黑龙江省大庆实验中学2021届高三综合训练(三)数学(文)试题

黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（三）数学（文）

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．集合{}

13A x x =-<<，{

}

2

60,B x x x x Z =+-<∈，则A B =（ ）

A ．()1,2-

B ．()3,3-

C ．{}0,1

D ．{}0,1,2

2．已知i 是虚数单位，复数61i

z i

=-，则z 的虚部为（ ） A ．3-

B ．3

C ．2-

D ．2

3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．1y x =+

B ．3

y x = C ．2

1y x =-+

D ．12x

y ??= ???

4．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案.如图所示的窗棂图案，是将边长为2R 的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形.若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为( )

A ．1

B ．

2

π

-

C ．2-

D ．

2

π

5．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）

A ．若m α，m β，n α∥，n β∥，则αβ

B ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则α

β

C ．若m n ⊥，m α?，n β?，则αβ⊥

D ．若m n ⊥，m α，n β⊥，则αβ⊥

6．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为1，1，则输出的S 是（ ）

A ．41

B ．17

C ．12

D ．3

7．（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，

648S =，则{}n a 的公差为

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

8．已知向量()1,2AB =，(),4BC x =-，若A ，B ，C 三点共线，则AC BC ?=（ ） A ．10

B ．80

C ．－10

D ．－80

9．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且

()(2)f x g x =+，当02x ≤≤时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为（ ）

A ．1.5

B ．8.5

C ．－0.5

D ．0.5

10．函数()()()sin 0,0,0f x A x A ω?ω?π=+>><<的部分图象如图所示，已知

()()120f x f x +=，且212

x x π

-<

，则()12f x x +=（ ）

A B ．1

C ．

D ．1-

11．已知抛物线28y x =，过点()2,0A 作倾斜角为的直线

3

π

，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为（ ）

A ．

163

B ．83

C ．

3

D ．12．定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ??

∈-????

时，不等式2

3

(2cos )2sin

22x f x +>的解集为( ) A ．4,33

ππ??

???

B ．4,33

ππ

??- ???

C ．0,3π?? ???

D ．,33ππ??

-

???

二、填空题

13．已知x 轴为曲线()()3

4411f x x a x =+-+的切线，则a 的值为________.

14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若283652,62a a a a S ==-，则1a 的值是 ．

15．如图，为测量出高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角060MAN ∠=，C 点的仰角045CAB ∠=以及075MAC ∠=；从C 点测得

060MCA ∠=．已知山高100BC m =，则山高MN =__________m ．

三、双空题

16．如图所示，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB =2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥

P ABC

-的体积为________，其外接球的表面积为________.

四、解答题

17．交通安全法有规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过马路，应当避让.我们将符合这条规定的称为“礼让斑马线”，不符合这条规定的称为“不礼让斑马线”.下表是六安市某十字路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“不礼让斑马线”行为的统计数据：

（1）根据表中所给的5个月的数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

（2）求“不礼让斑马线”的驾驶员人数y关于月份x之间的线性回归方程；

（3）若从4，5月份“不礼让斑马线”的驾驶员中分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的2人分别来自两个月份的概率；

参考公式：线性回归方程y bx a

=+，其中

()()

()

11

22

2

11

n n

i i i i

i i

n n

i i

i i

x x y y x y nx y

b

x x x nx

==

==

---

==

--

∑∑

∑∑

，a y bx

=-，

()()

n

i i

x x y y

r

--

=

∑

.

18．已知()2cos21

4

f x x x

π

??

=?--

?

??

，将()

f x的图像向右平移

8

π

个单位后，

再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 在0,

2π??

????

上的值域及单调递增区间；

（2）若2B g ??

=

?

??

b =，1sin 2C =，求ABC 的面积. 19．如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=?，

1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点.

（1）求证：//AM 平面SCD ； （2）求点B 到平面SCD 的距离.

20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的长轴长为，且离心率为2

.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设椭圆C 的左焦点为F ，点B 是椭圆与y 轴负半轴的交点，经过F 的直线l 与椭

圆交于点,M N ，经过B 且与l 平行的直线与椭圆交于点A ，若MN =，求直

线l 的方程.

