量子力学曾谨言第六章第七章习题详解

第六章：中心力场

［1］质量分别为m, ,m 2的两个粒子组成的体系，质心座标R及相对座标r为:

m" m zD “、

R = 一一⑴

m, m2

rr 二O -「1 ⑵

试求总动量P = p,亠p2及总角动量L = h亠丨2在R，r表象中的

算符表示。

1.［解］(a)合动量算符p = P1 ? P2。根据假设可以解出r i，r2

- - m2

令 m 三m ,亠口2: 「=R_ ----- r (3)

m

1

m1

r2= R ? r (4)

m2

设各个矢量的分量是r1(x1, y1, z1) , r2 (x2, y 2, z2),

r(x, y,z)和R(X,Y,Z)。为了计算动量的变换式先求对x ,

X2等的偏导数:

L、L、# L、r L、L、L、

X x m1

' ' ' '' 1(5)

:x1；:x1；:X ；:x1；:x m ；:X ；：x

jx2cX

cx2

L、rx

x

;X ；x2

a m2 e

jx m ；X :x

(6)

关于

L、L、

d d-可以写出与( 5) (6) 类似的式子，因而-71 -7 2 .z1.z2

A A A A A d e

P - (P1 ■P2)x 二P 1x p2x -( - -)

i ；x1；x2

L、L、*-?.L、

m1m2

=_(」2):

i m ;X :x m ;:X ;:x i ;X

--h d P 二i '

i _:X r d

j

i

；:

Y

-h

k —

A " ■ ■ /t ■ ■ (b)总角动量 L = l i ?丨2 =— (「1 ：：甘 1 ?「2 ：：詁 2) i L x — (「i

J j J)x

i m 2

-(Z -z)(- m cY ^(yi--z) i Z

-(y 2- i :z 利用(3), (4), ( 5), (6):

L x {(丫一匹 i m m-:: y)(- m cZ

m

—-—)

:-y m 1

(Y -y)(

m

m 2 m ；Z -) m i

_(Z ? — z)(

m m

E -—)} ：-y -f Z

i m ；Z

c c )-(丫 一 -Z —) ；z .y m 1m 2 (y 「 z

jz

m 2 —(Y m -(Y - 'z

-Z mm

m 2

.L 、

,l~. G C (y z ) :z :丫 (y — :z -z ：)} ：y h d

=— c c -Z ) (y — Y 'z -z^)} -y h - = (—R I R i h _

■ -r J)x i

-2 2

+ .x y

2 , 2

(X y

x 厂厂z :：2，'；

dx _ 2 ______________________________

二2 .x 2

—yLz 「 :x

2x —— & ..x 2 ■ y 2 z 2

3'-'

+ ------------ }

2 2 2

3 2

(X y z ) 同样写出关于y,z 的式子, 相加

得:

1 c 2r -八 2)'

2 2x

1 ：:x {——

2

2y 2z cz 1 2

[2] 证明—[I * 2, r]

1 2 [I 2,r]八 2 （证明）第一式 1 —

(、

2 + 2 .:y __2 _____ ______________________ -七)( ?. X 2 y 2 z 2C ;：z

（宀 丄）

但一(?. x 2 y 2 ? z 2，-：) :：x X'- + V 'X 2

+

2 2 2

x 亠y 亠z

Lz 」" CX ：2

2 ；X' ：2 2 2 … C (X y

"U y 2 z 2

2 (X 2 2 y z)(x jx 2 宀）—x

-y2 - z 2 x 2'--

2 2 2 3

?『2

2 2 2 x y z