初中数学八上《整式的乘法及因式分解》知识点及经典题型
初中数学八上《整式的乘法及因式分解》知识点及经典题型
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
整式的乘法及因式分解知识点
1．幂的运算性质：
a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
例：(－2a )2(－3a 2)3 2．＝ a mn （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．
例： (－a 5)5
3．
（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积． 4．＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
5．零指数幂的概念：a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．
6．负指数幂的概念：
a －p ＝ （a ≠0，p 是正整数）
任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数．
也可表示为：（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）
7．单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
8．单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
9．多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
10、因式分解中常用的公式，例如：
（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2
=(a+b)(a-b)；
()
n
m a ()n
n n b a ab =n
m a a ÷p
a 1p
p
n m m n ?
?? ??=?
?
? ??-
(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2
；
(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2
)；
(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2
)． 下面再补充两个常用的公式：
(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
；
(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2
-ab-bc-ca)；
11、凡是能用十字相乘法分解因式的二次三项式ax 2+bx+c ，都要求
>0而且是一个完全平方数。（a 、b 、c 是常数）
整式的乘法及因式分解相关题型：
一、 有关幂的典型题型：
公式的直接应用：（1）2
2253)(63
1ac c b a b a -?? （2）423
3)2()21(n m n m -?-
1、若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为
2、如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是
3、已知102m =，103n =，则3210m n +=____________．
练习题：若._____34,992213=-=??++-m m y x y x y x n n m m 则
如果
，
，则
______________．
4、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x
5、若142-=y x ，1327+=x y ，则y x -等于（ ）
（A ）－5 （B ）－3 （C ）－1 （D ）1
6、计算:2003
2）（-·200221）（等于( )．
(A)－2 (B)2 (C)－
21 (D)2
1 7、计算：1003
1002)16
1()16(-
?-＝ ． 8、已知,2,2
1
==
mn a 求n m a a )(2?的值 练习题：（2）若的求n n n x x x 22232)(4)3(,2---=值
（3）若0352=-+y x ，求y x 324?的值．
24b ac ?=-
9、若142-=y x ，1327+=x y ，则y x -等于（ ）
（A ）－5 （B ）－3 （C ）－1 （D ）1 10．如果552=a ，443=b ，334=c ，那么（ ）
（A ）a ＞b ＞c （B ）b ＞c ＞a （C ）c ＞a ＞b （D ）c ＞b ＞a
练习题：如果a=223，b=412,c=87
,比较a 、b 、c 的大小
乘法法则相关题目：
法则应用：)3
1
1(3)()2(2x xy y x -?+-?-； （2）)12(4)392(32--+-a a a a a
（3）))(2(y x y x -+ （4）(－4x 2＋6x －8)·(－1
2
x 2)
（5）（2x 2y ）3·（-7xy 2）÷14x 4y 3 （6）3
223
2512152??
?
??-÷??? ????
??
??xy y x y x （7）2
2221524125???
??-???? ??-÷??? ??-+n n n n b a b a b a
（8）()()[]()()[]
2
3
4
5
64y x x y y x y x +?-÷+-；（9）
()()[]()()[]2
3
5
6
16b a b a b a b a -+÷-+
1、 (－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝
2、在(ax 2＋bx －3)(x 2－1
2
x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝
，b ＝ 3、一个长方形的长是10cm ，宽比长少6cm ，则它的面积是 ，若将长
方形的长和都扩大了2cm ，则面积增大了 。 4、若 (ax 3m y 12)÷(3x 3y 2n )=4x 6y 8 , 则 a = , m = ,= ; 5．先化简，再求值：（每小题5分，共10分）
（1）x （x -1）+2x （x +1）－（3x -1）（2x -5），其中x =2． （2）342)()(m m m -?-?-，其中m =2-
（3），其中．
6、已知：3
2
a b +=
，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 7、在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43）的解． 乘法公式相关题目:
3、222____9(_____)x y x ++=+；2235(7)x x x +-=+（______________）
22()()()2a b a b a b a +-++-1
33
a b ==-，⊕22a b a b ⊕=-⊕⊕24x =
4、已知15x x +=，那么331x x +=_______；2
1x x ?
?- ??
?=_______。
5、若22916x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是__________。
A y x y x y x ?-=+--)(22，则A =_____________________
6、证明x 2+4x+3的值是一个非负数
练习题：a 2-6a+10的值是一个非负数。
7、当代数式x 2+4x+8的值为7时,求代数式3x 2+12x-5的值.
因式分解：
基础题：（1）2220.25a b c -（2）29()6()1a b b a -+-+
（3）42222244a x a x y x y -+ （4）22()12()36x y x y z z +-++
2、分解因式：
. 3. （2011广东广州市，19，10分）分解因式8(x 2－2y 2)－x(7x ＋y)＋xy ．
4. (2011 浙江湖州，18，6)8因式分解：
5、分解因式：
6、分解因式：
练习题：分解因式：（1）、（2） （3）
7、分解因式（1）
解：原式==
设，则
∴原式== ==
== = （2）
解：原式==
设，则
∴原式==
==
2
168()()x y x y --+-=3
9a a -2222c b ab a -+-652++x x 672+-x x 101132+-x x 221288b ab a --262234+---x x x x )1162(222x x x x x +---[]6)1
()1(2222-+-+x x x
x x t x x =+121
222-=+t x x [
]6)222
2---t t x （
()10222--t t x ()()2522+-t t x ??
?
??++??? ??-+215222x x x x x ??
?
??++??? ??-+21··522·x x x x x x ()()1225222+++-x x x x )2)(12()1(2--+x x x 144234+++-x x x x 22241
(41)x x x x x -+++??????+??? ??--??? ?
?+1141222x x x x x y x x =-121
222+=+y x
x 22(43)x y y -+2(1)(3)x y y --)31
)(11(2----x
x x x x ()()13122----x x x x
例15、分解因式（1）
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式= 原式=
= =
= = = =
= =
（2）
解：原式=
= = =
4323+-x x 33123+-+x x 444323++--x x x x )1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x )44()43(2++--x x x x )331)(1(2+-+-+x x x x )1(4)4)(1(++-+x x x x )44)(1(2+-+x x x )44)(1(2+-+x x x 2)2)(1(-+x x 2)2)(1(-+x x 3369-++x x x )1()1()1(369-+-+-x x x )1()1)(1()1)(1(333363-++-+++-x x x x x x )111)(1(3363+++++-x x x x )32)(1)(1(362++++-x x x x x