初中的数学规律题的总结

初中数学规律题解题基本方法

（一）数列的找规律

初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：

一、基本方法——看增幅

（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。

例：4、10、16、22、28……，求第n位数。

分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n －2

（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。

基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；

2、求出第1位到第第n位的总增幅；

3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。

举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。

分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：

［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1

所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1

此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。

（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。

二、基本技巧

（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是。

解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加

以比较：

给出的数：0，3，8，15，24，……。

序列号： 1，2，3， 4， 5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关。

例如：1，9，25，49，（），（），的第n为（2n-1）2

（三）看例题：

A： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且............即：n3+1

B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：2n

（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：

0、3、8、15、24……，

序列号：1、2、3、4、5

分析观察可得，新数列的第n项为：n2-1，所以题中数列的第n项为：（n2-1）+2＝n2+1

（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。

例： 4，16，36，64，，144，196，…（第一百个数）

同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方。

（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。

（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。

三、基本步骤

先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。

如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律

如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律

最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题

四、【典型例题】 例1 观察下列算式：

,65613,21873,7293,2433,

813,273,93,3387654321======== ……

用你所发现的规律写出2004

3的末位数字是__________。

观察下列式子：

326241?==+?；4312252?==+?；5420263?==+?；6530274?==+?…… 请你将猜想得到的式子用含正整数n 的式子表示来__________。

五、图形找规律

小时侯我们都玩过搭积木的游戏，今天我们不妨重拾童年趣事，利用手中的火柴棒搭建一些常见的图形，探索规律。

合作交流，探索规律：

活动一：探索常见图形的规律，用火柴棒按下图的方式搭三角形

⑴填写下表：

⑵照这样的规律搭建下去，搭n 个这样的三角形需要多少根火柴棒 ★注意引导学生概括“探索规律”的一般步骤： ① 寻找数量关系； ② 用代数式表示规律 ③ 验证规律。

★练习：四棱柱有几个顶点、几条棱、几个面五棱柱呢十棱柱呢n 棱柱呢 活动二：探索具体情景下事物的规律

问题1.若有两张长方形的桌子，把它们拼成一张大的长方形桌子，有几种拼法

问题2.若按图2方式摆放桌子和椅子

⑴一张桌子可坐6人，2张桌子可坐人。

⑵按照上图方式继续排列桌子，完成下表：

问题3.如果按图3的方式将桌子拼在一起

⑴2张桌子拼在一起可坐多少人3张呢n张呢

⑵教室有40张这样的桌子，按上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐人。

⑶在⑵中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐人。

活动三：探索图表的规律

下面是2000年八月份的日历：

⑴日历中的绿色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系

⑵这个关系对其它这样的方框成立吗你能用代数式表示这个关系吗

⑶这个关系对任何一个月的日历都成立吗为什么

⑷你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗用代数式表示。

⑸你还能提出那些问题

4 图3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图3—4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。

……

(1)将下表填写完整

（2）在第n 个图形中

有

____________________个三角形（用含n 的式子表示）。

例6．如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为21的矩形，接着把面积为21

的矩形等分成两个面积为41的正方形，再把面积为41的矩形等分成两个面积为81

示的规律计算：

=+++++++25611281641321161814121

例7．把棱长为a 的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆

放，第五层的正方体的个数是

①

② ③

例8.观察下列图形并填表。

六、巩固练习题

1．用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案： （1）第4个图案中有白色地面砖 块； （2）第n 个图案中有白色地面砖 块。

2．下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有)2(≥n n 个棋子，每个图案棋子总数为S ，按下图的排列规律推断，S 与n 之间的关系可以用式子 来表示。

……

3．观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。 ①5，9，13，17， ， 。 ②4，5，7，11，19， ， 。

③10，20，21，42，43， ， ，174，175。 ④4，9，19，34，54， ， ，144。 ⑤45，1，43，3，41，5， ， ，37，9。 ⑥6，1，8，3，10，5，12，7， ， 。 ⑦0，1，1，2，3，5， ， 。 ⑧180，155，131，108， ， 。

