2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题及答案

2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题及答案

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅰ试题

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．

. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合

A B =

I ．

2.已知复数z 满足34z i i ?=-（i 为虚数单位），则

z =

．

3.双曲线

22

143

x y -=的渐近线方程为 ．

4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．

5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．

6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．

7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为2

8cm ，

则它的体积为 3

cm ．

8.设n

S 是等差数列{}n

a 的前n 项和，若2

42

a

a +=，

241

S S +=，则10

a = ．

9.已知0a >，0b >，且23

ab

a b

+=

，则ab 的最小值

是 ．

10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，

b

，c ，已知tan 3tan A c b

B b

-=

，则cos A = ． 11.已知函数

,1

()4

,1x a e x f x x x x ?-

?

（e 是自然对数的底）.

若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．

12.在ABC ?中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =u u u r

4

CA =u u u r ，

23

ACB π

∠=

，则

CP CA ?=

u u u r u u u r ．

13.已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：2

2(2)

2

x y -+=上有且仅有一个点B 满足

AB BP

⊥，则点P 的横坐标的取值集合

为 ． 14.若二次函数2

()f x ax

bx c =++(0)

a >在区间[1,2]上有两

个不同的零点，则(1)

f a 的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量

(2sin ,1)

a α=r

，

(1,sin())

4

b πα=+r .

（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ?的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.

16.如图，正三棱柱11

1

ABC A B C -的高为6，其底面边

长为2.已知点M ，N 分别是棱1

1

A C ，AC 的中点，点

D

是棱1

CC 上靠近C 的三等分点.

求证：（1）1

//B M 平面1

A BN ；

（2）AD ⊥平面1

A BN .

17.已知椭圆C ：

22

221x y a b

+=(0)a b >>经过点1

(

3,)2

，3(1,

)2

，

点A 是椭圆的下顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过点A 且互相垂直的两直线1

l ，

2

l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1

l 的斜率.

18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为

6

，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，

其中23AQC π

∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记

(0)

2

POB π

θθ∠=<<

.

（1）当3

πθ=时，求OPQ ∠的大小； （2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值. 19.已知函数3

2()f x x ax bx c

=+++，()ln g x x =.

（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的

取值范围；

（2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数.

①求实数a 的值； ②当2c =时，求函数

(),()()()(),()()

f x f x

g x

h x g x f x g x ≥?=?

S 是数列{}n

a 的前n 项和，1

3

a

=，且

123n n S a +=-*()

n N ∈.

（1）求数列{}n

a 的通项公式；

（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j

a λ，6i a ，k

a

μ成等差数列，求正整数λ，μ的值；

（3）设数列{}n

b 前n 项和是n

T ，且满足：对任意的

正整数n ，都有等式12132n

n n a b a b a b --++113n n a b ++???+=33

n --成立.

求满足等式13

n n

T

a

=

的所有正整数n .

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数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A. 选修4-1：几何证明选讲

如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.

（1）求证：2AB BC =； （2）若2AB =，求线段CD 的长. B. 选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵4

00

1A ??

=???

?

，120

5B ??

=???

?

，列向量a X b ??=????

.

（1）求矩阵AB ； （2）若

1

1

51B A X --??

=??

??

，求a ，b 的值.

C. 选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C 经过点(2

2,)4

P π

，圆心为

直线sin()33πρθ-=-C 的极坐标方程.

D. 选修4-5：不等式选讲

已知x ，y 都是正数，

且1xy =，求证：2

2

(1)(1)9x y y x ++++≥. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，

PD

垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不

含端点）上一点.

（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；

（2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQ

PA

的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}

n

A

n =???中，若这n 个

元素的一个排列（1

a ，2

a ，…，n

a ）满足(1,2,,)i

a i i n ≠=???，则称这个排列为集合n

A 的一个错位排列（例如：

对于集合3

{1,2,3}

A

=，排列(2,3,1)是3

A 的一个错位排列；

排列(1,3,2)不是3

A 的一个错位排列）.记集合n

A 的所有错位排列的个数为n

D .