21．已知函数()2sin f x x x =-.

（1）当[]0,2x π∈时，求()f x 的最小值；

（2）若[]0,x π∈时，()()1cos f x a x x x ≤--?，求实数a 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα

=??

=?（t 为参数，π

02α<<），曲线1C ：

2cos 4+2sin x y ββ=??

=?

,

（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；

（2）已知直线2l ：()6

R π

θρ=

∈与圆2C

：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，

记AOB ?的面积为1S ，2COC ?的面积为2S ，求

12

21

S S S S +的值. 23．已知函数()12()f x x x m m R =-++∈. （1）若2m =时，解不等式()3f x ≤；

（2）若关于x 的不等式()23f x x ≤-在[0,1]x ∈上有解，求实数m 的取值范围.

参考答案

1．C 【分析】

解B 中的不等式，结合x Z ∈，得到{}2,1,0,1B =--，进而根据交集的定义求解. 【详解】

{}

{}{}260,=32,2,1,0,1B x x x x Z x x x Z =+-<∈-<<∈=--,

又{}

13A x x =-<<, 所以{}0,1A B =,

故选C. 【点睛】

本题考查集合的交集的运算，涉及二次不等式求解，属基础题. 2．A 【分析】

先利用复数的除法和乘法算出z ，再计算z ，从而可得z 的虚部. 【详解】

()()()

()6163133111i i i

z i i i i i i ?+===+=-+--+，

所以33z i =--，其虚部为3-， 故选：A. 【点睛】

本题考查复数的乘法和除法以及共轭复数、复数的虚部等概念，注意复数(),a bi a b R +∈ 的虚部为b ，不是bi . 3．A 【分析】

依次判断函数的奇偶性和单调性得到答案. 【详解】

A. 1y x =+，偶函数，在(0,)+∞上单调递增，满足条件；

B. 3y x =，奇函数，在(0,)+∞上单调递增，排除；

C. 21y x =-+，偶函数，在(0,)+∞上单调递减，排除；

D. 12x

y ??= ???

，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减，排除； 故选：A . 【点睛】

本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 4．B 【分析】

由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的.求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率. 【详解】

连接A B O 、、，得等边三角形OAB ，边长为1，如图所示

则阴影部分的面积为

S 阴影2221

112sin 60(26

2

R R R ππ???

=??-??=- ???

，

故所求概率为

22(2)S R π==阴. 故选：B. 【点睛】

本题考查几何概型，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】

根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果. 【详解】

A 选项，若m α，m β，n α∥，n β∥，则α

β或α与β相交；故A 错；

B 选项，若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβ，

故B 正确；

C 选项，若m n ⊥，m α?，则n α?或n α∥或n 与α相交，又n β?，,αβ是两个不重合的平面，则α

β或α与β相交；故C 错；

D 选项，若m n ⊥，m α，则n α?或n α∥或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβ或α与β相交；故D 错；

故选B 【点睛】

本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型. 6．B 【分析】

执行程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解. 【详解】

由题意，执行程序框图，可知1a =，1b =，4n =；

第1次循环：3S =，1a =，3b =，3n =，不满足判断条件； 第2次循环：7=S ，3a =，7b =，2n =，不满足判断条件； 第3次循环：17S =，7a =，17b =，1n =，满足判断条件， 跳出循环体，输出17S =. 故选：B . 【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中根据程序框图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了计算能力. 7．C 【解析】

设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，

61165

6615482S a d a d ?=+=+=，联立112724,61548a d a d +=??

+=?解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.

8．A 【分析】

根据A ,B ,C 三点共线,得到AB BC ,根据平面向量基本定理即可求得2x =-,得到向量

AC ,即可求得AC BC ?.

【详解】

解：因为A ,B ,C 三点共线, 所以AB

BC ,则24x =-,2x =-,

所以()1,2AC AB BC =+=--, 故2810AC BC ?=+=. 故选：A 【点睛】

本题考查共线向量与平面向量的数量积,考查运算求解能力. 9．D 【分析】

由已知中函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且

()(2)f x g x =+，可得()g x 是以8为周期的周期函数，逐步转化，进而求得(10.5)g 的值.

