全国高考圆锥曲线试题及解析

全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线

一、选择题

1 ．（2013年高考江西卷（理）

）过点引直线l

与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,

当?AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ）

A ．y E

B B

C C

D =+

+3

B

．3

-

C

．3

±

D

．【答案】B

2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2

214

x y -=的顶点到

其渐近线的距离等于 （ ）

A ．

25

B ．

45

C

D

【答案】C

3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的

右焦点为()3,0F ,离心率等于3

2,在双曲线C 的方程是

（ ）

A

．2214x =

B ．22

145x y -= C ．22

125x y -=

D

．22

12x =

【答案】B

4 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)

,则C 的渐近

线方程为 （ ）

A ．1

4y x =±

B ．13

y x =±

C ．12

y x =±

D ．y x =±

【答案】C

5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04

π

θ<<,则双曲线22

12

2:1cos sin x y C θθ-=与22

2222:1sin sin tan y x C θθθ

-=的

（ ）

A ．实轴长相等

B ．虚轴长相等

C ．焦距相等

D ．离心率相等

【答案】D

6 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线2

4y x =的焦点到双曲线2

2

13

y

x -=的渐近线的距离是 （ ）

2

【答案】B

7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,21,F F 是椭圆

14

:22

1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形

21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是

（ ）

A ．2

B ．3

C ．

2

3 D ．

2

6 【答案】D

8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线22

221(0,0)

x y a b a b

-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB

则p = （ ）

A ．1

B ．

3

2

C ．2

D ．3

【答案】C

9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））椭圆22

:143

x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 （ ）

A ．1324??????，

B ．3384

??

????

，

C ．112??

????

，

D ．314??????

，

【答案】B

10．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知抛物线2

:8C y x

=与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k = （ ）

2

【答案】D

11．（2013年高考北京卷（理））若双曲线22

221x y a b

-=

则其渐近线方程为 （ ）

A ．y =±2x

B ．y

=

C ．12

y x =±

D

．2

y x =±

【答案】B

12．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线

1

C :

2

12y x

p =

(0)

p >的焦点与双曲线2C :2

21

3x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C

在点M 处的切线平

行于

2

C 的一条渐近线,则p =

（ ）

A

．16

B

．8 C

．3 D

．3

【答案】D

13．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线

交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为

（ ）

A ．

22

14536x y += B ．

22

13627x y += C ．

22

12718x y += D ．

22

1189

x y += 【答案】D 14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设抛物线

2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的

方程为

（ ）

A ．2

4y x =或2

8y x = B ．2

2y x =或2

8y x = C ．2

4y x =或2

16y x =

D ．2

2y x =或2

16y x =

【答案】C 15．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线

AB 的垂线,垂足为N .若2

MN AN NB λ=?,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是 （ ）

A ．圆

B ．椭圆

C ．抛物线

D ．双曲线

【答案】C

16．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知圆()()2

2

1:231C x y -+-=,

圆()()2

2

2:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为 （ ）

A ．4

B 1

C ．6-D

【答案】A 二、填空题 17．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））双曲线

19

162

2=-y x 的两条渐近线的方程为_____________. 【答案】x y 4

3

±

= 18．（2013年高考江西卷（理））抛物线2

2(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22

133

x y -=相交于,A B 两点,若ABF ?为等边三角形,则P =_____________

【答案】6

19．（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,

若216,PF PF a +=且12PF F ?的最小内角为30,则C 的离心率为___. 【答案】3

20．（2013年高考上海卷（理））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4

CBA π

∠=

,若AB=4,BC =则Γ的两个焦点之间的距离为________

.

21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知直线y a =交抛物线2

y x

=于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为___ _____. 【答案】),1[+∞

22．（ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））抛物线

2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是

区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.

【答案】??

???

?-2

1,2

23．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在平面直

角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(122

22>>=+b a b

y a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一

个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为

_______.

【答案】

3

24．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））椭圆22

22:1(0)

x y a b a b

Γ+=>>

的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =

+与椭圆Γ的一个交点M 满足

12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________

1

25．（2013年高考陕西卷（理））双曲线22116x y m -=的离心率为5

4

, 则m 等于___9_____.

【答案】9

26．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知椭圆22

22:1(0)

x y C a b a b

+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,

A F

B F ,若

4

10,6,cos ABF 5

AB AF ==∠=

,则C 的离心率e =______. 【答案】

5

7

27．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）抛物线2

8y x =的准线方程是_______________ 【答案】2x =- 28．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在平面直

角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数x

y 1

=

(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.

【答案】1-或10

29．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设F 为抛物线x y C 4:2

=的

焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.

【答案】1± 三、解答题 30．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9

分.

已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，

、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ?为等边三角形,求椭圆C 的方程;

(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程.

[解](1) (2)

【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>.

根据题意知22

21

a b

a b =??

-=?, 解得2

43a =

,213

b = 故椭圆C 的方程为

22

14133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2

212

x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.

