八年级下册数学期末压轴题专辑(含解析-Word版)
八年级下册数学期末压轴题专辑（含解析）
1.如图，ON 为∠AOB 中的一条射线，点 P 在边 OA 上，PH⊥OB 于 H，交 ON 于点 Q，PM∥OB 交 ON 于点 M, MD⊥OB 于点 D，QR∥OB 交 MD 于点 R，连结 PR 交 QM 于点 S。（1）求证：四边形 PQRM 为矩形；
（2）若 OP= 1 PR，试探究∠AOB 与∠BON 的数量关系，并说明理由。 2
（1）证明：∵PH⊥OB，MD⊥OB，∴PH∥MD， ∵PM∥OB，QR∥OB，∴PM∥QR，∴四边形 PQRM 是平行四边形， ∵PH⊥OB，∴∠PHO=90°， ∵PM∥OB，∴∠MPQ=∠PHO=90°，∴四边形 PQRM 为矩形； （2）∠AOB=3∠BON．理由如下：
∵四边形 PQRM 为矩形，∴PS=SR=SQ= 1 PR，∴∠SQR=∠SRQ， 2
又∵OP= 1 PR，∴OP=PS，∴∠POS=∠PSO， 2
∵QR∥OB，∴∠SQR=∠BON， 在△SQR 中，∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠SQR=2∠BON，∴∠POS=2∠BON， ∴∠AOB=∠POS+∠BON=2∠BON+∠BON=3∠BON，即∠AOB=3∠BON．
2.如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系内（O 为坐标原点），点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，点 B 的坐
标分别为（-2,2 3 ） ，点 E 是 BC 的中点，点 H 在 OA 上，且 AH= 1 ，过点 H 且平行于 y 轴的 HG 与 EB 2
交于点 G，现将矩形折叠，使顶点 C 落在 HG 上，并与 HG 上的点 D 重合，折痕为 EF，点 F 为折痕与 y 轴 的交点。 （1）求∠CEF 的度数和点 D 的坐标； （2）求折痕 EF 所在直线的函数表达式； （3）若点 P 在直线 EF 上，当△PFD 为等腰三角形时，试问满足条件的点 P 有几个？请求出点 P 的坐标， 并写出解答过程。（本题部分过程用了三角函数，可以用初二知识点沟通）
（备用图）
解 ： （ 1 ） ∵ E 是 BC 的 中 点 ， ∴ EC=EB=
=1 ．
∵ △ FCE 与 △ FDE 关 于 直 线 EF 对 称 ， ∴ △ FCE ≌ △ FDE ，
∴
ED=EC=1
，
∠
FCE=
∠
FDE=90
°
，
DF=CF
．
∵
AH=
1
，
∴
EG=EB-AH=1-
1
=
1
．
2
2
2
∵ cos ∠ GED=
= 1 ， ∴ ∠ GED=60 ° ． ∴ ∠ DEC=180 ° -60 ° =120 ° ． 2
∵
∠
DEF=
∠
CEF
∴
∠
CEF=
=60
°
．
在 Rt △ GED 中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： DG2=ED2-EG2=1-
=
∴ DG=
DH=AB-DG=2
-
=
OH=OA-AH=2- 1 = 2
故 D（- ，
）
- 1 - / 12
