大学物理习题精选-答案——第2章质点动力学

大学物理习题精选-答案——第2章质点动

力学

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

质点动力学习题答案

2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向

与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道.

解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v

方向为X 轴，平行斜

面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1.

图2-1

X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v

2sin 2

1

t g y α=

由①、②式消去t ，得

220

sin 21

x g v y ?=

α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为

常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m

⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律：

合力：f P F

+=

a m f P =+

y 分量：dt

dV m

KV mg =-- dt KV

mg mdV

-=+?

即

dt m

KV mg dV 1

-=+

??-=+t v

v dt m KV mg dV 01

dt m

KV mg KV mg K 1ln 10-=++ )(0KV mg e

KV mg t m

K

+?=+-

mg K

e KV mg K V t m K

1

)(10-+=?- ①

0=V

时，物体达到了最高点，可有0t 为

)1ln(ln 000mg

KV K m mg KV mg K m t +=+=

② ∵ dt

dy V =

∴ Vdt dy =

dt mg K e KV mg K Vdt dy t

t m

K t

y

???

??

????-+==-0000

1)(1

mgt K

e KV mg K m

y t m K 11)(02-??????-+-=-

021

()1K

t m m

mg KV e mgt K K

-+--??=???? ③ 0t t = 时，max y y =，

)1ln(11)(0)1ln(02max

0mg KV K m mg K

e KV mg K m y mg

KV K m

m K +

?-????????-+=+?- )1ln(1

1)(0

22

02mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-??

???

?

??????

+-+=

)1ln()(022

0002mg KV g K m KV mg KV KV mg K

m +-++=

)1ln(0

220mg KV g K

m K mV +-= 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的

一段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的

速度.

解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同，沿链条方向，受力为

m

xg l

，根据牛顿定律，有 m

F xg ma l

==

图2-4

通过变量替换有 m dv

xg mv l dx

=

0,0x v ==，积分00

l v

m xg mvdv l =??

由上式可得链条刚离开桌面时的速度为v gl =

2-5 升降机内有两物体，质量分别为1m 和2m ，且2m ＝21m ．用细绳连接，跨过

滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速

a ＝

1

2

g 上升时，求：(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察1m 和2m 的加速度各为多少

解: 分别以1m ,2m 为研究对象，其受力图如图所示．

(1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为a '，则2m 对地加速度a a a -'=2；因绳不可伸长，故1m 对滑轮的加速度亦为a '，又1m 在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以1m 在水平方向对地加速度亦为a '，由牛顿定律，有

)(22a a m T g m -'=-

a m T '=1

题2-5图

联立，解得g a ='方向向下

(2) 2m 对地加速度为

2

2g

a a a =

-'= 方向向上 1m 在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即牵相绝a a a

+=' ∴ g g g a a a 2

5422

2

2

1=+=+'=

a a '=arctan

θo 6.262

1

arctan ==，左偏上． 2-6 一物体受合力为t F 2=（SI ），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个

5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？

解：设物体沿+x 方向运动，

2525

501===?

?tdt Fdt I N·S （1I 沿i

方向）

75210

5

105

2===?

?tdt Fdt I N·S （2I 沿i 方向）

3/12=?I I

∵????=?=112

2)()(p I p I

∴

3)()(1

2

=??p p 2-7 一弹性球，质量为020.0=m kg ，速率5=v m/s ，与墙壁碰撞后跳回. 设跳回时速率

不变，碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为60α?

=，⑴求碰撞过程中小球受到

的冲量?=I

⑵设碰撞时间为05.0=?t s ，求碰撞过程中小球 受到的平均冲力?F =

解:

?

?