（1）直接写出1

D ，2

D ，3

D ，4

D 的值；

（2）当3n ≥时，试用2

n D -，1

n D -表示n

D ，并说明理由；

（3）试用数学归纳法证明：*

2()n

D

n N ∈为奇数.

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数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题

1. {1}

2. 5

3. 3

2

y x =±

4. 63

5. 3

16

6. 2543 8. 8 9. 2613

11. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53

?????

?

14. [0,1)

二、解答题

15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，

所以2sin()4a b a πα?=

++2sin cos 4παα=+cos sin

4

π

α+

4242552=

+?3232

522

+?=.

（2）因为//a b 2sin()1

4

a π

α+=，即

2α(sin cos

cos sin )144

π

π

αα+=，所以2

sin sin cos 1ααα+=，

则2

sin cos 1sin ααα=-2

cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以

tan 1

α=，

所以锐角4

πα=.

16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱11

1

ABC A B C -中，

1

1

//AA CC 且1

1

AA CC =，则四边形1

1

AAC C 是平行四边形，因为点

M

、N 分别是棱1

1

A C ，AC 的中点，所以1

//MN AA 且

1

MN AA =，

又正三棱柱11

1

ABC A B C -中1

1

//AA BB 且1

1

AA BB =，所以1

//MN BB

且1

MN BB =，所以四边形1

MNBB 是平行四边形，所以

1//B M BN

，又1

B M ?平面1

A BN ，BN ?平面1

A BN ，

所以1

//B M 平面1

A BN ；

（2）正三棱柱11

1

ABC A B C -中，1

AA ⊥平面ABC ，

BN ?

平面ABC ，所以1

BN AA ⊥，

正ABC ?中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1

AA 、AC ?平面1

1

AAC C ，1

AA AC A

=I

，

所以BN ⊥平面1

1

AAC C ，又AD ?平面1

1

AAC C ， 所以AD BN ⊥，

由题意，1

6AA =2AC =，1AN =，6

3

CD =

，所以

132

AA AN

AC CD ==

又1

2

A AN ACD π∠=∠=，所以1

A AN ?与ACD ?相似，则1AA N CAD

∠=∠，

所以1

ANA CAD ∠+∠1

1

2ANA AA N π=∠+∠=， 则1

AD A N ⊥，又1BN A N N

=I

，BN ，1

A N ?平面1

A BN ，

所以AD ⊥平面1

A BN . 17.解：（1）由题意得

22

22

3

1141314a b a b ?+=???

?+=??，解得22

11

411a b ?=???

?=??，

所以椭圆C 的标准方程为

2

214

x y +=；

（2）由题意知(0,1)A -，直线1

l ，2

l 的斜率存在且不

为零，

设直线1

l ：1

1y k x =-，与直线y x =联立方程有

11y k x y x

=-??

=?，

得1

1

11(,)11E k k --，

设直线2

l ：1

11y x k =--，同理11

11

(

,)1111F k k ----，

因为OE OF =，所以1

1

11|||

|111k k =---，

①1

1

11111k k =

---，1

1

10k k +=无实数解；

②1

1

11111k k =

---，1

112k k -=，2

1

1210

k

k --=，解得1

12

k

=

综上可得，直线1

l 的斜率为1218.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ?中，3OA =，

AQO AQC π∠=-∠233

ππ

π=-

=，

所以3OQ =OPQ ?中，3OP =，2POQ πθ∠=-236

πππ

=-=， 由正弦定理得sin sin OQ OP

OPQ OQP

=∠∠， 即33sin sin()

6

π

απα=--3sin()6παπα=--5sin()

6

π

α=-，

53sin

cos 6παα=5cos sin 6

π

α-13cos 22αα=+

，所以

3cos αα

=，

因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以3

tan 3

α=

，得6

πα=； （2）设OPQ α∠=，在OPQ ?中，3OP =，2POQ πθ∠=-236

πππ

=-=， 由正弦定理得sin sin OQ OP

OPQ OQP

=∠∠，即33

sin(())

2

ππαθ=

---，

所以

3sin(())2παπαθ=---sin(())2

π

αθ=--cos()

αθ=-

cos cos sin sin αθαθ

=+，

从而3sin )sin θαcos cos αθ

=3sin 0

θ≠，cos 0α≠，

所以tan 3sin αθ

=-，

记()3sin f θθ

=

-，2

13sin '()(3sin )f θθθ-=

-(0,)2

πθ∈； 令'()0f θ=，3sin 3

θ=

，存在唯一0(0,

)2

π

θ

∈使得0

3sin 3

θ

=

，

当0

(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0

(,)2

πθθ∈时'()0f θ<，()

f θ单调减，

所以当0

θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大， 又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时3

sin 3θ=. 答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为

33

.

