数值计算插值法与拟合实验

实验报告三

一、实验目的

通过本实验的学习，各种插值法的效果，如多项式插值法，牛顿插值法，样条插值法，最小二乘法拟合（即拟合插值），了解它们各自的优缺点及插值。

二、实验题目

1、 插值效果比较

实验题目：将区间[]5,5-10等份，对下列函数分别计算插值节点k x 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较：

211)(x x f +=；x x f arctan )(=；4

2

1)(x

x x f +=。 （1） 做拉格朗日插值；

（2） 做三次样条插值。 2、 拟合多项式实验

实验题目：给定数据点如下表所示：

i x -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 i y -4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55

分别对上述数据做三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数()i i y x ,和拟合函数的图形。

三、实验原理

n 阶拉格朗日插值

设已知n x x x ,,,10 及()()()x L n i x f y n i i ,,,1,0 ==为不超过n 次的多项式，且满足

插值条件()().,,1,0n i y x L i i n ==由对()x L 2的构造经验，可设

()()()()(),11000

n n n

i i i n y x l y x l y x l y x l x L +++==∑=

其中，()()n i x L i ,,1,0 =均为n 次多项式且满足()

.,,1,0,,

,0,

,1n j i j i j i x l j i =??

?≠==不难验

证，这样构造出的()x L n 满足插值条件。因此问题归结为求()()n i x l i ,,1,0 =的表达式。因

()i j x i ≠是n 次多项式()x l i 的n 个根，故可设

()()()()()().,0110∏≠=+--=----=n

i

j j j

n i i i x x c

x x x x x x x x c x l

再由

()(),,,1,0,1.,0n i x x c

x l n

i

j j j

i ==-=∏≠=

得

()

.1

,0∏≠=-=

n

i

j j j

x x c

故有

()()().,,0

∏

∑≠==--=

=i

j o j j

i j i n

i i i n x x x x x l y x l x L （4.13）

公式（4.13）称为n 阶拉格朗日插值公式，其中()()n i x l i ,,1,0 =称为n 阶拉格朗日插值的基函数。

三次样条插值原理 第一步：由

11+++=

i i i i h h h λ，i i u λ-=1，1

1

133++--+-=i i

i i i i i i i h y y h y y μλθ，其中，1--=i i i x x h ，计算出i i i θμλ,,等辅助量。/

第二步，用追赶法求解???????

?

?

?---22

22

1

22

2

2

1

n n n λμλμλμ

???????? ??--1221n n m m m m =???????

?

??-----'112

2'

11n n n n y y μθθθλθ 得11,-n m m ；

第三步：判断插值点所在区间；

第四步：用

i i i i i i i i i i i i i i m h x x h m h x x h y h x x y h x x x S ???

?

??-+???? ??-+???? ??-+???? ??-=------1111011110)(ββαα 多项

()()().,,,110m m x x x x x ===???

由于

()(),,,,1

1

∑∑==+==n

i i k i k n

i k

j i

k j

y x f x ???

这样，法方程组为

.11110121

11

1

1

12

111?

????

???

??

??=??????? ???????????

? ??∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====n i i m i n i i i n i i m n

i m i n

i m i

n i m

i n i m i n

i i

n

i i n

i m

i n

i i y x y x y a a a x x

x x x

x x x n

计算插值。

四、实验内容

1、第一个方程 程序

x=-5:0.2:5; y=1./(1+x.*x); plot(x,y,'r'); hold on x1=-5:1:5;

y1=1./(1+x1.*x1); xx=-4.5:0.5:4.5;

yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+')

dy0=10./(1+25)*(1+25);dyn=-10./(1+25)*(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 第二个方程 程序

x=-5:0.2:5; y=atan(x); plot(x,y,'r'); hold on x1=-5:1:5; y1=atan(x1); xx=-4.5:0.5:4.5;

yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+')

dy0=1./(1+25);dyn=1./(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 第三个方程 程序

x=-5:0.2:5;

y=x.*x./(1+x.^4);

plot(x,y,'r');

hold on

x1=-5:1:5;

y1=x1.*x1./(1+x1.^4);

xx=-4.5:0.5:4.5;

yy=malagr(x1,y1,xx);

plot(xx,yy,'+')

dy0=-10.*(1-5.^4)./(1+5.^4).^2;dyn=10.*(1-5.^4)./(1+5.^4).^2;

m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx);

plot(xx,m,'ok')

2、

程序：

x=[-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5]';

y=[-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55]';

plot(x,y,'or');hold on

%三次多项式拟合

p1=mafit(x,y,3);

x1=-1.5:0.2:1.5;

y1=p1(1)*x1.^3+p1(2)*x1.^2+p1(3)*x1+p1(4);

plot(x1,y1,'-')

%五次多项式拟合

p2=mafit(x,y,5);

x1=-1.5:0.2:1.5;

y2=p2(1)*x1.^5+p2(2)*x1.^4+p2(3)*x1.^3+p2(4)*x1.^2+p2(5)*x1+p2(6); plot(x1,y2,'g')

五、实验结果

1、第一个方程

第二个方程

第三个方程

从三个图形中可以看出三次样条插值较准确。2、

六、实验结果分析

1、实验一表明三次样条插值比拉格朗日插值更准确。

2.在试验2中，对于拟合多项式实验表明三次多项式拟合与五次多项式拟合的效果是差不多的。