?=-=-==--=-=0sin sin cos 2)cos (cos 1212ααα

ααmv mv mv mv I mv mv mv mv mv I y y y x x x i i i mv i I I x 10.060cos 5020.02cos 2=???===?αN·S

2-9 一颗子弹由枪口射出时速率为1

0s m -?v ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为

F =(bt a -)N(b a ,为常数)，其中t 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为

零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．

解: (1)由题意，子弹到枪口时，有

0)(=-=bt a F ,得b

a t =

(2)子弹所受的冲量

?-=-=t bt at t bt a I 022

1

d )(

将b

a

t =

代入，得 b

a I 22=

(3)由动量定理可求得子弹的质量

2

02bv a v I m =

= 2-10 木块B 静止置于水平台面上，小木块A 放在B 板的一端上，如图所示. 已知

0.25A m =kg ，B m ＝0.75kg ，小木块A 与木块B 之间的摩擦因数1μ＝0.5，木

板B 与台面间的摩擦因数2μ＝0.1. 现在给小木块A 一向右的水平初速度0v ＝40m/s ，问经过多长时间A 、B 恰好具有相同的速度（ 设B 板足够长）

解：当小木块A 以初速度0v 向右开始运动时，它将受到木板B 的摩擦阻力的作用，木板B 则在A 给予的摩擦力及台面给予的摩擦力的共同作用下向右运动. 如果将木板B 与小木块A 视为一个系统，A 、B 之间的摩擦力是内力，不改变系统的总动量，只有台面与木板B 之间的摩擦力才是系统所受的外力，改变系统的总动量. 设经过t ?时间，A 、B 具有相同的速度，根据质点系的动量定理 0()k A B A F t m m v m v -?=+-

2()k A B F m m g μ=+

图2-10

再对小木块A 单独予以考虑，A 受到B 给予的摩擦阻力'K F ，应用质点的动量定理 '0k A B F t m v m v -?=- 以及 '1k A F m g μ= 解得 001

2121(

),A A B v v v m v t m m g

μμμμμ-=-?=+-

代入数据得 2.5v =m/s t ?=7.65s

2-11一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的

木块，如图2-11所示. 已知两木块的质量分别为1m 和

2m ，子弹穿过两木块的时间各为1t ?和2t ?，设子弹在

木块中所受的阻力为恒力F ，求子弹穿过后，两木块各以多大速度运动.

解：子弹穿过第一木块时，两木块速度相同，均为1v ，初始两木块静止， 由动量定理，于是有

1121()0F t m m v ?=+-

设子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为2v ，对第二块木块，由动量定理有

22211F t m v m v ?=- 解以上方程可得 112

1212122

,F t F t F t v v m m m m m ???=

=+++

图2-11

2-12一端均匀的软链铅直地挂着，链的下端刚好触到桌面. 如果把链的上端放

开，证明在链下落的任一时刻，作用于桌面上的压力三倍于已落到桌面上那部分链条的重量.

解：设开始下落时0t =，在任意时刻t 落到桌面上的链长为x ，链未接触桌面的部分下落速度为v ，在dt 时间内又有质量dm dx ρ=（ρ为链的线密度）的链落到桌面上而静止. 根据动量定理，桌面给予dm 的冲量等于dm 的动量增量，即

I Fdt vdm vdx ρ=== 所以 2dx

F v

v dt

ρρ== 由自由落体的速度22v gx =得

2F gx ρ=

这是t 时刻桌面给予链的冲力. 根据牛顿第三定律，链对桌面的冲力'F F =，'F 方向向下，t 时刻桌面受的总压力等于冲力'F 和t 时刻已落到桌面上的那部分链的重力之和，所以 '3N F xg xg ρρ=+= 所以

3N

xg

ρ= 即链条作用于桌面上的压力3倍于落在桌面上那部分链条的重量.

2-13一质量为50kg 的人站在质量为100kg 的停在静水中的小船上，船长为5m ，问当人从

船头走到船尾时，船头移动的距离.

解:以人和船为系统，整个系统水平方向上动量守恒 设人的质量为m ，船的质量为M ，应用动量守恒得 m +M =0v V

其中v ，V 分别为人和小船相对于静水的速度，

可得m -

M

V =v 人相对于船的速度为 'M m

M

+=-=

v v V v 设人在t 时间内走完船长l ，则有

'

000

t t

t

M m M m l v dt vdt vdt M M ++===???

在这段时间内，人相对于地面走了0

t

x vdt =?

所以Ml

x M m

=

+ 船头移动的距离为'5

3

ml x l x M m =-=

=+ 2-14质量为M 的木块静止在光滑的水平桌面上，质量为m ，速度0v 的子弹水平地射入木

块，并陷在木块内与木块一起运动.求：

(1)子弹相对木块静止后，木块的速度和动量； (2)子弹相对木块静止后，子弹的动量；

(3) 在这个过程中，子弹施于木块的冲量.