（ 2 ） ∵ ∠ CEF ═ 60 ° ∴ CF=ECtan60 ° =
∴ OF=OC-CF=2
-
=
∴F（0，
） ， E （ -1 ， 2
）
设 EF 所 在 直 线 的 函 数 表 达 式 为 y=kx+b ， 由 图 象 ， 得
，
解
得
：
故 EF 所在直线的函数表达式为：y=- x+ ；
（ 3 ） ∵ DF=CF= 点 P 在 直 线 EF 上 ， ∴ 当 △ PFD 为 等 腰 三 角 形 时 ， 有 以 下 三 种 情 况 ：
（ a ） P1F=DF=
，
可 令 P1 （ t ， -
t+
） ， 则 ： P1F2=3
∴ 由 两 点 间 的 距 离 公 式 为 ： （ t-0 ） 2+ （ -
t+
-
） 2=3 ∴ t2+3t2=3 ∴ t2=
，
∴ t1=-
， t2=
∴ P1 （ -
，
+
） ； P3 （
，- + ）
（ b ） PD=DF= 时 ， 仍 令 P （ t ， - t+ ） ， 注 意 D （ - ，
） ， 则 ： PD2=3
∴ （ t+ ） 2+ （ - t+ -
） 2=3 ∴ t2+3t+ +3t2+3t+ =3 ∴ 4t2+6t=0∴ t1=0， t2=-
∵ t1=0 对 应 F 点 ， 此 时 不 构 成 三 角 形 ， 故 舍 去 ． ∴ P4 （ -
，
）
（ c ） 当 PD=PF 仍 令 P （ t ， - t+ ） ， 注 意 D （ - ，
），F（0， ），则：
PD2=PF2 ∴ （ t+
） 2+ （ -
t+
-
） 2= （ t-0 ） 2+ （ -
t+
-
∴ t2+3t+
+3t2+3t+
=t2+3t2 ∴ 6t+3=0 ∴ t=- 1 ∴ P4 （ - 1 ，
2
2
）2， ）．
故满足条件的点 P 有 4 个．分别是：（
（
）．
）、（
）、（
y
y1
1
B
P A
C O
y2
x
y
3.如图,在平面直角坐标系
xOy
中,已知直线
y1=-
2 3
x+2
与
x
轴、y
轴分别交于点
A
和点
B,直线
y 2 =kx+b（k≠0） 经过点 C(1,0)且与线段 AB 交于点 P,并把△ABO 分成两部分.
(1)求△ABO 的面积. (2)若△ABO 被直线 CP 分成的两部分的面积相等,求点 P 的坐标及直线 CP 的函数表达式.
- 2 - / 12
解：(1)在直线
令
，得
中，令
，得
． ∴A(3，0)．
、∴
．
(2)
．
∵点 P 在第一象限，∴
． ∴B(0，2)． ．
解得
．
而点 P 又在直线 上，∴
．解得
．∴P( )． 将点 C(1，
0)、P( )，代入 ∴直线 CP 的函数表达式为
中，有
．∴
．
4.如图①,在 Rt△ABC 中,已知∠A=90o,AB=AC,G、F 分别是 AB、AC 上两点，且 GF∥BC，AF=2，BG=4. (1)求梯形 BCFG 的面积. (2)有一梯形 DEFG 与梯形 BCFG 重合,固定△ABC,将梯形 DEFG 向右运动,直到点 D 与点 C 重合为止, 如图②.
①若某时段运动后形成的四边形 BDG / G 中,DG⊥BG / ,求运动路程 BD 的长,并求此时 G / B 2 的值.
②设运动中 BD 的长度为 x,试用含 x 的代数式表示出梯形 DEFG 与 Rt△ABC 重合部分的面积.
