数学竞赛专题讲座七年级第5讲-计算—工具与算法的变迁(含答案)

第五讲 计算——工具与算法的变迁

研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、

纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算．

初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有： 1．巧用运算律； 2．用字母代数； 3．分解相约； 4．裂项相消； 5．利用公式； 6．加强估算等．

“当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类，科学计算已经与理论研究、科学实验一起，成为第三种科学方法．——威尔逊

注：威尔逊，著名计算物理学家，20世纪80年代诺贝尔奖获得者．

【例1】 现有四个有理数3，4，6-，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有：

(1) ；(2) ；(3) ． (浙江省杭州市中考题) 思路点拨 从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑．

链接： 今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算

变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维． 著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构”． 有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在： (1)有理数的计算每一步要确定符号； （2）有理数计算常常是符号演算；

(3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数．

程序框图是一种用规定、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形，能清晰地展现算法的逻辑结构，常见的逻辑结构有：顺序结构、条件结构和循环结构．

【例2】 如果4个不同的正整数q p n m 、、、满足4)7)(7)(7)(7(=----q p n m ，那么，q p n m +++等于( )．

A ．10

B ．2l

C ．24

D ．26

E ．28 (新加坡数学竞赛题) 思路点拨 解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式． 【例3】 计算： (1)100

321132112111+++++++++++

； (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2)19492

—19502

+19512

—19522

+…+19972

—19982

+19992

(北京市竞赛题) (3)5+52+53+…十52002

．

思路点拨 对于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．

链接：裂项常用到以下关系式： （1）

b

a a

b b a 1

1+=+； （2）

11

1)1(1+-=+a a a a ；

（3）

b

a a

b a a b +-=+1

1)(．

运用某些公式，能使计算获得巧解，常用的公式有： （1）))((2

2

b a b a b a -+=-； （2）2

)

1(321+=

++++n n n ． 错位相减、倒序相加也是计算中常用的技巧．

【例4】(1)若按奇偶分类，则22004+32004+72004+92004

是 数；

(2)设553=a ，444=b ，33

5=c ，则c b a 、、的大小关系是 (用“>”号连接)； (3)求证：32002

+42002

是5的倍数．

思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：①乘方意义；②乘方法则；③02≥n

a

；④n a 与a 的奇偶性相同；⑤在r k n +4中(k ，r 为非负整

数，0≠n ，0≤r <4)，当r =0时，r

k n +4的个位数字与n 4

的个位数字相同；当0≠r 时，?

r k n +4的个位数字与r n 的个位数字相同．

【例5】有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：

（1）证明：可以得到22； （2）证明；可以得到222

97100

-+．

思路点拨 （1）试值可以得到22，从计算中观察得数的规律性，为（2）做准备；（2）连续地运用同一种运算以获得高次，在进行适当的变换可以求解．

【例6】（1）已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，0

2005

20042003)()(e d c ab -+--的值为__________． (第19届江苏省竞赛题)

（2）已知2006200512

2006

220052)1(164834121-++-++-+-=

+ k k k S ，则小于S 的最大整数是______． （第11届“华杯赛“试题）

思路点拨 对于（1）从倒数、相反数的概念入手；（2）通过对数式的分组，估算S 的值的范围．

【例7】按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（）．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个（义乌市中考题）

思路点拨看懂程序图，循环运算是解本题的关键．

【例8】如图所示是一3

3?的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列及对角线上的和都是相等的，求k的值．（两岸四地少年数学邀请赛试题）

思路点拨为充分利用条件，需增设字母，运用关系式求出k的值．

基础训练

一、基础夯实

1.(1)计算:211×(-455)+365×455-211×545+545×365=_________;

(2)若a= -2004

2003

,b=-

2003

2002

,c=-

2002

2001

,则a、b、c的大小关系是___________(用“〈”号

连接〉.

2.计算:(1)0.7×14

9

+2

3

4

×(-15)+0.7×

5

9

+

1

4

×(-15)=________;

(第15届江苏省竞赛题)

(2) 191919

767676

-

7676

1919

=________. (第12届“希望杯”邀请赛试题)

(3)

1

35

?

+

1

57

?

+…+

1

19971999

?

=________; (天津市竞赛题)

(4)(13.672×125+136.72×12.25-1367.2×1.875)÷17.09=________.

(第14届“五羊杯”竞赛题)

3.在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号(不再添加括号),?使得等式成立:6□3□2□12=2

4. (第17届江苏省竞赛题)

4.1999加上它的1

2

得到一个数,再加上所得的数的

1

3

又得到一个数,再加上这次得数的

1

4

又得到一个数,……,依此类推,一直加到上一次得数的

1

1999

,那么最后得到的数是

_________.

5.根据图所示的程序计算,若输入的x值为3

2

,则输出的结果为( ).

A.7

2

B.

9

4

C.

1

2

D.