解：子弹相对木块静止后，其共同速度设为u ，子弹和木块组成系统动量守恒

（1）0()mv m M u =+ 所以 0

mv u m M

=

+ 0

M Mmv P Mu m M

==

+ （2）子弹的动量20

m m v P mu m M

==+

（3）针对木块，由动量守恒知，子弹施于木块的冲量为

00M Mm

I P v M m

=-=

+ 2-15质量均为M 的两辆小车沿着一直线停在光滑的地面上，质量为m 的人自一辆车跳入

另一辆车，接着又以相同的速率跳回来. 试求两辆车的速率之比.

解： 质量为m 的人，以相对于地面的速度v 从车A 跳到车B ，此时车A 得到速度1u ，由于车是在光滑的地面上，沿水平方向不受外力，因此，由动量守恒得

1mv Mu =

人到达车B 时，共同得速度为2u ，由动量守恒得

2()M m u mv +=

人再由车B 以相对于地面的速度v 跳回到车A ，则车B 的速度为'2u ，而车

A 与人的共同速度为'1u ，如图所示，由动量守恒得

联立方程解得：'22m

u v M

=

'12m

u v M m

=

+ 所以车B 和车A 得速率之比为

'2'

1u M m

u M

+= 2-16体重为P 的人拿着重为p 的物体跳远，起跳仰角为?，初速度为0v . 到达最高点时，

该人将手中的物体以水平向后的相对速度u 抛出，问跳远成绩因此增加多少？

解：人和物体组成系统在最高点抛出物体前后沿水平方向动量守恒，注意到对地面这个惯性参考系

''0'

0'

()cos ()cos m m v mv m v u m v v u m m

??+=+-=++

从最高点到落地，人做平抛运动所需时间0sin v t g

?

= 跳远距离增加为

'22'11()()Mu mv M m u M m u mv Mu -=++=+

'

00'(cos )cos m s v u t v t m m ???=+

-+ '0'

sin v m p

ut u m m P p g

?==++ 2-17铁路上有一平板车，其质量为M ，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动. 现有N 个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m ，相对平板车的速度均为u . 问在下述两种情况下，平板车的末速度是多少（

1）N 个人同时跳离；（2）一个人、一个人的跳离. 所得结果是否相同.

解：取平板车和N 个人为研究对象，由于在水平方向上无外力作用，故系统在该方向上动量守恒. 取平板车运动方向为坐标轴正方向，设最初平板车静止，则有()0Mv Nm v u +-= 所以N 个人同时跑步跳车时，车速为

Nm

v u M Nm

=

+

（2）若一个人、一个人地跳车，情况就不同了. 第一个跳车时，由动量守恒定律可得

11[(1)]()0M N m v m v u +-+-=

第二个人跳车时，有

221[(2)]()[(1)]M N m v m v u M N m v +-+-=+-

21(1)mu

v v M N m

-=

+-

以此类推，第N 个人跳车时，有

1()()N N N Mv m v u M m v -+-=+

1N N mu

v v M m

--=

+ 所以1111()2N

N n mu

v mu M m M m M Nm M nm

==++???=++++∑

因为

111

2M m M m M Nm >>???>

+++ 1112N

M m M m M Nm M Nm

++???>

++++ 故N v v >

2-18质量为kg 10的物体作直线运动，受力与坐标关系如图2-18所示。若0=x 时，

s m v /1=，试求m x 16=时，?=v

解：在0x =到m x 16=过程中，外力功为力曲线与x 轴所围的面积代数和＝40J

由动能定理为：

2122mv 21mv 21W -=

即 110211021402

2??-?=v

s m v /32=?

2-19在光滑的水平桌面上，水平放置一固定的半圆形屏障. 有一质量为m 的滑块以初速度

0v 沿切线方向进入屏障一端，如图2-19所示,设滑块与屏障间的

摩擦因数为μ，试证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力作功为2201(1)2

f W mv e μπ-=-

图2-19

图2-18

解：滑块做圆周运动，依牛顿定律，有：

法向：2

mv N R

=

切向：dv dv d mv dv

f N m m dt d dt R d θμθθ=-===

由以上两式，可得 dv

d v μθ=-

对上式两边积分，有00v v dv d v π

μθ=-??