【详解】

函数()y f x =是R 上的奇函数，

()()f x f x ∴-=-，

又

函数()y g x =是R 上的偶函数，

()()g x g x ∴-=，

又

()(2)f x g x =+，

(4)(2)(2)()()g x f x f x g x g x ∴+=+=---=--=-，

故(8)(4)()g x g x g x +=-+=， 即()g x 是以8为周期的周期函数，

(10.5)(2.5)(1.5)(1.52)0.5g g g ∴==-=--=.

故选：D. 【点睛】

本题考查了函数的奇偶性、周期性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用. 10．D 【分析】

先求出()f x 的解析式，再根据()()120f x f x +=得到12,6

x x k k Z π

π+=-+∈，从而得

到()12f x x +的值. 【详解】

由函数的部分图象可得2A =，311341264

T πππ

=-=， 所以T π=，所以2ω=.

故()()2sin 2f x x ?=+，因为2sin 263f ππ?????=+= ? ?????

， 故

23

2

k π

π

?π+=+

即26

k π

?π=+

，而0?π<<，

故6π=

?，所以()2sin 26f x x π?

?=+ ??

?.

因为()()120f x f x +=，12sin 2+sin 2066x x ππ??

?

?+

+= ? ??

??

?， 整理得到12sin 2sin 266x x πππ?

?

??

+

=++ ? ??

???

， 所以12

sin 2sin 266x x πππ????

+=++ ? ?????

，

所以12222,6

6

x x k k Z π

π

πππ+

++

+=+∈或12222,6

6

x x k k Z π

π

ππ+

=+

++∈，

即12,6

x x k k Z π

π+=-

+∈或12,2

x x k k Z π

π=+

+∈（舍）.

()122sin 22166k f x x πππ??

-?++=- ???

+=，

故选：D. 【点睛】

本题考查三角函数的图象和性质，依据图象求解析式时，要遵循“两看一算”即看周期与振幅，利用对称轴算初相位，另外，已知三角函数值的关系要求自变量的关系时，要利用诱导公式化成同名的三角函数的相等关系，再依据终边的位置关系得到自变量的关系. 11．A 【分析】

由题意可得直线:2BC x y +，联立方程组即可求得BC

中点103M ? ??

，进而可得直

线10:3MP y x ?=-???

，求出点22,03P ??

???后即可得解. 【详解】

由题意可得直线:2BC x y +，设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 中点()00,M x y ，

联立方程组2823y x x y ?=??=

+??

，消去x

得21603y y --=，易得>0?，

∴1102y y y +==

∴001023x y +=，∴

点103M ? ??

， 又 MP BC ⊥，

∴1MP BC k k =-

=， ∴

直线10:3MP y x ?=-???

， 令0y =可得223

x =

即点22,03P ?? ???，

∴线段2216233

AP =

-=. 故选：A. 【点睛】

本题考查了直线与抛物线的综合问题，属于中档题. 12．D 【分析】

构造函数()()11

22

g x f x x =--，可得()g x 在定义域内R 上是增函数，且()10g =，进而根据23(2cos )2sin

022

x f x +->转化成()(2cos )1g x g >，进而可求得答案 【详解】

令11()()22g x f x x =-

-，则1

()'()0'2

g x f x =->， ()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11

(1)(1)022

g f =--=，

1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23

=(2cos )2sin 22

x f x +-，

∴23

(2cos )2sin 022

x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到

2cos 1x >，又

3,22x ππ??∈-????

，可以得到,33x ππ??∴∈- ???

故选D 【点睛】

本题考查利用函数的单调性求取值范围，解题的难点在于如何合理的构造函数，属于中档题 13．

1

4

【分析】

设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，由题意结合导数的几何意义可得

()()

()3002

0044110

12410x a x f x x a ?+-+=??=+-='??，解方程即可得解. 【详解】

由题意()()2

1241f x x a '=+-，设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，

则()()()3

02

0044110

12410

x a x f x x a ?+-+=??=+-='??，解得01214x a ?=????=??

