2020年高考理科数学推理与证明经典题型归纳与典型例题讲解及答案解析
2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
全国名校高三数学经典压轴题100例(人教版附详解)
好题速递1 1．已知P 是ABC ?内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ． 解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u r u u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y +=++,知点Q 在线段 BC 上．从而1AP x y AQ +=>?? +高三数学立体几何经典例题
高三数学立体几何经 典例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
厦门一中 立体几何专题 一、选择题(10×5′=50′) 1.如图,设O 是正三棱锥P-ABC 底面三角形ABC 的中心， 过O 的动平面与P-ABC 的三条侧棱或其延长线的交点分别记 为Q 、R 、S ，则 PS PR PQ 1 11+ + ( ) A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等 D.是一个与平面QRS 位置无关的常量 2.在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 ( ) A.??? ??ππ-,1n n B.??? ??ππ-,2n n C.??? ??π2,0 D.? ? ? ??π-π-n n n n 1,2 3.正三棱锥P-ABC 的底面边长为2a ,点E 、F 、G 、H 分别是PA 、PB 、BC 、AC 的中点，则四边形EFGH 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,+∞) B.???? ??+∞,332a C.??? ? ??+∞,632a D.??? ??+∞,212a 4.已知二面角α-a -β为60°，点A 在此二面角内，且点A 到平面α、β的距离分别是AE =4，AF =2，若B ∈α,C ∈β,则△ABC 的周长的最小值是 ( ) A.43 B.27 C.47 D.23 5.如图，正四面体A-BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上， 使得 FD CF EB AE ==λ(0<λ<+∞),记f (λ)=αλ+βλ,其中αλ表示EF 与AC 所成的角，βλ表示EF 与BD 所成的角，则 ( ) A.f (λ)在(0,+∞)单调增加 B.f (λ)在(0,+∞)单调减少 C.f (λ)在(0,1)单调增加,在(1,+∞)单调减少 D.f (λ)在(0,+∞)为常数 6.直线a ∥平面β,直线a 到平面β的距离为1，则到直线a 的距离与平面β的距离都等于5 4 的点的集合是 ( ) A.一条直线 B.一个平面 C.两条平行直线 D.两个平面 7.正四棱锥底面积为Q ，侧面积为S ，则它的体积为 ( ) A.)(6 122Q S Q - B. )(31 22Q S Q - C. )(2 122Q S Q - D. S Q 3 1 8.已知球O 的半径为R ，A 、B 是球面上任意两点，则弦长|AB |的取值范围为 ( ) 第1题图 第5题图
2015届高三数学—不等式1：基本不等式经典例题+高考真题剖析(解析版)
基本不等式 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数 例： 当 时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 变式：设2 3 0<
高三数学 高考大题专项训练 全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)
1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法
高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2.
高三数学三角函数经典练习题及答案精析
1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ）
A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x =
于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．．
高中数学经典50题(附问题详解)
高中数学题库 1. 求下列函数的值域： 解法2 令t ＝sin x ，则f (t )＝－t 2 ＋t ＋1，∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离 地球相距m 万千米和 m 3 4 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3 2 π π 和 ，求该慧星与地球的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为1 22 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为 3 π 时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/ ππ=∠=∠xFA xFA 或。作m FA FB Ox AB 3 221B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得???????+-=-=)32(3 4)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,323 1c c c m c a m a c m =-==∴?= 代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。 3. A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6Km ，C 在B 正北偏西ο 30，相距4Km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 距P 地远，因此4s 后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1s Km /，A 若炮击P 地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2） 解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则 )32,5(),0,3(),0,3(--C A B ，因为PC PB =，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上。 因为3-=BC k ，BC 中点)3,4(-D ，所以直线PD 的方程为)4(3 13+= -x y （1） 又,4=-PA PB 故P 在以A ，B 为焦点的双曲线右支上。设),(y x P ，则双曲线方程为 )0(15 42 2≥=-x y x （2）。联立（1）（2），得35,8==y x ， 所以).35,8(P 因此33 83 5=-= PA k ，故炮击的方位角北偏东?30。 说明：本题的关键是确定P 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。 4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2
高三数学数列总复习例题讲解