9

2

(2002年北京市海淀区中考题

)

输出结果

y=-x+21

y=x 2

-1

y=x+2-2≤x ≤-1

输出y 值

输入x 值

6.已知a=-

199919991999199819981998

?-?+,b=-

200020002000199919991999

?-?+,c=-

200120012001200020002000

?-?+,则

abc=( ).

A.-1

B.3

C.-3

D.1 (第11届“希望杯”邀请赛试题) 7.如果有理数a 、b 、c 满足关系a

23

bc ac

ab c -的值( ).

A.必为正数

B.必为负数

C.可正可负

D.可能为0 8.将322、414、910、810由大到小的排序是( ).

A.322、910、810、414

B.322、910、414、810

C.910、810、414、322

D.322、414、910、810 (美国犹他州竞赛题) 9.阅读下列一段话,并解决后面的问题:

观察下面一列数:1,2,4,8,…,我们发现,这一列数从第2项起,?每一项与它前一项的比都等于2.

一般地,如果一列数从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,?这一列数就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比. (1)等比数列5,-15,45,…的第4项是________;

(2)如果一列数a 1,a 2,a 3,a 4,…是等比数列,且公比为q,那么根据上述的规定,有 ?

21a a =q, 32a a =q, 43

a

a =q,…, 所以a 2=a 1q,a 3=a 2q=(a 1q)q=a 1q 2,a 4=a 3q=a 1q 3,…,a n =_______(用a 1与q 的代数式表示). (3)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. (2003年广西省中考题)

10.(1)已知a 、b 、c 都不等于零,且||a a +||b b +||c c +||abc

abc 的最大值是m,最小值为n,求m n mn

的值.

(2)求证:5353-3333是10的倍数.

二、能力拓展

11.计算:(1) 22003400420032002400820032004

22003300520032003200520053005

-?+?-?-?-?+?=_________.

(第15届“希望杯”邀请赛试题)

(2)2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=___________;

(3) 1233695101571421

13539155152572135??+??+??+????+??+??+??=_______________.

(4)98+998+9998+…+509

9998???个=_________.(2003年“信利杯”竞赛题)

12.(1)32001×72002×132003所得积的末位数字是________;(第17届江苏省竞赛题) 13.若a 、b 、c 、d 是互不相等的整数(a

为了解决这个问题,我们先写出它的一般形式,即比较n n+1与(n+1)n 的大小(n 是自然数),然后,我们从分析n=1,n=2,n=3,……中发现规律,经归纳、猜想得出结论. (1)通过计算,比较下列各组中两数的大小(在空格中填写“)”、“＝”、?“〈”号〉. ①12_____21; ②23______32; ③34______43; ④45______54; ⑤56_____65;…… (2)从第(1)题的结果经过归纳,可以猜想出n n+1和(n+1)n 的大小关系是_______.

(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论,试比较下列两个数的大小20012002___20022001. (江苏省常州市中考题) 15.如果

11||t t +22||t

t +33||t t =1,则123123

||t t t t t t 的值为( ). A.-1 B.1 C.±1 D.不确定 (2003河北省竞赛题) 16.如果ac<0,那么下面的不等式

a

c

<0,a c 2<0,a 2c<0,c 3a<0,ca 3<0中必定成立的有( ? ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

17.设S=213?+2235?+3257?+…4929799?,T=13+25+2

27

+…48299,则S-T=( ).

A.49299

B.1-49299

C.49299-1

D.49

299

+1 (第14届“五羊杯”竞赛题)

18.10个互不相等的有理数,每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”，则这10个有理数的和为( ).

A.

12 B. 1118 C. 76 D. 5

9

(第11届江苏省竞赛题) 19.图中显示的填数“魔方”只填了一部分,将下列9个数: 14,1

2

,1,2,4,8,?16,?32,64填

入方格中,使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等,求x 的值. (上海市竞赛题)

64x

32

20.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a+b,a的形式,又可分别表示为0, a

b

,b的

形式,求a2002+b2001的值.

三、综合创新

21.(1)三个2,不用运算符号,写出尽可能大的数;

(2)三个4,不用运算符号,写出尽可能大的数.

(3)用相同的3个数字(1～9),不用运算符号,写出最大的数.

22.如图,是一个计算装置示意图,J1、J2是数据输入口,C是计算输出口,计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n,经计算后得自然数K由C输出,此种计算装置完成的计算满足以下三个性质:

(1)若J1、J=2分别输入1，则输出结果为1;

(2)若J=1输入任何固定的自然数不变,J2输入自然数增大1,则输出结果比原来增大2;

(3)若J2输入1,J1输入自然数增大1,则输出结果为原来的2倍.

试问:(1)若J1输入1,J2输入自然数n,输出结果为多少?

(2)若J2输入1,J1输入自然数m,输出结果为多少?

(3)若J1输入自然数m,J2输入自然数n,输出的结果为多少?

