《平面向量》综合测试题

《平面向量》综合测试题含答案

班级___________姓名____________学号____________得分____________

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.

若

A （2，-1），

B （-1，3），则

AB

的坐标是

( )

A.（1，2）

B.（-3，4）

C. （3，-4）

D. 以上都不对 2.与a =（4，5）垂直的向量是 ( ) A.（-5k ,4k ） B. (-10，2） C. (54

,k k

-) D.（5k , -4k ）

3. △ABC 中,BC

=a ,

AC

=b ,则AB 等于

( )

A.a+b

B.-(a+b )

C.a-b

D.b-a 4.

化

简

5

2(a －b )－

3

1(2a +4b )+

15

2(2a +13b )的结果是

( ) A.5

1a ±

51b B.0 C. 51a +51b D. 51a －5

1b 5.已知|p |=22,|q |=3, p 与q 的夹角为4

π

,则以a =5p +2q ,b =p －3q 为邻边的平行四边形的一

条

对角线长为

( )

A.15

B.15

C. 16

D.14

6.已知A (2,-2),B (4,3),向量p 的坐标为(2k -1,7)且p ∥AB ,则k 的值为 ( ) A.109-

B.109

C.1019-

D.10

19 7. 已知△ABC 的三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与△

ABC 的关系是 ( )

A. P 在△ABC 的内部

B. P 在△ABC 的外部

C. P 是AB 边上的一个三等分点

D. P 是AC 边上的一个三等分点

8.已知△ABC 的三个顶点，A (1,5)，B (-2,4)，C (-6,-4)，M 是BC 边上一点,且△ABM 的面积

是

△

ABC 面积的

4

1,则线段AM 的长度是

( )

A.5

B.85

C.

25 D.852

9.设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a =e 1+2e 2,b =2e 1+e 2,,则|a +b |的值 ( )

A.23

B.9

C.2918+

D.223+ 10.

若

|a |=1,|b |=

2

,(a -b )⊥a ,则a 与b 的夹角为

( )

A.300

B.450

C.600

D.750 11.把一个函数的图象按向量a =(

3π

,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y =sin(x +

6

π)-2,则

原

函

数

的

解

析

式

为

( )

A.y =sin x

B.y =cos x

C.y =sin x +2

D.y = -cos x 12.在△ABC 中，AB =c , BC = a , CA

=b ,则下列推导中错误的是

( )

A.若a ·b <0,则△ABC 为钝角三角形

B. 若a ·b =0,则△ABC 为直角三角形

C. 若a ·b =b ·c ,则△ABC 为等腰三角形

D. 若c ·( a +b +c )=0,则△ABC 为等腰三角形 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13.在△ABC 中，已知,4==AC AB 且,8=?AC AB 则这个三角形的形状是 .

14.一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，则船实际航行的速度的大小和方向是 .

15. 若向量)4,7(),1,2(),2,3(-=-=-=c b a ,现用a 、b 表示c ,则c= . 16.给出下列命题:①若a 2+b 2=0,则a =b =0;

②已知A ),,(11y x B ),(22y x ,则

);2

,2(21

2121y y x x AB ++= ③已知a ,b ,c 是三个非零向量,若a +b =0,则|a ·c |=|b ·c |

④已知0,021>>λλ,e 1,e 2是一组基底,a =λ1e 1+λ2e 2则a 与e 1不共线,a 与e 2也不共线; ⑤若a 与b 共线,则a ·b =|a |·|b |.其中正确命题的序号是 .

三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.如图,ABCD 是一个梯形,CD AB CD AB 2,//=, M 、N 分别是AB DC ,的中点,已知=AB a ,=AD b ,试用a 、b 表示,DC BC 和.MN

18.设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果AB =e 1+e 2,=BC 2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2)

A

B

N

M

D

C

⑴求证:A、B、D共线;

⑵试确定实数k,使k e1+e2和e1+k e2共线.

19.已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D与向量AD的坐标.

20.已知△ABC的三个顶点为A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB边上的中线CM的长;⑵在AB

的面积分成4:5两部分,求P点的上取一点P,使过P且平行与BC的直线PQ把ABC

坐标.

21.已知a、b是两个非零向量，证明：当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.

22.已知二次函数f(x) 对任意x∈R，都有f (1-x)=f (1+x)成立，设向量a=(sin x,2),

1),

b=(2sin x,

2

c=(cos2x,1),d=(1,2)。

（1）分别求a·b和c·d的取值范围；

（2）当x∈[0,π]时，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集。

答案

一、BCDBA；DDADB；BD

二、13.等边三角形；14.大小是4km/h ,方向与水流方向的夹角为600 ; 15.a －2b ; 16.①③④

三、17.∵|AB |=2|CD |∴DC AB 2=∴21

21==

AB DC a ,=BC b －21a , MN =4

1a －b 18.⑴∵BD BC CD =+=5e 1+5e 2=AB 5 , ∴BD AB //又有公共点B,∴A 、B 、D 共线 ⑵设存在实数λ使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2) ∴ k =λ且k λ=1 ∴k =1± 19.⑴由0=?AC AB 可知AC AB ⊥即AB ⊥AC

⑵设D （x,y ）,∴)2,1(),5,5(),4,2(++==--=y x BD BC y x AD ∵BC AD ⊥ ∴5(x -2)+5(y -4)=0

∵BC BD // ∴5(x +1)－5(y +2)=0 ∴???

?

??

?

==2

527

y x ∴D(25,

27))2

3

,23(-=AD 20.⑴2

26

||),25,21()23,25(=--=∴CM CM M

⑵设P （x,y ）

44||22

,59||33

APQ APQ BPQC ABC S S AP AP AB S S AB ???=∴=∴=∴= )1,3(32)2,1(-=

--∴y x )3

4,3(P ∴ 21. 当b 与a +λb (λ∈R)垂直时，b ·(a +λb )=0,∴λ= -2

a b

b | a +λb |=2222λλ++b a b a =222

222

()()λ++-a b a b b a b b 当λ= -2

a b

b 时，| a +λb |取得最小值. ∴当b 与a +λb (λ∈R)垂直时，a +λb 的模取得最小值. 22. (1）a ·b =2sin 2x +1≥1

c ·

d =2cos 2x +1≥1

（2）∵f (1-x )=f (1+x ) ∴f (x )图象关于x =1对称

当二次项系数m >0时, f (x )在（1，+∞）内单调递增， 由f (a ·b )>f (c ·d )? a ·b > c ·d , 即2sin 2x +1>2cos 2x +1 又∵x ∈[0,π] ∴x ∈3(,)4

4

ππ

当二次项系数m <0时,f (x )在（1，+∞）内单调递减， 由f (a ·b )>f (c ·d )? a ·b > c ·d , 即2sin 2x +1<2cos 2x +1 又∵x ∈[0,π] ∴x ∈3[0,)(,]4

4

ππ

π、

故当m >0时不等式的解集为3(,)4

4

ππ;当m <0时不等式的解集为3[0,)(,]4

4

ππ

π、