A
G
F
A
G G F F
B(D) 图①
C(E) BD
图②
CE
备用图
解
：
（
1
）
在
Rt
△
ABC
中
，
∵
AB=AC
，
∴
∠
ABC=
∠
ACB=45
°
．
又
∵
GF
∥
BC
，
∴
∠
AGF=
∠
AFG=45
°
．
∴
AG=AF=2
，
AB=AC=6
．
∴S
梯
形
GBCF=S
△
ABC-S
△
AGF=
．
（ 2 ） ① ∵ 在 运 动 过 程 中 有 DG ′ ∥ BG 且 DG ′ =BG ， ∴ BDG ′ G 是 平 行 四 边 形 ．
当
DG ⊥ BG ′ 时 ， BDG ′ G
是菱形．
∴
BD=BG=4
．
如 图 ③ ， 当 BDG ′ G 为 菱 形 时 ， 过 点 G ′ 作 G ′ M ⊥ BC 于 点 M ．
- 3 - / 12
在 Rt △ G ′ DM 中 ， ∠ G ′ DM=45 ° ， DG ′ =4 ，
∴
DM=G
′
M
且
DM2+G'M2=DG'2
．
∴
DM=G
′
M=
，
∴
BM=
．
连
接
G
′
B
．
在 Rt △ G ′ BM 中 ，
．
②当 0≤x≤
时，其重合部分为梯形，如图②．
在 Rt △ AGF 与 Rt △ ABC 中 ，
，
．
过 G 点 作 GH 垂 直 BC 于 点 H ， 得 GH=
．
由 ① ， 知 BD=GG ′ =x ， DC=
，
．
∴S
梯
形
=
．
当
≤x≤
时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③．
∵ 斜 边 DC=
，斜边上的高为
，
∴
．
5.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知直线 PA 是一次函数 y=x+m(m>0)的图象,直线 PB 是一次函数
y=-3x＋n（n＞m） 的图象,点 P 是两直线的交点,点 A、B、C、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点。
（1）用 m、n 分别表示点 A、B、P 的坐标及∠PAB 的度数；
（2）若四边形 PQOB 的面积是 11 ，且 CQ:AO=1:2，试求点 P 的坐标，并求出直线 PA 与 PB 的函数表达 2
式；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点 D，使以 A、B、P、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求
出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由。
解 ： （ 1 ） 在 直 线 y=x+m 中 ， 令 y=0 ， 得 x=-m ．
∴
点
A
（
-m
，
0
）
．
在 直 线 y=-3x+n 中 ， 令 y=0 ， 得
．
C
Q
P
∴
点
B
（
，
0
）
．
AO
B
由
，得
，∴点 P（
，
）．
在 直 线 y=x+m 中 ， 令 x=0 ， 得 y=m ， ∴ |-m|=|m| ， 即 有 AO=QO ． 又 ∠ AOQ=90 ° ， ∴ △ AOQ 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ∴ ∠ PAB=45 度 ．
（ 2 ） ∵ CQ ： AO=1 ： 2 ， ∴ （ n-m ） ： m=1 ： 2 ， 整 理 得 3m=2n ，
- 4 - / 12
∴ n=
m，∴
=
而
S
四边形
PQOB=S △ PAB-S △ AOQ=
1 2
（
+m ） × （
m）-
1 2
× m × m=
=
m，
m2=
，解得 m=±4，
∵ m ＞ 0 ， ∴ m=4 ， ∴ n=
m=6 ， ∴ P （
）．
∴PA 的函数表达式为 y=x+4，PB 的函数表达式为 y=-3x+6．
（
3
）
存
在
．
过点 P 作直线 PM 平行于 x 轴，过点 B 作 AP 的平行线交 PM 于点 D1，过点 A 作 BP 的平行线交 PM 于点