由22

(1)12

y k x x y =-???+=?? 得2222

(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，

，，,则

2212121111

222242(1)

(1 ) (1 )2121

k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，， 因为11F P FQ ⊥,所以11

0F P FQ ?=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++

2271

021

k k -==+,

解得2

1

7

k =

,即k =

故直线l 的方程为10x +-=或10x --=.

31．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22

221,(0)x y a b a b

+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,

且椭圆C 经过点41

(,)33

P .

(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;

(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且

222

211

||||||

AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.

【答案】解:122a PF PF =+==

所以,a =

又由已知,1c =,

所以椭圆C 的离心率

2c e a =

==

()II 由()I 知椭圆C 的方程为2

212

x y +=.

设点Q 的坐标为(x,y).

(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q 点坐标为0,2? ??

(2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+.

因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++,则

22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()22

2222(1).AQ x y k x =+-=+

由

2

2

2

211AQ

AM

AN

=

+

,得

()()()222222

12

211

111k x k x k x =++++,即 ()2

1212

22222

1212

2211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2

212

x y +=中,得 ()2

221860k

x kx +++= ②

由()()

2

2

842160,k k ?=-?+?>得2

32

k >

. 由②可知121222

86

,,2121

k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得2

2

18103

x k =- ③ 因为点Q 在直线2y kx =+上,所以2y k x

-=,代入③中并化简,得()22

102318y x --=.

由③及2

32k >

,可知2

302x <<,

即60,22x ???

?∈- ? ? ? ?????

. 又0,2?

??

满足

()22

102318y x --=,故x ?∈ ??. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤, 又由()2

2

102183y x -=+有

()2

992,

54y ??

-∈????且11y -≤≤,则1,225y ?∈- ??

. 所以点Q 的轨迹方程是(

)2

2

102318y x --=,其中

,x ?

∈ ??,1,22

y ?∈ ?? 32．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆22

22:1x y C a b

+=(0)

a b >>

的左、右焦点分别是12,F F ,

过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线

12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明12

11kk kk +为定值,并求出这个定值.

【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22

2

21x y a b +=得2b y a =± 由题意知221b a =,即2

2a b = 又

c

e a =

= 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2

21

4x y +=

1||||PF PM PF PM ?=2||||PF PM PF PM ?,1||PF PM PF ?=2||

PF PM PF ?,设量坐标代入并化简得:m(23000416)

312x x x -=-,因为2

04x ≠,

1200

11

8kk kk +=-+=-为定值.

33．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线2

21:12

x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.

(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);

(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”; (3)求证:圆2

2

1

2

x y +=

内的点都不是“C 1—C 2型点”.

【答案】:(1)C 1的左焦点为(F ,过F 的直线x =C 1交于(2

±

,与C 2交于

(1))±+,故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”,且直线可以为x =(2)直线y kx =与C 2有交点,则

(||1)||1||||1

y kx

k x y x =??-=?

=+?,若方程组有解,则必须||1k >; 直线y kx =与C 2有交点,则

22

22

(12)222y kx k x x y =??-=?-=?

,若方程组有解,则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点,即原点不是“C 1-C 2型点”. (3)显然过圆2

2

1

2

x y +=

内一点的直线l 若与曲线C 1有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥,则

:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-?-++-=

直线l 与圆2

2

1

2x y +=

内部有交点,<

化简得,22

1(1)(1)2

t tk k +-<

+............① 若直线l 与曲线C 1有交点,则

222

22

1

1()2(1)(1)10212

y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++???-++-++-+=?-=?

? 2222221

4(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2

k t kt k t kt t kt k ?=+---+-+≥?+-≥-

化简得,2

2

(1)2(1)t kt k +-≥-.....②

由①②得,2

2

2

212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<

+?< 但此时,因为2

210,[1(1)]1,(1)12

t t k k ≥+-≥+<,即①式不成立;

当2

12

k =时,①式也不成立

综上,直线l 若与圆22

12

x y +=内有交点,则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点,

即圆22

12

x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” .

34．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在正方形OABC 中,O

为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记

为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*

(,19)i P i N i ∈≤≤. (1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;

(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ?与OCN ?的面积比为4:1,求直线的方程.

【答案】解:(Ⅰ)依题意,过*

(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i

(10,)i B i ,∴直线i OB 的方程为10

=

i

y x 设i P 坐标为(,)x y ,由10=???=??

x i

i y x 得:2110=y x ,即2

10=x y ,

∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y

(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx

由2

1010=+??

=?y kx x y

得2

101000--=x kx 此时2

100+4000?=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100

+=??

?=-?x x k

x x

4??=OCM OCN S S ∴124=x x

又

120?

分别带入2

1010=+??

=?y kx x y

,解得3

2=±k 直线的方程为3

+102

=±

y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 35．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线2

:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的

直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .

(I)若120,0k k >>,证明;2

2FM FN P <;

(II)若点M 到直线l

的距离的最小值为,求抛物线E 的方程. 【答案】解: (Ⅰ) ，

设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,

0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A p

F 02,2

21211=++-+=p x pk x E p

x k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线

)

,(2

,20,22

11211212112221121p k p k p p k y p k x x x p x x p k x x -=?+==+=?=-=?=+?),(2

,2,2

22223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=?+==+=?同理.