数列专题复习 一、等差数列的有关概念： 1、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为 等差数列。 2、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。 如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答： 8 33 d <≤） 3、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S += ，1(1) 2 n n n S na d -=+ 。 如（1）数列 {}n a 中，* 11(2,)2 n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-， 则1a ＝ ＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）； （2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答： 2* 2* 12(6,)1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 4、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2 a b A += 。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及 n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个， 即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…， 2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 5、等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
高一高二高三数学经典错题大合集
高一高二高三数学经典错题大合集：解三角形常见的八种失分需谨慎高中数学提分容易么，说老实话，有时候很容易，有时候很难！其实有点智商方面的关系！但最重要的还是方法！当然首当其冲的是兴趣！每个同学都有自己对应的病灶，找准，抓住，杀掉，成绩自然上来。而错题集是学生进行提高自我成绩的一个非常好的途径！然而很多学生弄了，也没提高多少，主要是没找对方法！错题本重点是总结！然后分析！下一次再做！再错，再总结！如此循环，这一类题就基本能吃透提高了！当然，错题本还得系统，到位！清北学霸高考必备资料库中，我们的师哥师姐就整理了，将近800 来道的高中数学错题集！我们的错题集不是单纯只是把学生容易错的题拉上来，而是收集了近三年来学生针对这个考点容易失分点，容易错的进行错题集分析！非常的全面而实用！有学生在解三角形的道路上经常错。下面就给大家分析下解三角形的常见的8 种是失分，丢分的！ 现在有个福利告诉同学家长，同学家长可以添加学长微信 2475026381 即可参与清华、北大的小伙伴们发起的助学活动，免费领取我们精心打造《应试攻略》系列课程及《直击高考漏洞》电子书，以我们的经历、成功，告诫大家：考试百分百技术活，想要成为尖子生，先要跳出中等生苦学的思维?? 还有高中九科目提分笔记免费领取 【标题01】不能灵活运用正弦定理进行推理解答
标题02 】在三角形中解三角正弦方程出现错误
标题03】锐角三角形的定义理解错误
标题04】解三角形时出现多解没有注意检验
标题05】忽略了等式的性质在等式两边随便乘除导致漏解
标题06】化简三角方程时忽略了角的范围和正弦函数的图像和性质标题07】求三角函数的范围时忽略了角的取值范围
上海2019届高三数学一轮复习典型题专项训练极限、框图
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 框图、极限 一、极限 1、（2018上海高考）设等比数列{n a }的通项公式为a n =q n-1（n ∈N*），前n 项和为S n 。若n 1S 1lim 2n n a →∞+=，则q=____________ 2、（2017上海高考）在数列{}n a 中，1()2 n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（ ） A. 等于12- B. 等于0 C. 等于12 D. 不存在 3、（2016上海高考）已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件 中，使得() *∈ 《集合》常考题型 题型一、集合元素的意义+互异性 例1.1.设集合 ｛0｝ 例1.2.已知A ＝{2，4，a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{1，a ＋3，a 2－2a ＋2，a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2，5}，则A ∪B =____________________________ 解：∵A∩B ＝{2，5}，∴5∈A. ∴a 3－2a 2－a ＋7＝5解得a ＝±1或a ＝2. ①若a ＝－1，则B ＝{1，2，5，4}，则A∩B ＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去． ②若a ＝1，则B ＝{1，4，1，12}不成立，舍去． ③若a ＝2，则B ＝{1，5，2，25}符合题意．则A ∪B ＝{1，2，4，5，25}． 题型二、空集的特殊性 例2.1.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-，且B A ， 则实数m 的取值范围为_____________ 例2.2.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=，012，{}0≥=x x B ，且φ=B A I ， 求实数a 的取值范围。 解：①当0a =时，{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-，此时{|0}A x x ≥=ΦI ； ②当0a ≠时，{|0}A x x ≥=ΦQ I ，A ∴=Φ或关于x 的方程2 10ax x ++=的根均为负数. （1）当A =Φ时，关于x 的方程210ax x ++=无实数根， 140a ?=-<，所以14a > . （2）当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时， 12121401010a x x a x x a ???=-≥??+=-?? 140a a ?≤?????>?104a <≤. 综上所述，实数a 的取值范围为{0}a a ≥. {}{}2|22,|,12,A x x B y y x x A B =-≤==--≤≤=I 则 1．已知函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2) f ??? ?12＝________. 2．已知f 满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，则f (72)=------------． 一、选择题 1．函数f (x )＝3x 2 1－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( ) A.????－13，＋∞ B.????－1 3，1 C.????－13，13 D.? ???－∞，－13 2．已知f ? ??? ?1－x 1＋x ＝1－x 2 1＋x 2 ，则f (x )的解析式可取为( ) A.x 1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2 C.2x 1＋x 2 D ．