1

1

2

第三个

第一个

第二个

42==s n 83==s n 124==s n 16

5

==s n

⑨5，15，45，135， ， 。 ⑩60，63，68，75， ， 。

4．你能很快算出2

1995吗

为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成10?n +5,即求2

)510(+n 的值（n 为自然数），你试分析Λ,3,2,1===n n n 这些简单情况，从中控索其规律，并归纳，推测出结论（在下面空格内填上你的控索结果）。 通过计算，控索规律：

225152=可写成25)11(1100++? 625252=可写成25)12(2100++? 1225352=可写成25)13(3100++? 2025452=可写成25)14(4100++?

…………

5625752=可写成 7225852=可写成

从第（1）的结果，归纳、推测得：

=+2

)510(n 根据上面的归纳、推测，请算出：=2

1995

5．观察下列几个算式，找出规律： 1＋2＋1=4 1＋2＋3＋2＋1=9 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25 ……

利用上面规律，请你迅速算出：

①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1= ②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗 ③据上你能推导出1＋2＋3＋…＋n 的计算公式吗

12．给出下列算式：1881322?==-，28163522?==-，38245722?==-，4832792

2?==-，…，

观察上面的一系列等式，你能发现什么规律用代数式表示这个规律是 。

6．研究下列算式，你会发现有什么规律

224131==+?；239142==+?；2416153==+?；2525164==+?……

请将你找出的规律用公式表示出来： 。

7．如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律填写：

a 所表示的数： 。

b 所表示的数： 。

8．因为111113=??=，11112

=?=，

981213

3

=+=+ 93)21(2

2==+

362781321333=++=++ 366)321(2

2==++

10064278143213333=+++=+++ 10010)4321(2

2==+++

那么

=++++++333333100994321Λ 。

9．将1，21-

，31，41-，51，61

-

，…按一定规律排成下表：

试找出12006-

在第 行第 个数

10．如下图：

（1）1025 2641

1

55

1

144113

31

12

1111b

b

a

15

114

113

112

111

110

1

9

18

17

16

1514

13

1211-------2

17

9

35

（2）

11．把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。 当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少 当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少

200199198197196

19528

27

2625242322212019181716151413121110987654321Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

ΛΛΛΛΛΛΛ

12．将1至1001个数如下图的格式排列。用一个长方形框入12个数，要使这12个数的和等于（1）1986；（2）2529；（3）1989是否办得到如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。

1001100099999899799699528

27

26

25

24

23

22

212019181716151413121110987654321ΛΛΛΛΛΛΛ

13．（2010年山东省青岛市）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚

棋子，摆第n 个图案需要 枚棋子．

【关键词】规律

14、（2010盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是

A ．38

B ．52

C ．66

D ．74

关键词：数字排列规律

15．（2010年门头沟区）如图，45AOB ∠=o

，过OA 上到点O 的距离分别为1357911L ，，，，，， 的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为

1234S S S S L

，，，，．

则第一个黑色梯形的面积=1S ；观察图中的规律， 第n(n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ． 【关键词】规律题、梯形面积

16.（2010年山东省济南市）如图所示，两个全等菱形的边长为1

厘米，一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．

【关键词】点的移动

17、（2010年毕节地区）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．

【关键词】找规律

18、（2010年宁波市）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）

…

第13题图

0 2

8

4 2

4 6

22 4

6 8

44

m

6

第12题

C

A

F

D E B

G

之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V ） 面数（F ） 棱数（E ） 四面体 4 7 长方体 8 6 12 正八面体

8

12

正十二面

体

20

12

30

你发现顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的关系式是_______________。

（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________。 （3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x 个，八边形的个数为y 个，求y x 的值。

【关键词】规律与探索

19、15．直线上有2010个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有 个点. 【关键词】点

20、 （2010年安徽中考）下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是…………………………………………（ ） A ）495 B ）497 C ）501 D ）503 【关键词】探索规律

21、（2010年浙江省东阳市）阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a ⊕b = n ，

四面体

长方体

正八面体

正十二面体

……

图③

图②

图①

可以使：（a+c ）⊕b= n+c ，a ⊕（b+c ）=n －2c ， 如果1⊕1=2，那么2010⊕2010 = ． 【关键词】阅读理解、探究规律

22、(2010重庆市)有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）

A ．图①

B ．图②

C ．图③

D ．图④

解析：观察图形，可知每转动4次为一个循环，所以10÷4=2…2，即第10次旋转后得到图形是图②. 24.（2010年四川省眉山市）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形． 【关键词】规律与探索

25．（2010年福建省晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) .

