已知a＞0，b＞0，且2是2a与b的等差中项，则的最小值为（）

A．B．C．2 D．4

9．（5分）已知点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣4＜a＜9 B．﹣9＜a＜4 C．a＜﹣4或a＞9 D．a＜﹣9或a＞4

10．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）

A．16 B．8 C．D．4

11．（5分）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）

A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．2

12．（5分）已知方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结

论正确的是（）

A．sinα=﹣αcosβB．sinα=αcosβC．cosα=βsinβD．sinβ=βsinα

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）命题“?x＜0，有x2＞0”的否定是．

14．（5分）若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=．

15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=sinC，B=30°，b=2，则边c=．

16．（5分）现有甲、乙两人相约到登封爬嵩山，若甲上山的速度为v1，下山的速度为v2（v1≠v2），乙上山和下山的速度都是（甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回），则甲、乙两人上下山所用的时间t1、t2的大小关系为．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．

（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n的最大值．

18．（12分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立．命题q：抛物线y2=4ax 的焦点在（1，0）的左侧，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．

19．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2csinB

（1）求角C的大小；

（2）若c2=（a﹣b）2+6，求△ABC的面积．

20．（12分）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．某市的一条道路在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12m，乙车刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离 S（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：S甲=0.1x+0.01x2，S乙

=0.05x+0.005x2．问：甲、乙两车有无超速现象？

21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2x（e为自然对数的底数）

（1）求函数f（x）的单调区间

（2）若存在使不等式f（x）＜mx成立，求实数m的取值范围．

22．（12分）已知圆C：x2+y2=3的半径等于椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E

的右焦点F在圆C内，且到直线l：y=x﹣的距离为﹣，点M是直线l与圆C的公共

点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）求证：|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．

河南省郑州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）抛物线x2=2y的焦点坐标是（）

A．B．C．（1，0）D．（0，1）

考点：抛物线的简单性质．

专题：计算题．

分析：根据抛物线的定义可得，x2=2py（p＞0）的焦点坐标（0，）可直接求解

解答：解：根据抛物线的定义可得，x2=2y的焦点坐标（0，）

故选B．

点评：本题主要考查了抛物线的简单的性质，属于基础试题．

2．（5分）设a，b∈R，则a＞b是（a﹣b）b2＞0的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题：规律型．

分析：结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答：解：当a＞b，b=0时，不等式（a﹣b）b2＞0不成立．

若（a﹣b）b2＞0，则b≠0，且a﹣b＞0，

∴a＞b成立．

即a＞b是（a﹣b）b2＞0的必要不充分条件．

故选：B．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．

3．（5分）不等式x2+2014x﹣2015＞0的解集为（）

A．{x|﹣2015＜x＜1} B．{x|x＞1或x＜﹣2015}

C．{x|﹣1＜x＜2015} D．{x|x＜﹣1或x＞2015}

考点：一元二次不等式的解法．

专题：不等式的解法及应用．

分析：把不等式化为（x+2015）（x﹣1）＞0，求出解集即可．

解答：解：不等式x2+2014x﹣2015＞0可化为

（x+2015）（x﹣1）＞0，

解得x＜﹣2015或x＞1；

∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣2015}．

故选：B．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．

4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于（）

A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2

考点：等差数列的前n项和．

专题：等差数列与等比数列．

分析：由题意结合等差数列的性质和求和公式可得a2的值，进而可得公差d．

解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，

∴S3=a1+a2+a3=3a2=6，∴a2=2，

∴公差d=a3﹣a2=0﹣2=﹣2

故选：D

点评：本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．

5．（5分）如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定

A，B间距离的是（）

A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γD．α，β，b

考点：解三角形的实际应用．

专题：应用题；解三角形．

分析：给定α，a，b，由正弦定理，β不唯一确定，故不能确定A，B间距离．

解答：解：给定α，a，b，由正弦定理，β不唯一确定，故不能确定A，B间距离．

故选：A．

点评：本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，比较基础．

6．（5分）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）

A．a n=n2﹣n+1 B．a n=C．a n=D．a n=

考点：数列递推式．

专题：规律型．

分析：由图中所给的星星个数：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n；得出数列第n项，即通项公式．

解答：解析：从图中可观察星星的构成规律，

n=1时，有1个；n=2时，有3个；

n=3时，有6个；n=4时，有10个；

∴a n=1+2+3+4+…+n=．

答案：C

点评：这是一个简单的自然数求和公式，由观察得出猜想，一般不需要证明．考查学生的观察猜想能力．

7．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23

考点：简单线性规划的应用．

专题：不等式的解法及应用．

分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件

．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．

解答：解：画出不等式．表示的可行域，如图，

让目标函数表示直线在可行域上平移，

知在点B自目标函数取到最小值，

解方程组得（2，1），

所以z min=4+3=7，

故选B．

点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．

8．（5分）已知a＞0，b＞0，且2是2a与b的等差中项，则的最小值为（）

A．B．C．2 D．4

考点：基本不等式；等差数列．

专题：不等式的解法及应用．

分析：利用等差中项及基本不等式的性质即可求出答案．

解答：解：∵2是2a与b的等差中项，∴2a+b=4，

又∵a＞0，b＞0，∴=，当且仅当2a=b=2，即a=1，b=2时取等号，

∴．

故选B．

点评：充分理解基本不等式及其变形是解题的关键．

9．（5分）已知点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣4＜a＜9 B．﹣9＜a＜4 C．a＜﹣4或a＞9 D．a＜﹣9或a＞4