. 故答案为：14

. 【点睛】

本题考查了导数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题. 14．-2 【解析】 试题分析：

22836554542222a a a a a a a a a q =∴=∴=∴=，

(

)5

151

126262212

a S a

-=-∴

=-∴=--

考点：等比数列性质及求和公式 15．150 【解析】

试题分析：在ABC 中，

45,90,100BAC ABC BC ∠=?∠=?=

,

100

sin 45AC ∴=

=?

AMC 中，75,60,

MAC MCA ∠=?∠=?45,AMC ∴∠=?由正弦定理可得

,sin sin AM AC ACM AMC =∠∠

即sin 60AM =?

解得

AM =在Rt AMN 中，sin MN AM MAN =?

∠sin 60=? 150()m =．

故答案为150．

考点：正弦定理的应用． 16

．

2

8π 【分析】

证BC ⊥平面PAB ．利用等体积转化求三棱锥P ABC -的体积；将三棱锥P ABC -补形

为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在Rt OBE 中，计算半径OB 即可. 【详解】

由AB BC ⊥，PB BC ⊥，可知BC ⊥平面PAB ．

1

3

P ABC C ABP PAB V S B V C --?==?∴?

11sin 602322

=

??=

因为BC ⊥平面PAB ，将三棱锥P ABC -补形为如图所示的直三棱柱，则它们的外接球相同．

由直三棱柱性质易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上， 记ABP △的外心为E ，由ABD △为等边三角形，即ABD △为等边三角形，

3AB =，可得1BE =．又12

BC

OE =

=，故在Rt OBE 中，

OB

此即为外接球半径，从而外接球表面积为248S OB ππ=?=．

8π 【点睛】

本题考查了三棱锥体积及外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.

17．（1）详见解析（2）8124y x =-+（3）815

【分析】

（1）按照题中的公式计算，结合||r 越接近1，线性相关关系就越强；

（2）按照题中的公式计算即可；

（3）采用列举法及古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】

（1）依题意3x =，100y =，

5

1

1420i i

i x y

==∑，521

55i i x ==∑，()()5

1

80i i

i x x

y y =--=-∑，

(

)(

)

5

5

22

1

1

7500i i i i x x

y y

==--=∑∑，计算()()

0.921n

i

i

x x y y r --=

=

≈-∑， 具有很强的线性相关关系.

（2）12

21

142053100

85559

n

i i

i n

i i x y nx y

b x nx

==-??=

=----?=

∑∑，()10083124a y bx =-=--?=，

所以y 关于月份x 之间的线性回归方程为8124y x =-+.

（3）从4月份选取的4人分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，从5月份选取的2人分别记为1B ，

2B .从这6人中任意抽取2人进行交规调查包含的基本事件有{}12,a a ，{}13,a a ，

{}14,a a ，{}11,a B ，{}12,a B ，{}23,a a ，{}24,a a ，{}21,a B ，{}22,a B ，{}34,a a ，

{}31,a B ，{}32,a B ，{}41,a B ，{}42,a B ，{}12,B B ，共15个，其中“抽取的2人分别来

自两个月份”包含的基本事件为{}11,a B ，{}12,a B ，{}21,a B ，{}22,a B ，{}31,a B ，

{}32

,a B ，{}41,a B ，{}42,a B ，共8个，故所求概率为

815

. 【点睛】

本题考查线性回归方程的应用以及古典概型的概率计算，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.

18．（1）值域为

?-?，单调递增区间为30,8π??

????

；（21. 【分析】

（1）利用降幂公式和辅助角公式可得()44f x x π?

?=

+ ???

，结合图象变换可得()g x 的

解析式，再利用正弦函数的性质可求()g x 在0,

2π??

????

上的值域及单调递增区间.