19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，

2

b =-，3

()2f x x

x c

=-+，

∵()()f x g x ≥恒成立，∴3

2ln x

x c x

-+≥恒成立，即

3ln 2c x x x

≥-+.

令3

()ln 2x x x

x

?=-+，则

2

1'()32x x x

?=-+3123x x x +-=

2(1)(133)x x x x -++=，

令'()0x ?≥，得1x ≤，∴()x ?在(0,1]上单调递增， 令'()0x ?≤，得1x ≥，∴()x ?在[1,)+∞上单调递减，

∴当1x =时，max

[()](1)1

x ??==.

∴1c ≥.

（2）①当3b =-时，3

2()3f x x ax x c

=+-+，2

'()323

f x x

ax =+-.

由题意，2

'()3230

f x x

ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立，

∴'(1)3230'(1)3230

f a f a =+-≤??

-=--≤?

，∴0a =，即实数a 的值为0. ②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞. 当0a =，3b =-，2c =时，3

()32

f x x

x =-+.

2'()33

f x x =-，令2

'()330

f x x

=-=，得1x =.

x

(0,1)

1

(1,)

+∞

'()

f x - 0

+ ()

f x

]

极小值0

Z

∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，

()0

f x >.

对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >.

∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >.

故函数()y h x =的值域为[0,)+∞. 20.解：（1）由123n

n S a +=-*()

n N ∈得1

223

n n S

a ++=-，两式作

差得1

212n n n a

a a +++=-，即2

13n n a

a ++=*()

n N ∈. 13

a =，2

1239

a

S =+=，所以1

3n n a

a +=*()

n N ∈，0

n

a

≠，则

1

3n n

a a +=*()n N ∈，所以数列{}n

a 是首项为3公比为3的等

比数列， 所以3n n

a

=*()

n N ∈；

（2）由题意26j

k i

a a a λ?+=?，即33263j

k i

λμ+=??，

所以3312

j i

k i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，

所以3

33

j i

λλ-≥≥，3

99

k i

μμ-≥≥，

123312

j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；

（3）由12132n

n n a b

a b a b --++113n n a b ++???+=33

n --得， 11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++???++233(1)3

n n +=-+-，

111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+???++233(1)3n n +=-+-，

1113(333)n n a b n +++--233(1)3

n n +=-+-，

所以21

333(1)n n b n ++=-+133(333)

n n +----，即1

363

n b

n +=+，

所以1

21n b n +=+*()

n N ∈，

又因为11

11

3

3133

a b +=-?-=，得1

1b =，所以21n

b

n =-*()

n N ∈， 从而

135(21)n T n =+++???+-2121

2

n n n +-==*()

n N ∈，

2

*()3

n n n T n n N a =∈，

当1n =时11

13T

a

=

；当2n =时22

49T

a

=

；当3n =时33

13

T

a

=

；

下面证明：对任意正整数3n >都有1

3

n n

T

a

<

，

11n n n n T T a a ++-1

21(1)3n n +??

=+ ???

1

2

1133n n n +????-= ? ?

????

1

2

2

1((1)3)3n n n +??

+-= ?

??

2(221)

n n -++，

当3n ≥时，2

2221(1)n

n n -++=-(2)0

n n +-<，即11

0n n

n n

T

T a

a ++-

<，

所以当3n ≥时，n n

T a

递减，所以对任意正整数

3n >都有3313

n n

T

T a

a <

=；

综上可得，满足等式13

n n

T

a

=

的正整数n 的值为1和3.

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅱ（附加题）参考答案

21.【选做题】

A. 选修4-1：几何证明选讲

证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=o

，2AB OB =.