考点：直线的斜率．

专题：直线与圆．

分析：由点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，把两点的坐标代入3x﹣2y+a 所得的值异号，由此列不等式求得a的范围．

解答：解：∵点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，

∴（3×2﹣2×1+a）（﹣1×3﹣2×3+a）＜0，

即（a+4）（a﹣9）＜0．

解得﹣4＜a＜9．

故选：A．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了二元一次不等式所表示的平面区域，是基础题．

10．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）

A．16 B．8 C．D．4

考点：等比数列的通项公式．

专题：计算题；等差数列与等比数列．

分析：由各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，知a4?a14=（2）2=8，故a7?a11=8，利用均值不等式能够求出2a7+a11的最小值．

解答：解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，

∴a4?a14=（2）2=8，

∴a7?a11=8，

∵a7＞0，a11＞0，

∴2a 7+a11≥2=2=8．

故选B．

点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答．

11．（5分）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）

A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．2

考点：导数的运算．

专题：导数的概念及应用．

分析：把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求2f′（1）的值．

解答：解：由f（x）=x2+2xf′（1），

得：f′（x）=2x+2f′（1），

取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），

所以，f′（1）=﹣2．

所以f′（x）=2x﹣4

故f′（0）=2f′（1）=﹣4，

故选：C．

点评：本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的f′（1），在这里f′（1）只是一个常数，此题是基础题．

12．（5分）已知方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结

论正确的是（）

A．sinα=﹣αcosβB．sinα=αcosβC．cosα=βsinβD．sinβ=βsinα

考点：根的存在性及根的个数判断．

专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．

分析：由题意，方程=k可化为|sinx|=kx，作函数y=|sinx|与y=kx的图象，从而可求得y′|x=β=﹣cosβ，即k=﹣cosβ，从而可得=﹣cosβ，化简即可．

解答：解：在（0，+∞）上，方程=k可化为|sinx|=kx，

作函数y=|sinx|与y=kx的图象如下，

在x=β时，==k，

又∵在x=β处直线与y=|sinx|相切，

∴y′|x=β=﹣cosβ，

故k=﹣cosβ，

则=﹣cosβ，

即sinα=﹣αcosβ；

故选A．

点评：本题考查了导数的几何意义的应用及方程的根与函数图象的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）命题“?x＜0，有x2＞0”的否定是?x＜0，有x2≤0．

考点：命题的否定．

分析：对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是全称命题，即：对命题“?x∈A，P（X）”的否定是：“?x∈A，?P（X）”；对命题“?x∈A，P（X）”的否定是：“?x∈A，?P（X）”，由此不难得到对命题“?x＜0，有x2＞0”的否定．

解答：解：∵对命题“?x∈A，P（X）”的否定是：“?x∈A，?P（X）”

∴对命题“?x＜0，有x2＞0”的否定是“?x＜0，有x2≤0”

故答案为：?x＜0，有x2≤0

点评：对命题“?x∈A，P（X）”的否定是：“?x∈A，?P（X）”；

对命题“?x∈A，P（X）”的否定是：“?x∈A，?P（X）”，

即对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是全称命题

14．（5分）若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=．

考点：等差数列的性质．

专题：等差数列与等比数列．

分析：由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中项可得a，c的值，作差即可得答案．

解答：解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，

又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，

同理可得2c=9+=，解得c=，

故c﹣a=﹣==

故答案为：

点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．

15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=sinC，B=30°，b=2，则边c=2．

考点：正弦定理；余弦定理．

专题：解三角形．

分析：在△ABC中，由正弦定理求得a=c，结合余弦定理，即可求出c的值

解答：解：∵在△ABC中，sinA=sinC

∴a= c

又∵B=30°，由余弦定理，可得：cosB=cos30°===

解得c=2

故答案为：2．

点评：本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理，熟练掌握定理是解题的关键，属于中档题．

16．（5分）现有甲、乙两人相约到登封爬嵩山，若甲上山的速度为v1，下山的速度为v2（v1≠v2），乙上山和下山的速度都是（甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回），则甲、乙两人上下山所用的时间t1、t2的大小关系为t1＞t2．

考点：有理数指数幂的化简求值．

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：由题意，甲用的时间t1=+=S；乙用的时间t2=2×=；从而作差比较大小即可．

