高考数学模拟复习试卷试题模拟卷1255
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1.了解平面向量基本定理及其意义．
2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【重点知识梳理】 1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ＋b ＝(x1＋x2，y1＋y2)，a －b ＝(x1－x2，y1－y2)，λa ＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB →＝(x2－x1，y2－y1)，|AB →
|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2． 3．平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ∥b ?x1y2－x2y1＝0． 【高频考点突破】
考点一 平面向量基本定理的应用
【例1】 (1)在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →＝a ，CA →＝b ，|a|＝1，|b|＝2，则CD →＝()
A.13a ＋23b
B.23a ＋13b
C.35a ＋45b
D.45a ＋35b
(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝2
3BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
答案 (1)B(2)1
2
规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【变式探究】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →
，则x ＝________，y ＝________．
答案 1＋323
2
考点二 平面向量的坐标运算
【例2】 (1)已知平面向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －3
2b ＝() A ．(－2，－1) B ．(－2，1) C ．(－1，0) D ．(－1，2)
(2)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →
＝() A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3，5) D ．(2，4)
答案 (1)D(2)B
规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
【变式探究】 (1)已知点A(－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →
＝3a ，则点B 的坐标为() A ．(7，4) B ．(7，14) C ．(5，4) D ．(5，14)
(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →
等于()
A ．(－2，7)
B ．(－6，21)
C ．(2，－7)
D ．(6，－21)
答案(1)D(2)B
考点三向量共线的坐标表示
【例3】平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d的坐标．
规律方法(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，则b＝λa.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
【变式探究】(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
(2)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，7)，若(a－c)∥b，则k＝________．
答案 (1)(2，4)(2)5
【真题感悟】
1.【高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) （A ）(7,4)--（B ）(7,4)（C ）(1,4)-（D ）(1,4) 【答案】A
2．（·重庆卷） 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b)⊥c ，则实数k ＝( )
A ．－9
2 B ．0 C ．
3 D.15
2 【答案】C
3．（·福建卷） 在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B ．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C ．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D ．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) 【答案】B
4．（·山东卷） 已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b ，且y ＝f(x)的图像过点????π12，3
和点???
?2π3，－2.
(1)求m ，n 的值；
(2)将y ＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图像，若y ＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间．
5．（·陕西卷） 设0<θ<π
2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 【答案】12
6．（·陕西卷） 在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．
(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；
(2)设OP →＝mAB →＋nAC →
(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．
7．（·安徽卷） 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →
＝2，则点集{P|OP →＝λOA →＋μOB →
，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )
A．2 2 B．2 3
C．4 2 D．4 3
【答案】D
8．（·湖南卷）已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()
A．[2－1，2＋1] B．[2－1，2＋2]
C．[1，2＋1] D．1，2＋2
【答案】A
9．（·北京卷） 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则λ
μ＝________．
图1－3 【答案】4
10．（·辽宁卷） 已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.????3
5，－45 B.???
?45，－35 C.????－35，45 D.???
?－45，35 【答案】A
11．（·天津卷） 在平行四边形ABC D 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．
【答案】12
12．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →
＝________． 【答案】2
13．（·重庆卷）如图1－9所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝
2
2，过左焦点F1
作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．
图1－9
14．（·重庆卷） 在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1|＝|OB2→|＝1，AP →＝AB1→＋AB2→.若|OP →|＜12，则|OA →
|的取值范围是( )
A.? ????0，52
B.? ??
??52，72 C.?
????52，2
D.? ??
??72，2
【答案】D
【押题专练】
1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →
＝()
A ．b －12a
B ．b ＋12a
C ．a ＋12b
D ．a －1
2b
【答案】A
2．已知在?ABCD 中，AD →＝(2，8)，AB →＝(－3，4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM →
＝ ()
A.????－12，－6
B.???
?－12，6
C.???
?12，－6
D.???
?12，6
答案 B
3．已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m)，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b)”的 ()
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
4．已知a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于
()
A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12b
D ．－32a ＋12b
答案 B
5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2 PA →
，则 ()
A ．x ＝23，y ＝13
B ．x ＝13，y ＝23
C ．x ＝14，y ＝34
D ．x ＝34，y ＝1
4
答案 A
6．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．
答案 12
7．若三点A(2，2)，B(a ，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a ＋1
b 的值为________．
答案 12
8.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则λ
μ＝________．
答案 4
9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →
＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →
的坐标．
10．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →
＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b)，q ＝(b －a ，c －a)，若p ∥q ，则角C 的大小为
() A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
答案 B
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1，0)，B(0，1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π
4
，且|OC|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝() A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．42
答案 A
13．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →
＝(5－m ，－3－m)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．
答案 m≠5
4
14.如图，已知点A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，求以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．
高考模拟复习试卷试题模拟卷
高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一．基础题组
1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )
A ．1
B ．13-
C ．2
3
-
D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．
3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线
)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.
4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线
0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．
二．能力题组
1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线2
1y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22
430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）
A.
4515- B.25
15
- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2
2
14x y +-=。若过点11,2P ??
???
的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。
3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.
三．拔高题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆
0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3-a
B ．2
3<
a C ．13<<-a 或2
3
>