－x 1＋x 2 3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( ) 4．设函数f (x )＝????? 1－x 2 ， x ≤1，x 2＋x －2， x >1， 则f ????1 f (2)的值为( ) A.1516 B ．－27 16 C.8 9 D ．18 5．若函数f (x )＝?? ? 1 x ，x ＜0??? ?13x ，x ≥0则不等式|f (x )|≥1 3 的解集为( ) A ．(－3,1) B ．[－1,3] C ．(－1,3] D ．[－3,1] 二、填空题 6．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1的定义域为A,2?A ，则a 的取值范围是____________． 7．如果f [f (x )]＝2x －1，则一次函数f (x )＝_____________. 三、解答题 9．如右图所示， 在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A 点(终点)移动，设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f (x )． (1)求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数关系式； (2)作出函数的图象，并根据图象求y 的最大值． 10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a <0)不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)． (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求实数a 的取值范围． 第三部分 函数的值域与最值 一、选择题 1．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3} D ．{y |0≤y ≤3} 2．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是( ) A ．(－∞，－1] B ．[3，＋∞) C ．[－1,3] D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 3．设f (x )＝??? x 2 ， ||x ≥1 x ， ||x <1 ，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[)0，＋∞，则g (x )的值域是( ) A.(]－∞，－1∪[)1，＋∞ B.(]－∞，－1∪[)0，＋∞ C ．[0，＋∞) D.[)1，＋∞ 4．设函数f (x )＝? ???? －1，x >01，x <0，则(a ＋b )－(a －b )f (a －b ) 2(a ≠b )的值是( ) A ．a B ．b C ．a ，b 中较小的数 D ．a ，b 中较大的数 5．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝________. 6．若f ????12＋x ＋f ????12－x ＝2对任意的非负实数x 成立，则f ????12010＋f ????22010＋f ????32010＋…＋f ????20092010＝________. 7．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝? ??? ? a ，a ≥ b b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________. 8．若函数y ＝f (x )＝1 2 x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2,2b ]，求b 的值． 09级高三数学总复习讲义——逻辑与关联词 一、知识清单： 1．常用逻辑用语 （1）命题 命题：可以判断真假的语句叫命题； 逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。 常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。 （2）复合命题的真值 “非p “p且q “p且q 注： 1°像上面表示命题真假的表叫真值表； 2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q 同为假时为假，其他情况为真； 3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。 （3）四种命题 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题； 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题； 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。 两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。 （4）条件 一般地，如果已知p q，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。 可分为四类： （1）充分不必要条件，即p ?q,而q ?p ； (2)必要不充分条件，即p ?q,而q ?p ； (3)既充分又必要条件，即p ?q ，又有q ?p ； (4)既不充分也不必要条件，即p ?q ，又有q ?p 。 一般地，如果既有p ?q ，又有q ?p ，就记作：p ?q.“?”叫做等价符号。p ?q 表示p ?q 且q ?p 。 这时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。 （5）全称命题与特称命题 这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号?表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号?表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。 课前练习 1写出命题：“若 x + y = 5则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假。 2:“若325≠≠≠+b a b a 或，则” 是____命题.(填真、假) 3命题“若ab =0，则a 、b 中至少有一个为零”的逆否命题为____________。 4：用反证法证明：已知x 、y ∈R ，x +y ≥2，求 证x 、y 中至少有一个不小于1。 5已知.0>c 设P ：函数x c y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的 解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 6:5____52x x x >><或.(填,??,?) 7:条件甲:12x y ≠≠且;条件乙:3x y +≠, 则乙是甲的_____条件. 8“α≠β”是cosα≠cosβ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 9 已知p ：方程x 2+ax +b =0有且仅有整数解，q ：a ，b 是整数，则p 是q 的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 10．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用22?