北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明练习试题

第一章检测卷

一．选择题（每小题3分，共30分）

1．已知一个等腰三角形一底角的度数为80°．则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°B．70°C．80°D．100°

2．用反证法证明命题“若＝a，则a≥0”时，第一步应假设（）

A．B．a≤0C．a＜0D．a＞0

3．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）

A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF

第3题图第4题图第5题图第6题图

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BA的延长线上一点，且CD＝AB，若∠B＝32°，则∠D 等（）

A．48°B．58°C．64°D．74°

5．如图所示的仪器中，OD＝OE，CD＝CE．小州把这个仪器往直线l上一放，使点D、E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，他这样判断的理由是（）

A．到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上

B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

6．如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB，与∠1互余的角有（）A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD

7．已知：如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC＝60°，∠ECD ＝40°，则∠ABE＝（）

A．10°B．15°C．20°D．25°

第7题图第8题图第9题图第10题图

8．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝6，BC＝4，DE＝2，则△ABC的面积为（）

A．4B．6C．8D．10

9．如图，△ABC是等边三角形，AB＝12，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（）

A．6B．5C．12D．8

10．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；

②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其

中正确的结论有（）个．

A．1B．2C．3D．4

二．填空题（每小题3分，共15分）

11．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题．

12．如图，△ABC中，∠A＝60°，分别以A，B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧交于两点，过两点的直线交AC于点D，连结BD，则△ABD是三角形.

13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为_____.

第12题图第13题图第14题图第15题图

14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D是线段CE的中点，AD⊥BC于点D．若∠B＝36°，BC＝8，则AB的长为．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为_______.三．解答题(本大题共8个小题，满分75分)

16．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC 上，且AE＝CF．

求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．

17．（9分）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝50°，∠C＝36°，求∠DAC的度数．

18．（9分）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）

19．（9分）如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，求BF的长．

20．（9分）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E．

（1）判断△CED的形状，并说明理由；

（2）若CD＝6，OD＝10，直接写出OC的长．

21．（10分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．

（1）求证：CF＝EB．

（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．

22．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BP与AC边的垂直平分线PQ交于点P，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，若BE＝10cm，AB＝6cm，求CE的长．

23．（11分）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．

（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；

此时＝；

（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？

若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．

（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．

答案

1．A 2．C 3．A 4．C 5．C 6．C 7．C 8．D 9．A

10．D 解析：如图，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，∴∠ADE＝∠AMF＝90°，∵∠AED＝∠MEF，∴∠DAE＝∠F；故①正确；②∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠EAC＝，∠DAE＝90°﹣∠AED，＝90°﹣（∠ACE+∠EAC）＝90°﹣（∠ACE+），＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC）＝（∠ABD﹣∠ACE），故②正确；③∵AE平分∠BAC交BC于E，∴点E到AB和AC的距离相等，∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，④∵∠DAE＝∠F，∠FDG ＝∠FME＝90°，∴∠AGH＝∠MEF，∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确；故选：D．

11．面积相等的三角形全等12．等边13．50°14．8

15．108°解析：如图，连接OB、OC，∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，

∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣54°）＝63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝27°，∴∠OBC ＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，∴OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的三条垂直平分线的交点，∴点O在OA和OB的垂直平分线上，∴OA=OB,∴∠OCB＝∠OBC＝36°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝36°，在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°.

16．证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，

∵，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．（8分）

17．解：由题意得：BA＝BD，则∠BAD＝∠BDA，∵∠B＝50°，

∴∠BAD＝∠BDA＝65°，

∵∠BDA＝∠DAC+∠C，∠C＝36°，

∴∠DAC＝29°．（9分）

18．解：如图所示：

点P1，P就是所求的点．（9分）

19．解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC＝8，∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∵D为AB的中点，

∴AD＝BD＝4，

∵DE⊥AC，EF⊥BC，

∴∠DEA＝90°，∠EFC＝90°，

∴∠ADE＝180°﹣∠DEA﹣∠A＝30°，

∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠C＝30°，

∴AE＝AD＝＝2，CF＝EC＝×（8﹣2）＝3，∴BF＝BC﹣CF＝8﹣3＝5．（9分）

20．解：（1）△CED是等边三角形，理由如下：

∵OC平分∠AOB，∠AOB＝60°，

∴∠AOC＝∠COE＝30°，

∵CE∥OA，

∴∠AOC＝∠COE＝∠OCE＝30°，∠CED＝60°，

∵CD⊥OC，

∴∠OCD＝90°，

∴∠EDC＝60°，

∴△CED是等边三角形.（6分）

（2）在Rt△OCD中，根据勾股定理得OC＝＝8．（9分）21．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，

∴DE＝DC．

在△CDF与△EDB中，

∵，

∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），

∴CF＝EB．（5分）

（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，

∴CD＝DE．

在△ACD与△AED中，

∵，

∴△ACD≌△AED（HL），

∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，

解得x＝2，即CF＝2．（10分）

22．解：如图，连接AP、CP，

∵BP平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC，

∴∠PBD＝∠PBE，∠PDB＝∠PEC＝90°，PD＝PE，在△BPD和△BPE中，

，

∴△BPD≌△BPE（AAS），

∴BD＝BE，

又∵BE＝10cm，AB＝6cm，

∴AD＝BD﹣AB＝BE﹣AB＝4cm，

∵PQ垂直平分AC，

∴P A＝PC，

在RT△P AD和RT△PCE中，

，

∴RT△P AD≌RT△PCE（HL），

∴CE＝AD＝4cm．（10分）

23．解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN．此时．（2分）．

理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，

∴△MDN是等边三角形，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝60°，

∵BD＝CD，∠BDC＝120°，

∴∠DBC＝∠DCB＝30°，

∴∠MBD＝∠NCD＝90°，

∵DM＝DN，BD＝CD，

∴Rt△BDM≌Rt△CDN，

∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，

∴DM＝2BM，DN＝2CN，

∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；

∴AM＝AN，

∴△AMN是等边三角形，

∵AB＝AM+BM，

∴AM：AB＝2：3，

∴＝；（3分）

（2）猜想：结论仍然成立．

证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．

∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，

∴△DBM≌△DCM1，

∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，

∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，

∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，

∴△MDN≌△M1DN，

∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，

∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，∴＝；（7分）

（3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1．

可证△DBM≌△DCM1，

∴DM＝DM1，

可证∠M1DN＝∠MDN＝60°，

∴△MDN≌△M1DN，

∴MN＝M1N，．

∴NC﹣BM＝MN．（11分）．