九年级数学图形的旋转

图形的旋转

一、同步知识梳理

1、旋(xuán)转(zhuǎn）的定义

在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角，如果图形上的某点经过旋转变为另一点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

2、旋转的性质

图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

3、旋转的条件（要素）

①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度。（改变一个要素，图形就会不一样。）

一、专题精讲

题型一、分析旋转现象

例1．如图，等边△ABC经过平移后成为△BDE，其平移的方向为点A到点B的方向，平移的距离为线段AB 的长度。△BDE能否看作是△ABC经过旋转得到的？如果能，请指出旋转中心、旋转方向和旋转角度。

变式训练

1、如图所示，已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△BCE。

（1）图中点是旋转中心，按方向旋转了度；

（2）如果CF＝3cm，连接EF，求EF的长。

题型二、确定旋转中心

A B C是由△ABC绕某一点旋转一定角度得到的，请你找出旋转中心。

例2. 如图，△

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【方法总结】确定旋转中心

在图形的旋转过程中，判定谁是旋转中心，要看旋转中心是在图形上还是在图形外。若在图形上，哪一点在旋转过程中位置没有变，哪一点就是旋转中心；若是在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。

题型三、求旋转角的度数

例3．等腰直角三角形ABC按逆时针方向转动一个角度后成为△AB C''，且AB'⊥BC，垂足为O。

（1）图中旋转中心是点；

（2）该旋转中的旋转角是度；

（3）经上述旋转后，所得到的B C''边与AC边的位置关系怎样？

变式训练

如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB 上，则旋转角度为。

题型四、利用旋转的性质求线段的长

例4．如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合，如果AP ＝5，求PP'的长度。

题型五、画旋转图形

例5．请在网格内画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形。

（例5）（变式训练）变式训练

分别在上图的网格中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°和180°后的图形。

1、如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，则图中的△ 和△ 可以经过旋转得到，这时旋转中心是点。

（第1题）（第2题）

2、如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，5），底边OB在x轴上，将△AOB绕点B按顺时针方向旋

''，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为。

转一定角度后得△A O B

3、如图，P为等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，则以AP、PB、PC的长为边的三角形的三个内角的大小之比是。

（第3题）（第4题）

4、已知，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5。求∠APB的度数。

5、如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为。

（第5题）（第6题）

6、如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，则,BD＝。

技巧与方法总结——常见的旋转模型

课后作业

1、如果三角形ABC 经旋转后能与△A B C ''重合，已知∠ACB ＝60°，由△ABC 旋转到△A B C ''的过程中，旋转中心和旋转角分别是（ ） A

A 、点C ，逆时针90°

B 、点

C ，顺时针90° C 、点B ，逆时针90°

D 、点B ，顺时针90°

（第1题）

（第2题）

2、该图形围绕点O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ） B A 、72° B 、108° C 、144° D 、216°

3、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，如果将三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△11AB C 的位置，点1B 恰好落在边BC 的中点处，那么旋转的角度是 。 60°

（第3题） （第4题） （第5题） 4、若将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到△AB C ''，则A 点的对应点的坐标是 。 （3，0） 5、如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B ＝120°，OA ＝2，将菱形OABC 绕原点顺时针6、旋转105°至OA B C '''的位置，则点B '的坐标为 。 （2，﹣2）

在△ABC 中，AB ＝BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α°，得到△11A BC ，1A B 交AC 于E ，11A C 分别交AC 、BC 于点D 、F 。有下列结论：①∠CDF ＝α°；②1A E ＝CF ；③DF ＝FC ；④1A D ＝CE ；⑤1A F ＝CE 。其中正确的是 。（写出正确结论的序号） ①②⑤

（第6题）（第7题）（第8题）

7、如图，在等边△ABC中，AB＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长为。6

8、如图，在等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED。若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是。19

9、如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°。

（1）求证：EF＝AE＋CF；（2）若AE＝1，则EF长为多少？

10、如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝4cm，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积的多少？

11、如图，分别以正方形ABCD的边长AD和BC为直径画两个半圆交于点O。若正方形的边长为10cm，求阴影部分的面积。