可得 0v v e μπ-=

由动能定理可得摩擦力做功为

222200111

(1)222

f W mv mv mv e μπ-=

-=- 2-20质量为M 的木块静止于光滑水平面上，一质量为m ，速率为v 的子弹水平射入木块后

嵌在木块内，并于木块一起运动，求：（1）木块施于子弹的力所做的功；（2）子弹施于木块的力所做的功；（3）木块和子弹系统耗散的机械能.

解：把子弹和木块当作一个系统，动量守恒

()M m u mv +=

因而求得子弹和木块共同速度m

u v M m

=

+ （1）22

222

1121()22()2

M Mm A mu mv mv M m +=-=-+ （2）'22

2110()2()2

Mm A Mu mv M m =

-=+ （3）22221111

()()222()2

M E mu Mu mv mv M m ?=+-=-

+ 2-21一质量10M =kg 的物体放在光滑的水平桌面上，并与一水平轻弹簧相连，弹簧的劲

度系数1000k =N/m. 今有一质量m ＝1kg 的小球以水平速度0v ＝4m/s 飞来，与物体

M 相撞后以1v ＝2m/s 的速度弹回，试问：

(1) 弹簧被压缩的长度为多少？

(2) 小球m 和物体M 的碰撞是完全弹性碰撞吗？

(3)

(3) 如果小球上涂有黏性物质，相撞后可与M 粘在一起，则（1），（2）

所问的结果又如何？

解：碰撞过程中物体、弹簧、小球组成系统的动量守恒 01mv mv Mu =-+

01()1(42)

0.610

m v v u M +?+=

==m/s 小球与弹簧碰撞，弹簧被压缩，对物体M 有作用力，对物体M ，由动能定理

（1）2211

022kx Mu -=-

弹簧被压缩的长度 100.60.061000

M x u k =

=?=m （2）22210111

222

k E Mu mv mv ?=

+-＝－4.2J （3）小球与物体M 碰撞后粘在一起，设其共同速度为'u ，根据动量守恒及动

量定理 '0()mv M m u =+

'2'211

0()22

kx M m u -=-+ 此时弹簧被压缩的长度

'0

0.04()

x k M m =

=+m

2-22 一根劲度系数为1k 的轻弹簧A 的下端，挂一根劲度系数为2k 的轻弹簧B ，

B 的下端一重物

C ，C 的质量为M ，如2-22图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比．

解: 弹簧B A 、及重物C 受力如2-22图所示平衡时，有

又

11x k F A ?=

22x k F B ?=

所以静止时两弹簧伸长量之比为

1

2

21k k x x =?? 弹性势能之比为

122222

1112

121

2

k k

x k x k E E p p =??= 2-23 如题2-23图所示，一物体质量为2kg ，以初速度0v ＝3m ·s -1从斜面A 点处下

滑，它与斜面的摩擦力为8N ，到达B 点后压缩弹簧20cm 后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．

图2-22

A B F F Mg ==

解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有

???

???+-=-37sin 212122mgs mv kx s f r 22

2

137sin 21kx s

f mgs mv k r -?+=

式中m 52.08.4=+=s ，m 2.0=x ，再代入有关数据，解得

-1m N 1390?=k

再次运用功能原理，求木块弹回的高度h '

2o 2

1

37sin kx s mg s f r -'='-

代入有关数据，得 m 4.1='s , 则木块弹回高度

m 84.037sin o ='='s h

2-24铅直平面内有一光滑的轨道，轨道的BCDE 部分是半

径为R 的圆. 若物体从A 处由静止下滑，求h 应为多大才恰好能使物体沿圆周BCDE 运动

图2-23

图2-25

解：木块如能通过D 点，就可以绕整个圆周运动. 设木块质量为m ，它在D 点的法向运动方程为

2

v N mg m R

+=

式中N 为圆环给木块的法向推力. 显然N ＝0时，木块刚好能通过D 点，所以木块刚好能绕圆周运动的条件为

2v Rg =

选木块和地球为系统，系统的机械能守恒，所以可得

21

22mgR mv mgh +=

联立求解得 2.5h R =

即高度为 2.5h R =时木块刚好能绕圆周运动

2-25两个质量分别为1m 和2m 的木块A 和B ，用一个质量忽略不计、倔强系数为k 的弹簧

连接起来，放置在光滑水平面上，是A 紧靠墙壁，如图示. 用力推木块B 使弹簧压缩

0x ，然后释放. 已知12,3m m m m ==，求

(1) 释放后，A 、B 两木块速度相等时的瞬时速度的大小；

(2) 释放后，子弹的最大伸长量.