A. 669

B. 670 D. 672 【关键词】大正方形剪成小正方形、规律与探索

26、 （2010江苏泰州，17，3分）观察等式：①4219?=-，②64125?=-，③86149?=-…按照这种规律写出第n 个等式： ．

【答案】

())22(21122

+=-+n n n

【关键词】规律归纳猜想

27、（2010山东德州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC ，AB=AC=BC=6．如果跳蚤开始时在BC 边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC 边的P1（第1次落点）处，且CP1= CP0；第二步从P1跳到AB 边的P2（第2次落点）处，且AP2= AP1；第三步从P2跳到BC 边的P3（第3次落点）处，且BP3= BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n 次落点为Pn （n 为正整数），则点P2009与点P2010之间的距离为_________． 【关键词】寻找规律

一、数字规律类：

1、一组按规律排列的数：41，93，167，2513，3621

，…… 请你推断第9个数是 ．

2、已知下列等式： ① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62；

④ 13＋23＋33＋43＝102 ；…………由此规律知，第⑤个等式是 ．第n 个等式是 ．

3、观察下列各式；①、12

+1=1×2 ；②、22

+2=2×3； ③、32

+3=3×4 ；………请把你猜想到的规律用自然数n 表示出来 。

4、观察下面的几个算式：①、1+2+1=4； ②、1+2+3+2+1=9； ③、1+2+3+4+3+2+1=16；……根据你所发现的规律，请你直接写出第n 个式子

5、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是 。

6、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、……，则第10个数为________。

第1行 1

第2行 －2 3

第3行 －4 5 －6

第4行 7 －8 9 －10 第5行 11 －12 13 －14 15 ………………

7、已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下

A

B

P 0 P 1

P 2

P 3

第27题图

1条

2条

3条

图1 图2 图3

21题图

去，那么第10行从左边数第5个数等于 ．

8． 有一列数：41,

33,32,31,22,21,1……，第9个数是 .

9．观察下列各式：

21112

?=+，32222?=+

，43332?=+，54442?=+，……

将上面的规律用含有n 的公式表示出来是 . 10．观察下列各式：

…，用n （自然数）把这个规律表示出来．

11．观察下列等式9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，……

这些等式反映出自然数间的什么规律呢设n 表示自然数，请用含有n 的等式表示出来。 12 计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋1993＋1994－1995－1996＋1997．

二、图形规律类：

13、一质点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点1

A 处，第二次从

1

A

点跳动到O

1

A 的中点

2

A 处，第三次从

2

A 点跳动到O

2

A 的中点

3

A 处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动

后，该质点到原点O 的距离为 。

14、如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴 根.

……

15、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：

●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○● ………… 从第1个球起到第2005个球止，共有实心球 个．

16、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第n 个图形中，互不重叠的三角 形共有 个（用含n 的代数式表示）。

n =3

n =4

n =5

（第12题）

……

17、已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如上图所示）．

（1）当n = 5时，共向外作出了个小等边三角形

（2）当n = k时，共向外作出了个小等边三角形（用含k的式子表示）．

18、观察图形，并完成下列表格：

序号123…n

图形…(此空不填)

的个数824…

的个数14…

19.研究下列等式，你会发现什么规律

1×3+1=4=22

2×4+1=9=32

3×5+1=16=42

4×6+1=25=52

…

设n为正整数，请用n表示出规律性的公式来.