D2 ， 过 点 A 、 B 分 别 作 BP 、 AP 的 平 行 线 交 于 点 D3 ．
①
∵
PD1
∥
AB
且
BD1
∥
AP
，
∴ PABD1 是 平 行 四 边 形 ． 此 时 PD1=AB ， 易 得
；
②
∵
PD2
∥
AB
且
AD2
∥
BP
，
∴ PBAD2 是 平 行 四 边 形 ． 此 时 PD2=AB ， 易 得
；
③ ∵ BD3 ∥ AP 且 AD3 ∥ BP ， 此 时 BPAD3 是 平 行 四 边 形 ．
∵ BD3 ∥ AP 且 B （ 2 ， O ） ， ∴ yBD3=x-2 ． 同 理 可 得 yAD3=-3x-12
，得
，∴
．
6.如图，在平面直角坐标系中，直线 l1 ：
y
4 3
x 与直线 l2
:
y
kx
b
相交于点
A，点
A
的横坐标为
3，直线 l2
交
y
轴于点
B，且∣OA∣=
1 2
∣OB∣。
（1）试求直线 l2 的函数表达式；
（2）若将直线 l1 沿着 x 轴向左平移 3 个单位，交 y 轴于点 C，交直线 l2 于点 D。试求△BCD 的面积。
解 ： （ 1 ） 根 据 题 意 ， 点 A 的 横 坐 标 为 3 ， 代 入 直 线 l1 ：
中，得点 A 的纵坐标为 4，
即
点
A
（
3
，
4
）
；
即
OA=5
，
又 |OA|= 1 |OB| ． 即 OB=10 ， 且 点 B 位 于 y 轴 上 ， 即 得 B （ 0 ， -10 ） ； 2
将 A 、 B 两 点 坐 标 代 入 直 线 l2 中 ， 得 4=3k+b ； -10=b ； 解 之 得 ， k=
， b=-10 ；
- 5 - / 12
即直线
l2
的解析式为
y=
x-10 ；
（
2
）
根
据
题
意
，
设 平 移 后 的 直 线 l1 的 解 析 式 为 y= x+m ， 代 入 （ -3 ， 0 ） ， 可 得 ： -4+m=0 ， 解 得 ： m=4 ，
平 移 后 的 直 线 l1 的 直 线 方 程 为
；即点 C 的坐标为（0，4）；
联 立 线 l2 的 直 线 方 程 ， 解 得 x=
， y=
，即点 D（
又点 B（0，-10），如图所示：故△BCD 的面积 S= 1 ×
×14=
．
2
）；
7.正方形 ABCD 的边长为 4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使 AB 边落在 X 轴的正半轴上，且 A 点的坐标是（1，0）。
48 ①直线 y=3 x - 3经过点 C，且与 x 轴交与点 E，求四边形 AECD 的面积；
②若直线 l 经过点 E 且将正方形 ABCD 分成面积相等的两部分求直线 l 的解析式，
③若直线 l1 经过点
F
3 ，0 且与直线 2
y=3x
平行,将②中直线 l 沿着
y
轴向上平移
2 3
个单位交
x
轴于点
M ,交直线 l1 于点 N ,求 NMF 的面积.
解
：
（
1
）
在
y=
x
- 6 - / 12
中
，
令
y=4
，
即
解 得 ： x=5 ， 则 B
x
x=4
，
的坐标是（5，0）；
令
y=0
，
即
x
=0
，
解 得 ： x=2 ， 则 E 的 坐 标 是 （ 2 ， 0 ） ．
则
OB=5
，
OE=2
，
BE=OB-OA=5-2=3
，
∴
AE=AB-BE=4-3=1
，
四边形
AECD= 1 （ AE+CD ） ? AD= 1 （ 4+1 ） × 4=10 ；
2
2
（2）经过点 E 且将正方形 ABCD 分成面积相等的两部分，则直线与 CD 的交点 F，必有 CF=AE=1，则 F
的
坐
标
是
（
4
，
4
）
．
设
直
线
的
解
析
式
是
y=kx+b
，
则
，
解
得
则
直
线
l
：
．
的
解
析
式
是
：
y=2x-4
；
（3）∵直线
设
直
线
则
l1 经 过 点 F （ -
11
的
解
：
，0）且与直线
析
式
是
k=3
y=3x 平 行 ，
y1=kx+b
，
，
代
入
得
：
0=3
×
（
-
）
+b
，
解
得
：
b=
，
∴