因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o

，

又因为DA DC =，所以A C ∠=∠， 于是ADB CDO ???，得到AB CO =， 所以AO BC =，从而2AB BC =.

（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2

133

CD

CB CA =?=?=，所以3CD =B. 选修4-2：矩阵与变换

解：（1）4012480

10505AB ??????

==???????

?????

；

（2）由1

151B

A X --??

=??

??

，解得51X AB ??=????

4

85280

515??????

==????????????

，又因

为a X b ??

=????

，所以28a =，5b =.

C. 选修4-4：坐标系与参数方程 解：在sin()33πρθ-=-0θ=，得2ρ=， 所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0). 因为圆C 的半径PC 22(22)22222cos

2

4

π

=

+-???=，

于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=. D. 选修4-5：不等式选讲 证明：因为x ，y 都是正数， 所以2

23130

x y

xy ++≥>，2

23130

y x

yx ++≥>，

22(1)(1)9x y y x xy

++++≥，又因为1xy =，

所以2

2

(1)(1)9x y y x ++++≥.

【必做题】

22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，

(2,0,0)

A t ，(2,,0)

B t t ，(0,,0)

C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ；

所以

(,,)

CQ t t t =-u u u r

，

(2,,0)

DB t t =u u u r

，(0,0,2)

DP t =u u u r

，

设平面PBD 的法向量

1(,,)n x y z =u r ，则

110

DB n DP n ??=???=??u u u r u r u u u

r u r ，

即2020tx ty tz +=??=?

，解得200

x y z +=??

=?

，所以平面PBD 的一个法

向量

1(1,2,0)

n =-u r

，

111cos ,n CQ n CQ n CQ

?<>=u r u u u r

u r u u u r u r u u u r 53t =

?15=，

则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为15

5

.

（2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)

n =-u r

，

设

(01)PQ

PA

λλ=<<，则

PQ PA

λ=u u u r u u u r ，

DQ DP PQ =+u u u r u u u r u u u r (0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，

(2,,0)

DB t t =u u u r ，设

平面

QBD 的法向量2(,,)n x y z =u u r ，则

220

DQ n DB n ??=???=??u u u r u u r u u u

r u u r ，即

22(1)0

20

t x t z tx ty λλ+-=??

+=?，解得

(1)0

20

x z x y λλ+-=??

+=?，所以平面QBD 的一

个法向量2(1,22,)

n λλλ=---u u r

，

由题意得

21221()cos ,3n n -=<>u r u u r 12

12

n n n n ?=u r u u r

u r u u r 2

2

2

5(1)

5(1)(22)()

λλλλ-=

-+-+-，

所以

2

255(1)96105

λλλ-=

-+，即2(2)()03

λλ--=， 因为01λ<<，所以23λ=，则2

3

PQ PA =. 23. 解：（1）1

0D =，2

1

D

=，

32D =， 49

D =，

（2）12(1)()

n

n n D

n D D --=-+，

理由如下：

对n

A 的元素的一个错位排列（1

a ，2

a ，…，n

a ），

若1

(1)a k k =≠，分以下两类：

若1

k

a

=，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2

n D -个；

若1

k

a

≠，这种错位排列就是将1，2，

…，1k -，1k +，…，n

排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于

1

n -个元素的错位排列，共有1

n D -个；

根据k 的不同的取值，由加法原理得到

12(1)()

n n n D n D D --=-+；

（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，n

D 均为自然数；

当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而

12(1)()

n n n D n D D --=-+为偶数，

又1

0D =也是偶数，

故对任意正奇数n ，有n

D 均为偶数.

下面用数学归纳法证明2n

D （其中*

n N ∈）为奇数.

当1n =时，2

1

D =为奇数；

假设当n k =时，结论成立，即2k

D 是奇数，则当1

n k =+时，2(1)

212(21)()

k k k D

k D D ++=++，注意到21

k D +为偶数，又2k

D 是

奇数，所以21

2k k

D

D ++为奇数，又21k +为奇数，所以

2(1)212(21)()

k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立；

根据前面所述，对任意*

n N ∈，都有2n

D 为奇数.