20．探索规律可写成 , 可写成

可写成 ,可写成

（1）把这个规律用含有n的式子写出来；

（2）计算952．

21．观察：

…

计算：．

22. 如图用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：

（1）第4个图案中有白色地面砖__________块；

（2）第n个图案中有白色地面砖__________块．…，若

符合前面式子的规律，则。

10102

+=?+=

b

a

b

a

a b

24(岳阳04)．观察：

11111

()

35235

?=-

，

11111

()

57257

?=-

11111

()

79279

?=-

…………

计算：

11111111

2446681820

?+?+?++?

L

＝。

二，探索图形规律

25(浙江湖州05)．观察下面图形我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，按照这种规律下去的第5个图形共有________个正方形。

26：(05山东泉州）下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．

观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了块石子．

23，（05青岛）

27、探索题： 如下图在一些大小相等的正方形内分别排列着一些等圆．

˙˙˙

请观察上图并填写下表 你能试着表示出第n 个正方形中圆的个数吗用你发现的规律计算出第2008个图形中有多少个圆.

28 电话费与通话时间之间的关系如下表：

(1)写出用通话时间x 表示电话费y 的公式：_________.

(2)并用你所列的公式求当通话时间x=100分钟时的费用：__________.

(3)小明家四月份电话费是元，那么他家一共打了多长时间的电话：__________.

探索找规律习题集及中考题集

如图，都是由若干盆花组成的形如三角形的图案，则组成第n 个图案所需花盆的总数是___________________．

* * * * * * * * * * * * * * * * * * *

2.观察正方形图案，每条边上有)2( n n 个圆点，每个图案中圆点总数式S ，按此推断S 与n 的关系式为 3．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成，通过观察可以发现：

（1）第4个图形中火柴棒的根数是 ；（2）第n 个图形中火柴棒的根数是 ； 4． ① ② ③ ●●● ●●●●● ●●●●●●● ● ● ● ● ● ●

● ● ●

上面是用棋子摆成的“T ”字，按这样的规律摆下去，摆成第10个“T ”字需要多少个棋子第n 个呢 5．将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕．如果对折n 次，可以得到 条折痕．

6．下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．

观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了 块石子． 7．为庆祝“六g 一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：

按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数______________

n=1n=2

n=3n=4

n=2,S=4

n=3,s=8

n=4,s=12

………………

……

①

②

③

(3)

(2)

(1)第3个

第2个第1个8．柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图： 第一层有23?听罐头， 第二层有34?听罐头， 第三层有45?听罐头， ……

根据这堆罐头排列的规律，第n （n 为正整数）层有 听罐头（用含n 的式子表示）．

9．按如下规律摆放三角形：

则第(4)堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为________________.

10．下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。依次规律，第5个图案中白色正方形的个数为 ；第n 个图案中白色正方形的个数为____________________。

11、用同样大小正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，第n 个图案中正方形的个数是 12．用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：

（1）第4个图案中有白色纸片 张；（2）第n 个图案中有白色纸片 张. 13．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，……，根据以上操作方法，请你填写下表：

操作次数N

1 2 3 4 5 … N

…

……

…

第1个

第2个

第3个

n=3

n=2

n=1

15．观察下列等式：918-=;

12416=-; 16925=-; ……………

这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示出来：

16.观察下列等式：21112

?=+;32222?=+;33332?=+;…………………

请你将猜想到的规律用自然数)1(≥n n 表示出来 ；

17.观察下列各式：21112

?=+;32222?=+;43332?=+;…………………

请你将猜想到的规律用自然数)1(≥n n 表示出来： ；

18.树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表：（树苗原高100厘米）

(1)填出第4年树苗可能达到的高度；(2)请用含a 的代数式表示高度h ：____________ (3)用你得到的代数式求生长了10年后的树苗可能达到的高度。

19．已知：

3223222?=+

，8338332?=+，154415442?=+，…若b a

b a ?=+21010（a 、b 为正整数），则

a ＋

b ＝ 。

20．观察如下图的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1

（2）通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

21．阅读下列一段话，并解决后面的问题

……

……

①1=12

； ②1+3=22；

③1+3+5=32

；

④ ；

⑤ ；