（2）先求出B ，C ，从而可求A ，再根据正弦定理求出2c =，最后根据面积公式可求ABC 的面积. 【详解】

解：（1）()()2cos2sin 2cos21f x x x x =+-

2sin 42cos 21sin 4cos 444x x x x x π?

?=+-=+=+ ??

?，

则()f x 的图象向右平移

8

π

个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍， 故可得(

)24g x x π?

?=- ??

?，

由0,2x π??∈????，则32,444x πππ??-∈-????

，则sin 2,142x π???

?-∈-?? ?????

， 则()g x

的值域为?-?.

令2222

4

2

k x k π

π

π

ππ-

+≤-

≤

+，k Z ∈，

则38

8k x k π

πππ-

+≤≤

+，由0,2x π??∈????

，则单调递增区间为30,8π??

????. （2

）因为2B g ??=

???sin 14B π??-= ?

?

?，因为()0,B π∈，故可得34B π=. 由1sin 2C =

，0,4C π??

∈ ???

求得6C π=， 故可得12

A B C π

π=--=

.

由正弦定理得sin sin b c

B C

=

122

c

=

，解得2c =. 又(

)sin cos cos sin 1sin sin 222A B C B C B C =+=+=

=

故ABC 的面积112122sin 4

b A S

c ==??=. 【点睛】 形如()2

2sin

sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角

公式将其化为()()sin 2f x A x B ω?''=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等，另外三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理.另外，如果知道两个角的三角函数值，则必定可以求第三角的三角函数值.

19．（1）证明见详解；（2）3

【分析】

（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，可证明得到四边形AMND 为平行四边形，进而证得//AM 平面SCD ；

（2）先证明AM ⊥平面SBC ，进而得到平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离. 【详解】

证明：（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，

M 为SB 的中点，

//MN BC ∴且1

2

MN BC =

， 90ABC BAD ∠=∠=?，1AD =，2BC =， //AD BC ∴且1

2

AD BC =

， //AD MN ∴且AD MN =，

∴四边形AMND 为平行四边形，

//AM DN ∴，

AM ?平面SCD ，DN ?平面SCD ，

//AM ∴平面SCD ；

（2）

1AB SA ==，M 为SB 的中点，

AM SB ∴⊥，

SA ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ， SA BC ∴⊥，

90ABC BAD ∠=∠=?，

BC AB ∴⊥，又SA AB A ?=， BC ∴⊥平面SAB ， BC AM ⊥∴，

AM ∴⊥平面SBC ，

由（1）可知//AM DN ，

DN ⊥∴平面SBC ，

DN ?平面SCD ， ∴平面SCD ⊥平面SBC ，

作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ， 在直角三角形SBC 中，有

11

22

SB BC SC BE ?=?，

3SB BC BE SC ?∴=

==

，

即点B 到平面SCD

【点睛】

本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，转化思想，等面积法，属于中档题.

20．（1）2212x y +=；（2）y x =+

y x =-【分析】

（1）求出,,a b c 后可得椭圆的标准方程.

（2）设直线l 的方程为()1y k x =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()33,A x y ,联立直线l 的方程与椭圆方程，消去y 后利用韦达定理可求MN 的长度（用k 表示），同理可求AB 的长度（用k 表示）

，结合MN AB =可得关于k 的方程，解方程后可得所求的直线方程.

【详解】

（1

）因为长轴长为

a =

又离心率为2

，故1c =，所以1b =，故椭圆方程为：2212x y +=.

（2

）因为MN AB =

>，所以MN 与x 轴不垂直，

设直线l 的方程为()1y k x =+，()11,M x y ，()22,N x y ，

由()22

121x y y k x ?+=???=+?

，得222212102k x k x k ??+++-= ???，

则2122421k x x k +=-+，212222

21

k x x k -=+，

12x x ∴-=

=

依题意，直线AB 的方程为1y kx =-，代入2212

x y +=中，得()

22

2140k x kx +-=，

设()33,A x y ，又()0,1B -，可得32

421k x k =

+，

则30AB =-=，

由MN =

=

，

k =，则3

k =±

， 直线l 的方程为)13

y x =±

+

即33

y x =+

或33y x =--.