y1=3x+
，
已 知 将 （ 2 ） 中 直 线 l 沿 着 y 轴 向 上 平 移 个 单 位 ， 则 所 得 的 直 线 的 解 析 式 是 y=2x-4+ ，
即
：
y=2x-3
，
当
y=0
时
，
x=
，
∴
M
（
，
0
）
，
解
方
程
组
得
：
，
即
：
S △ NMF=
N
（
1 ×[ 2
-7 -（-
，
-19
）
，
） ] × |-19|=
．
- 7 - / 12
答：△NMF 的面积是
．
8.如图，已知△ ABC的面积为 3，且 AB=AC，现将△ ABC沿 CA 方向平移 CA 长度得到△ EFA．
①求四边形 CEFB 的面积； ②试判断 AF 与 BE 的位置关系，并说明理由；
③若 BEC 15 ，求 AC 的长．
解：（1）由平移的性质得
AF ∥ BC ， 且 AF=BC ， △ EFA ≌ △ ABC ∴ 四 边 形 AFBC 为 平 行 四 边 形
S
△
EFA=S
△
BAF=S
△
∴ 四 边 形 EFBC 的 面 积 为
ABC=3 9；
（
2
）
BE
⊥
AF
证 明 ： 由 （ 1 ） 知 四 边 形 AFBC 为 平 行 四 边 形 ∴ BF ∥ AC ， 且 BF=AC
又∵AE=CA∴四边形 EFBA 为平行四边形又已知 AB=AC∴AB=AE∴平行四边形 EFBA 为菱形∴BE⊥
AF
；
（3）如上图，作 BD⊥AC 于 D∵∠BEC=15°，AE=AB∴∠EBA=∠BEC=15°∴∠BAC=2∠BEC=30°
∴ 在 Rt △ BAD 中 ， AB=2BD 设 BD=x ， 则 AC=AB=2x
∵S△ABC=3，且
S△ABC=
1 2
AC?BD=
1 2
?2x?x=x2∴x2=3∵x
为正数∴x=
∴AC=2
．
9.已知如图，直线 y 3x 4 3 与 x 轴相交于点 A，与直线 y 3x 相交于点 P．
①求点 P 的坐标． ②请判断 OPA的形状并说明理由． ③动点 E 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 O→P→A 的路线向点 A 匀速运动（E 不与点 O、A 重合），过点 E 分别作 EF⊥x 轴于 F，EB⊥y 轴于 B．设运动 t 秒时，矩形 EBOF 与△OPA 重叠部分的面积 为 S．求： S 与 t 之间的函数关系式． 试题分析：（1）由两直线相交可列出方程组，求出 P 点坐标；
（2）将 y=0 代入 y=﹣ x+4 ，可求出 OA=4，作 PD⊥OA 于 D，则 OD=2，PD=2 ，利用 tan∠
POA=
， 可 知 ∠ POA=60 ° ， 由 OP=4 ． 可 知 △ POA 是 等 边 三 角 形 ；
（3）①当 0＜t≤4 时，在 Rt△EOF 中，∠EOF=60°，OE=t，可以求出 EF，OF，从而得到 S；
② 分 情 况 讨 论 当 0
题
解
析
：
△
POA
是
等
边
三
角
形
．
理
由
：
将
代
入
- 8 - / 12
，
∴
，
即
作
PD ⊥ OA
于
D，则
OD=2 ， PD=2
OA=4 ，
∵
tan ∠ POA=
， ∴ y ∠ POA=60 ° ， P
∵
OP=
(2)
①
∴ △ POA 是 等 边 三 角 形
；
当
0
4
时
，E
如
图
1
B
OF
Ax
在
Rt
△
EOF
中
，
∵ ∠ EOF=60 ° ， OE=t ∴ EF=
t ， OF= 1 t 2
∴ S= 1 · OF · EF= 2
当
4
，
如
图
2
设 EB 与 OP 相 交 于 点 C ， 易 知 ： CE=PE=t － 4 ， AE=8 － t ，
∴ AF=4 －
1 2
t
， EF=
(8 － t) ，
∴ OF=OA － AF=4 － (4 －
1 2
t)=
1 2
t，
∴ S= 1 (CE+OF) · EF ， = 1 (t － 4+ 1 t) ×
2
2
2
(8 － t) ， = －
+4 t － 8
；
②
当 0
t=4 时 ， S 最 大 =2 3
当 4
t－8
=－
(t －
)+
t= 时，S 最大=