解答：解：由题意知，甲用的时间t1=+=S?；

乙用的时间t2=2×=；

∴t1﹣t2=S﹣=S（﹣）=S＞0；

故t1＞t2；

故答案为：t1＞t2．

点评：本题考查了有理指数幂的化简求值，属于基础题．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．

（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n的最大值．

考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．

专题：计算题；等差数列与等比数列．

分析：（Ⅰ）运用等差数列的通项公式，列出方程，解得首项和公差，即可得到通项公式；（Ⅱ）运用前n项和的公式，配方，结合二次函数的最值，即可得到．

解答：解：（Ⅰ）由a n=a1+（n﹣1）d，及a3=5，a10=﹣9得，

，

解得，

数列{a n}的通项公式为a n=11﹣2n．

（Ⅱ）由（1）知．

因为．

所以n=5时，S n取得最大值25．

点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的运用，考查解方程组和二次函数的最值的求法，属于基础题．

18．（12分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立．命题q：抛物线y2=4ax 的焦点在（1，0）的左侧，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．

考点：复合命题的真假．

专题：计算题；简易逻辑．

分析：先分别求出p，q为真时实数a的取值范围，再由p或q为真，p且q为假，可知p 和q一真一假，从而解得．

解答：解：设g（x）=x2+2ax+4，

由于关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，

故△=4a2﹣16＜0，

∴﹣2＜a＜2．

又∵抛物线y2=4ax的焦点在（1，0）的左侧，

∴a＜1．a≠0．

又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．

（1）若p真q假，则∴1≤a＜2；或a=0．

（2）若p假q真，则∴a≤﹣2．

综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a＜2，或a≤﹣2．或a=0．

点评：本题考查了复合命题的真假性的应用，属于基础题．

19．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2csinB

（1）求角C的大小；

（2）若c2=（a﹣b）2+6，求△ABC的面积．

考点：余弦定理；正弦定理．

专题：解三角形．

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinC的值，由C为锐角求出C的度数即可；

（2）利用余弦定理列出关系式，把cosC的值代入并利用完全平方公式变形，结合已知等式求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答：解：（1）由正弦定理==，及b=2csinB，

得：sinB=2sinCsinB，

∵sinB≠0，∴sinC=，

∵C为锐角，

∴C=60°；

（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a﹣b）2+ab，

∵c2=（a﹣b）2+6，

∴ab=6，

则S△ABC=absinC=．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．

20．（12分）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．某市的一条道路在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12m，乙车刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离 S（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：S甲=0.1x+0.01x2，S乙

=0.05x+0.005x2．问：甲、乙两车有无超速现象？

考点：函数模型的选择与应用．

专题：函数的性质及应用．

分析：由题意列出不等式组，分别求解两种车型的事发前的车速，判断它们是不是超速行驶，即可得到结论．

解答：解：由题意知，对于甲车，有0.1x+0.01x2=12．

即x2+10x﹣1200=0，…（2分）

解得x=30或x=﹣40（x=﹣40不符合实际意义，舍去）．…（4分）

这表明甲车的车速为30km/h．

甲车车速不会超过限速40km/h．…（6分）

对于乙车，有0.05x+0.005x2＞10，

即x2+10x﹣2000＞0，…（8分）

解得x＞40或x＜﹣50（x＜﹣50不符合实际意义，舍去）．…（10分）

这表明乙车的车速超过40km/h，超过规定限速．…（12分）

点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，考查不等式模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题．解题的关键是利用函数关系式构建不等式．

21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2x（e为自然对数的底数）

（1）求函数f（x）的单调区间

（2）若存在使不等式f（x）＜mx成立，求实数m的取值范围．

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：导数的综合应用．

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，令f′（x）=0，解得x=ln2，从而求出函数的单调区间；

（Ⅱ）问题转化为求的最小值．令，通过求导得到函数g

（x）的最小值，从而求出m的范围．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e x﹣2，

令f′（x）=0，即e x﹣2=0，解得x=ln2，

x∈（﹣∞，ln2）时，f′（x）＜0，x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，

∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，ln2），单调递增区间为（ln2，+∞）．

（Ⅱ）由题意知使f（x）＜mx成立，

即使成立；

所以的最小值．

令，，

所以g（x）在上单调递减，在上单调递增，

则g（x）min=g（1）=e﹣2，所以m∈（e﹣2，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．

22．（12分）已知圆C：x2+y2=3的半径等于椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E

的右焦点F在圆C内，且到直线l：y=x﹣的距离为﹣，点M是直线l与圆C的公共

点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）求证：|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：（Ⅰ）设点F（c，0）（c＞0），由已知条件得，圆C的半径等于椭圆E的短半轴长，由此能求出椭圆方程．

（Ⅱ）由圆心O到直线l的距离为，得，

由已知条件推导出|AF|+|AM|=2，|BF|+|BM|=2，由此能证明|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．

解答：（Ⅰ）解：设点F（c，0）（c＞0），

则F到直线l的距离为，

即，…（2分）

因为F在圆C内，所以，故c=1；…（4分）

因为圆C的半径等于椭圆E的短半轴长，所以b2=3，

椭圆方程为．…（6分）

（Ⅱ）证明：因为圆心O到直线l的距离为，

所以直线l与圆C相切，M是切点，

故△AOM为直角三角形，

所以，

又，得，…（7分）

，

又，得，…（9分）

所以|AF|+|AM|=2，同理可得|BF|+|BM|=2，…（11分）

所以|AF|+|AM|=|BF|+|BM|，

即|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两组线段差相等的证明，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．