)1(2121222

221221+=+=??k k k k p p k k p k k

2

22121221212121212)11(1)1(,122,,0,0p p k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+??<+=?∴≤?≥+=≠>> 所以,22p

,)]2

(2[21)]2()2[(21,2

12121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=?的半径分别为、设圆

,2同理,2

21211p p k r p p k r +=+=?

.,21r r N M 的半径分别为、设圆则2

1212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、,

的方程为：

，直线l r y y x x 2

2234234)()(=-+- 0-)(2)(22

22123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .

0))(-())(())(()(2)(2121234123412341234122

12212=++--+--+-+-?r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p

2))((1))(()(2)(2)(22

22121222222122212212212212=++-+++-+-+-+-?k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202)(1)(22

22

12

22

1=+?=+++++--+?y x k k p k k p p y x

5

5

758751

)41

()41(2|512||52|),(212

1

12121212==+-+-?≥++?=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=?=?抛物线的方程为.

36．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,点)1,0(-P 是椭圆

)0(1:22

221>>=+b a b

y a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相

垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D (1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ?面积取最大值时直线1l 的方程.

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2

214

x y +=

; （第21题图）

(Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y k x k x y =-?--=,直线

21

:10l y x x k y k k

=--?++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-?--=

的距离为d =

所以直线1l 被圆224x y +=

所截的弦AB ==

;

由22222

048014

x ky k k x x kx x y ++=???++=?+=??,所以

28||44

D P k x x DP k k +=-∴==++,所以

222114||||22444313ABD

S AB DP k k k ??====++++

232

32

=

=

≤

=

+

252k k =

?=

?=,

此时直线1:12l y x =±- 37．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,

长轴在x 轴上,

离心率e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=. (1)求该椭圆的标准方程;

(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程

.

【答案】

38．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设椭圆22

22

:11x y E a a

+=-的焦点在x 轴上

(Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;

(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P F Q ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上.

【答案】解: (Ⅰ)13

858851,12,12

22

2

2

2

2

2

=+=?+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为：

. (Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012

∈∈?∈?>-y x a a .

??

?=++=-⊥=+=0

)()(,//).,(),,(112211my c x c yc

x c m Q F P F QF P F m c Q F y c x P F 得：由 解得联立?????

????+-==-=-+=-?=+-?2222222

2

222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c x

y x y x y x y

x y y x x -=∴∈∈±=?=+-++-?1)1,0(),1,0(.)1(11212222

22

222 所以动点P 过定直线01=-+y x .

39．（2013年高考新课标1（理））已知圆M :2

2

(1)1x y ++=,圆N :2

2

(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切

并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.

(Ⅰ)求C 的方程;

(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|. 【答案】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3. 设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R.

(Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4,

由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,

的椭圆(左顶点除外),

其方程为22

1(2)43

x y x +=≠-. (Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.

∴当圆P 的半径最长时,其方程为2

2

(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为0

90时,则l 与y 轴重合,可得

|AB|=

当l 的倾斜角不为0

90时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则

||||QP QM =1

R

r ,可求得

Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M

1=,

解得k =当k

=时,

将y x =代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x

12|x x -=187.

当k

时,由图形的对称性可知|AB|=18

7, 综上,|AB|=

18

7

或

|AB|=40．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左

焦点为F ,

, 过点F 且与x

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若

··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.

【答案】

41．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1

=2

e ,直线l 的方

程为=4x .

(1) 求椭圆C 的方程;

(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.

【答案】解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b

+= ① 依题设知2a c =,则22

3b c = ②

②代入①解得222

1,4,3c a b ===.

故椭圆C 的方程为22

143

x y +=. (2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③

代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222

(43)84(3)0k x k x k +-+-=,

设1122(,),(,)A x y B x y ,则有

2212122284(3)

,4343

k k x x x x k k -+==++ ④

在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .

从而1212312333

31222,,11412

y y k k k k k x x -

--

====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有

121211

y y

k x x ==--. 所以12121212121233

31122()1111212

y y y y k k x x x x x x -

-+=

+=+-+------ 12121223

22()1

x x k x x x x +-=-?-++ ⑤

④代入⑤得2

2122222

823432214(3)8214343

k k k k k k k k k k -++=-?=---+++, 又31

2

k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.

方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:0

0(1)1

y y x x =

--, 令4x =,求得0

03(4,

)1

y M x -, 从而直线PM 的斜率为003021

2(1)

y x k x -+=

-,

联立0022(1)114

3y y x x x y ?=-?-?

??+=?? ,得0

000583(,)2525x y A x x ---, 则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=

-,直线PB 的斜率为:02023

2(1)

y k x -=-,

所以00000123000225232122(1)2(1)1

y x y y x k k k x x x -+--++=

+==---,

故存在常数2λ=符合题意.

42．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C 的顶点为原点,

其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=

.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.

(Ⅰ) 求抛物线C 的方程;

(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ?的最小值. 【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为2

4x cy =,

2

=

0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为2

4x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =

,求导得12

y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112

x ,212x ,