(2002年扬州中学招生试题)

C n

m

j2 j1

答案：

1.(1)154000,(2)a>b>c.

2.(1)-4

3.6;(2)-334;(3) 9985997

; (4)?48,?注意13672=?8?×1709. 3.略 4.1999000 提示:原式=1999×(1+

12)(1+13)×…×(1+11999

) 5.C 6.A 7.B 8.A 9.(1)-135;(2)a n =a 1q n-1;(3)a 1=5,a 4=40. 10.(1)-16 提示:

||

x

x =±1,m=4,n=-4;(2)5353与3333的个位数字相同. 11.(1)

667668

;(2)6 提示:2n+1-2n =2n ;(3)

2

5

; (4) 111000491

???个 12.(1)9;(2)115200 13.-12

14.(1)略;(2)当n<3时,n n+1<(n+1)n ;当n ≥3时,n n+1>(n+1)n ;(3)>. 15.A 16.C 17.B 提示:

1111()(2)

22

n n n n =

-++ 18.A 19.这9个数的积为

14×1

2

×1×2×4×8×16×32×64=643, 所以,每行、每列、每条对角线上三个数字积为64, 得ac=1,ef=1,ax=2,a,c,e,f 分别为

14,1

2

, 2,4中的某个数,推得x=8. f

e

d c b a 64

x 32

20.2 提示:这两个三数组在适当的顺序下对应相等,

于是可以断定,a+b 与a?中有一个为0,

b

a

与b 中有一个为1,再讨论得a=-1,b=1. 21.(1)222;(2)444=4256>444;

(3)设所用数字为a,可得下面4种写法:

①当a=1时,111最大;②当a=2时,222最大;③当a=3时,333最大;④当a ≥4时,a 最大. 22.由题意设输出数,

设C(m,n)为k,则C(1,1)=1,C(m,n)=c(m,n-1)+2,C(m,?1)?=2C(m-1,1).

(1)C(1,n)=C(1,n-1)+2=C(1,n-2)+2×2=…= C(1,1)+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1 (2)C(m,1)=2C(m-1,1)=22·C(m-2,1)=…=2m-1C(1,1)=2m-1.

(3)C(m,n)=C(m,n-1)+2=C(m,n-2)+2×2=…=C(m-1)+2(n-1)

=22C(m-2,1)+2(n-1)=…=2m-1C(1,1)+2n-2=2m-1+2n-2.

提高训练

1．若1+=m m ，则2004

)

14(+m =______． （“希望杯”邀请赛试题）

2．符号“f ”表示一种运算，他对一些数的运算结果是： （1）0)1(=f ，1)2(=f ，2)3(=f ，3)4(=f ，… （2）2)21

(=f ，3)31(=f ，4)41(=f ，5)5

1(=f ，…

利用以上规律计算：=-)2008()2008

1

(f f ______． （贵阳市中考题）

3．3028864215144321-+-+-+-+-+-+- 等于（ ）．

A ．41

B ．41-

C ．21

D ．2

1

- （“希望杯”邀请赛试题）

4．20032004

)2(3)2(-?+- 的值为（ ）．

A ．2003

2

- B ．2003

2 C ．2004

2

- D ．2004

2

(江苏省竞赛题)

5．自然数d c b a 、、、满足

111112222=+++d c b a ，则6

5431

111d c b a +

++等于（ ）． A ．81 B ．163 C ．327 D ．64

15 （北京市竞赛题）

6．d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=abcd ，那么d c b a +++的值是（ ）． A ．30 B ．32 C ．34 D ．36 (“希望杯”邀请赛试题)

7．已知55)(2

+=+++b b b a ，且012=--b a ．求ab 的值．（北京市迎春杯竞赛题） 8．已知a 、b 、c 都不等于0，且

abc

abc

c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则=+2005)(n m ______． (重庆市竞赛题)

9．从下面每组数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是______．

第一组：5-，31

3，4.25，5.75； 第二组：312-，15

1

；

第三组：2.25，

12

5

，4-． （“华杯赛”试题） 10．计算：2006

6423

100864231006642310046423+++++

+++++++++++++++ 的值是（ ）． A ．10033 B ．10043 C ．3341 D ．1000

1 （第18届五羊杯竞赛题）

11．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则

z y y x --，x z z y --，y

x x

z --中负数的个数是（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （重庆市竞赛题） 12．若有理数x 、y 使得y x +、y x -、xy 、y

x

这四个数中的三个数相等，则x y -的值是（ ）． A ．21- B ．0 C ．21 D ．2

3

（天津市竞赛题）

13．已知05

43

2

A ．0

B ．04

2

1(m

m A +-

+-+-= ，)1

1)(11()311)(311)(211)(211(n

n B +-+-+-= ．

证明：（1）m m A 21+=，n

n B 21

+=； （2）若26

1

=-B A ,求m 和n 的值． （华杯赛试题）