解：释放后，子弹恢复到原长时A 将要离开墙壁，设此时B 的速度为v ，由

机械能守恒，由 2201

3/22

kx mv =

得0

3k v x m

= A 离开墙壁后，系统在光滑水平面上运动，系统动量守恒，机械能守恒，有

图2-26

11222m v m v m v +=

2222112221111

2222

m v kx m v m v ++= （1） 当12v v =时，求得：12033443k v v v x m === （2）

（2）弹簧有最大伸长量时，123

4

v v v ==，由式（2）得

max 01

2

x x =

2-26两块质量各为1m 和2m 的木块，用劲度系数为k 的轻弹簧连在一起，放置在

地面上，如图示，问至少要用多大的力F 压缩上面的木块，才能在该力撤去后因上面的木板升高而将下面的木板提起？

解：

将12,m m 和弹簧和地球视为一个系统，该系统在压力撤离后，只有保守力作用，所以机械能守恒. 设压力撤离时刻为初态，2m 恰好提离地面时为末态，初态、末态时动能均为零. 设弹簧原长时为坐标原点和势能零点， 则

22110011

22

m gx kx m gx kx +=-+

式中0x 为压力F 作用时弹簧的压缩量，则

100m g F kx +-=

式中x 为2m 恰好能提离地面时弹簧的伸长量，此时要求2kx m g ≥ 联立以上几个方程解得

()F m m g ≥+

图2-27

故能使2m 提离地面的最小压力为min 12()F m m g =+

2-27一质量为'm 的三角形木块放在光滑的水平面上，另一

质量为m 的立方木块由斜面最低处沿斜面向上运动，相对于斜面的初速度为0v ，如图所示，如果不考虑木块接触面上的摩擦，问立方木块能沿斜面上滑多高？

解：三角形木块与立方木块组成的系统在水平方向不受

外力作用， 水平方向动量守恒. 初始时，立方木块速度为0v ，其水平方向分量为0cos v θ，三角形木块静止；当立方木块达最高点时，相对于三角形木块静止，设二者共同的速度为v ，则 '0cos ()mv m m v θ=+

在运动过程中，两木块和地球组成的系统只有重力做功，机械能守恒，得

2'2011

()22

mv mgh m m v =++ 由以上两式得立方木块沿斜面上滑的高度为

2222'00''

cos sin (1)22v v m m m h g m m g m m

θθ+=-=++

2-28两个形状完全相同、质量都为M 的弧形导轨

A 和

B ，放在地板上，今有一质量为m 的小物体，从静止状态由A 的顶端下滑，A 顶端的高

图2-28

度为0h ，所有接触面均光滑. 试求小物体在B 轨上上升的最大高度（设A 、B 导轨与地面相切）

解：设小物体沿A 轨下滑至地板时的速度为v ，对小物体与A 组成的系统，应用机械能守恒定律及沿水平方向动量守恒定律，有 0A Mv mv -+= （1）

22011

22

A mgh Mv mv =

+ （2） 解得02/()v Mgh M m =+ （3）

当小物体以初速v 沿B 轨上升到最大高度H 时，此时小物体相对B 的速度为零，设小物体与B 相对地沿水平方向的共同速度为u ，根据动量守恒与机械能守恒，

有()Mv M m u =+ （4）

2211

()22

mv M m u mgH =++ （5） 联立（3）－（5）解得

220()2()Mv M H h M m g M m

==++

2-29 一质量为200g 的砝码盘悬挂在劲度系数196k =N/m 的弹簧

下，现有质量为100g 的砝码自30cm 高处落入盘中，求盘向下移动的距离（假设砝码与盘的碰撞是完全非弹性碰撞）

图2-29