列联表计算得2 3.918K ≈，经查对临界值表 知2( 3.841)0.05P K ≥≈． 对此，四名同学做出了以下的判断： 高三数学经典题目（含答案与解题过程） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．． ） 13.4()x y y x -的展开式中23 x y 的系数为 . 解：() 4 224()x y y x x y x y -=-，只需求4()x y -展开式中的含xy 项的系数： 2 46 C = 14.设等差数列{}m a 的前n 项和为m s .若4 53,5 5s a a s ==则 . 解：{}n a Q 为等差数列，95 53 995S a S a ∴ == 15.设OA 是球O 的半径,M 是OA 的中点,过M 且与OA 成45o 角的平面截球O 的表面得 到圆C.若圆C 的面积等于74 π ,则球O 的表面积等于 . 设球半径为R ，圆C 的半径为r ，22 77.44 4r r ππ==,得由 因为222R OC = =。由2222217 ()84 R r R =+=+得22R =.故球O 的表面积等于8π. 16.已知AC 、BD 为圆22 :4o x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为2)M ，则四边 形ABCD 的面积的最大值为 . 解：设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222 123d d OM ==+. 四边形ABCD 的面积222212121 ||||2(4)8()52 S AB CD d d d d = ?=-≤-+=)(4- 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c 2 3cos()cos ,2 A C B b ac -+= =求B 解：由3 cos()cos 2 A C B -+=，得 ()B A C π=-+ 代入3cos()cos 2A C B -+= 得3cos()cos()2 A C A C --+= 然后利用两角和与差的余弦公式展开得3 sin sin 4 A C =； 必修五：基本不等式 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数 例： 当 时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 变式：设2 3 0< 一、选择题(10 X 5' =50') 1.如图，设O 是正三棱锥 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心, 过O 的动平面与P-ABC 的三条侧棱或其延长线的交点分别记 为 Q R S 则— - —() PQ PR PS A. 有最大值而无最小值 B. 有最小值而无最大值 C. 既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等 D. 是一个与平面QRSi 置无关的常量 2.在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 A . nA , B . 口 n n 3.正三棱锥P-ABC 勺底面边长为 面积的取值范围是 B. C. D. 2 a ,点 E 、 F 、G H 分别是 PA PB A.(0,+ g ) B. C. a 2 D. 4.已知二面角a 若B €a -a - B 为60°,点A 在此二面角内，且点 ,C €B ,则厶ABC 勺周长的最小值是 ( B.2 5.如图，正四面体 A-BCD 中, E 在棱AB 上, F 在棱CD 上, 使得詈(0＜入＜+g ),记f (入)=八心,其中 与AC 所成的角，B 入表示EF 与BD 所成的角，贝U () 入)在(0,+ g )单调增加 入)在(0,+ g )单调减少 入)在(0,1)单调增加,在(1,+ g )单调减少 入)在(0,+ g )为常数 ( ( ( ( n 1 n BC AC 的中点，则四边形 EFG 啲 A 到平面 a 、 a 入表示EF 6.直线a //平面B ,直线a 到平面B 的距离为1,则到直线 合是() A. 一条直线 B. 7.正四棱锥底面积为 一个平面 Q B 的距离分别是 AE=4, AF =2, D 第5题图 a 的距离与平面B 的距离都等 于 彳的点的集 A. ； , Q (S 2 Q 2) C. 1 ■ Q(S 2 2 Q 2) 8. 已知球O 的半径为 A. : 0,2 R ] 9. 已知平面aQ 平面B =l R B.(0,2R 侧面积为 S,则它的体积为 ( ) B. *J Q (S 2 Q 2) D. -Q S 3 A B 是球面上任意两点，则弦长 | AB 的取值范围为 ( ] C. (0,2 R D. [R 2R ] l , m 是平面 a 内的一条直线，则在平面B 内 ( ) 两条平行直线 C. ) D. 两个平面 高三数学专题复习 （幂函数）经典 1．设? ????? --∈3,2,1,21,1,2α，则使幂函数a y x =为奇函数且在(0,)+∞上单调递增的a 值的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．设11,0,,1,2,32a ??∈-????，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．对于幂函数f(x)=45x ，若0＜x 1＜x 2，则12( )2x x f +，12()()2 f x f x +的大小关系是( ) A. 12( )2x x f +＞12()()2f x f x + B. 12()2x x f +＜12()()2 f x f x + C. 12()2x x f +=12()()2 f x f x + D. 无法确定 4．设函数y ＝x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 5．下列说法正确的是( ) A ．幂函数的图像恒过(0,0)点 B ．指数函数的图像恒过(1,0)点 C ．对数函数的图像恒在y 轴右侧 D ．幂函数的图像恒在x 轴上方 6．若0>>n m ，则下列结论正确的是（ ） A. 22m n < B. 22m n < C. n m 22log log > D. 11m n > 7．若函数32)32()(-+=m x m x f 是幂函数，则m 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 8．幂函数y f x =()的图象经过点1 42 (,)，则(2)f （ ） A. 14 B. 12- C. 29．幂函数35m y x -=，其中m N ∈，且在(0,)+∞上是减函数，又()()f x f x -=， 则m =（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 m 曲线和方程（含解析） 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，． （B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，． 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ． 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分． 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性． 典型例题三 例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系．q a （D ）7.08.0,01-<<-
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