∵
>2 ，∴当 t= 时，S 最大=
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10.如图，直线 OC、BC 的函数关系式分别是 y1=x 和 y2=-2x+6，动点 P（x，0）在 OB 上运动
（0
（2）设△COB 中位于直线 m 左侧部分的面积为 s，求出 s 与 x 之间函数关系式．
（3）当 x 为何值时，直线 m 平分△COB 的面积？
分析：（1）由于 C 是直线 OC、BC 的交点，根据它们的解析式即可求出坐标，然后根据图象和交点坐标 可以求出当 x 取何值时 y1＞y2； （2）此小题有两种情况：①当 0＜x≤2，此时直线 m 左侧部分是△PQO，由于 P（x，0）在 OB 上运动， 所以 PQ，OP 都可以用 x 表示，所以 s 与 x 之间函数关系式即可求出；②当 2＜x＜3，此时直线 m 左侧部 分是四边形 OPQC，可以先求出右边的△PQB 的面积，然后即可求出左边的面积，而△PQO 的面积可以和① 一样的方法求出； （3）利用（2）中的解析式即可求出 x 为何值时，直线 m 平分△COB 的面积．
简解：（1）解方程组
得
∴C 点坐标为（2，2）； 当 x>2 时，y1>y2
（2）作 CD⊥x 轴于点 D，则 D（2，0）．
①s= 1 x2（0
2
2
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11.已知正方形 ABCD。 （1）如图 1，E 是 AD 上一点，过 BE 上一点 O 作 BE 的垂线，交 AB 于点 G，交 CD 于点 H，求证：BE＝ GH； （2）如图 2，过正方形 ABCD 内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交 AD、BC 于点 E、F，交 AB、CD 于点 G、H，EF 与 GH 相等吗？请写出你的结论； （3）当点 O 在正方形 ABCD 的边上或外部时， 过点 O 作两条互相垂直的直线，被正方形相对的 两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等 吗？其中一种情形如图 3 所示，过正方形 ABCD 外一点 O 作互相垂直的两条直线 m、n，m 与 AD、BC 的延长线分别交于点 E、F，n 与 AB、DC 的延长线分别交于点 G、H，试就该图对你的结论加以证明。
解答：
（ 1 ） 证 明 ： 在 图 1 中 ， 过 点 A 作 GH 的 平 行 线 ， 交 DC 于 点 H ′ ， 交 BE 于 点 O' ．
∵
ABCD
是
正
方
形
，
∴ ∠ D=90 ° ， ∠ H ′ AD+ ∠ AH ′ D=90 ° ．
∵ GH ⊥ BE ， AH ′ ∥ GH ， ∴ AH ′ ⊥ BE ． ∴ ∠ H ′ AD+ ∠ BEA=90 ° ． ∴ ∠ BEA= ∠ AH ′ D ．
在 △BAE 和 △ADH ′中，
， ∴ △BAE≌ △ADH′ （AAS） ，∴ BE=AH′ =GH ；
（ 2 ） 解 ： EF=GH ， 理 由 如 下 ： 过 E 作 EM ⊥ BC ， 过 G 作 GN ⊥ CD ， ∴ ∠ EMF= ∠ GNH=90 ° ， 又 GH ⊥ EF ， ∴ ∠ EOG= ∠ GOF=90 ° ， ∴ ∠ MEF+ ∠ EQG=90 ° ， ∠ NGH+ ∠ EQG=90 ° ， ∴ ∠ MEF= ∠ NGH ， 又 GN=EM ， ∴△EMF≌△GNH，∴EF=GH；
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（
3
）
解
：
相
等
．
证明：在图 3 中，过点 A 作 m 的平行线交 BC 于点 F′，过点 D 作 n 的平行线交 AB 于点 G′．
则
有
EF=AF
′
，
G
′
D=GH
，
由 （ 1 ） 可 知 ， Rt △ ABF ′ ≌ Rt △ DAG ′ ，
∴
AF
′
=DG
′
．
从而可证明 EF=GH．
- 12 - / 12