2019年北京市朝阳区二模试题数学【理科】试题及答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数

2018．5

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+

（A ）32x x ??≥

???? （B ）322x x ??

≤

（C ）{}

12x x << （D ）322x

x ??

<

（2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是

（A ）33log log a b < （B ）1

1()()4

4

a

b

> （C ）

11

a b

< （D ）22a b < （3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整

数a 的可能取值的集合是 （A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6

（4）已知函数()π

()sin (0,0,)2

f x A x A ω?ω?=+>><的

部分图象如图所示，则?=

（A ）π6

- （B ）6π

（C ）π

3

- （D ）π3

（5）已知命题p ：复数1i

i

z +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ?>，cos x x =，则下列

（A ）()()p q ?∧? （B ）()p q ?∧ （C ）()p q ∧? （D ）p q ∧

π

3π122

-2

O y x

开始 i =0

结束

i =i +1

a >13?

输出i 是

否

a =2a +3 输入a

（6）若双曲线2

2

2

1(0)y x b b

-

=>的一条渐近线与圆22

(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是

（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C

） （D

）)+∞ （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．

若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是 （A ）60万元 （B ）80万元 （C ）90万元 （D ）100万元

（8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向

滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位 置时，点P 的轨迹长度是 （A ）

83π （B ）163

π

（C ）4π （D ）5π

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

（9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60?，则2+=a b ____． （10）5

(12)x -的展开式中3

x 项的系数为___．（用数字表示）

（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M

作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ?=_____．

（12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．

（13）已知数列

{}n a 的前n 项和

为n S ，且满足

24()

n n S a n *=-∈N

A （第11题图）

2

侧视图

正视图

B

A

，则n a = ；

数列2{log }n a 的前n 项和为 ．

（14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下

列函数

①1()1f x x =

-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()x f x x

=； ④()sin f x x x =， 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3

A 2π

=

，3b =，△ABC

． （Ⅰ）求边a 的长； （Ⅱ）求cos2B 的值．

（16）（本小题满分13分）

某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，

[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计

从全市高中学生中任意选取一人，其参 加社区服务时间不少于90小时的概率；

（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．

（17）（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，

BD 中点，2PA PD AD ===．

（Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使

服务时间/小时

C

D

P E

GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的

位置；若不存在，说明理由．

（18）（本小题满分13分）

已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．

（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1

2

，右焦点到右顶点的距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r

成

立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.

（20）（本小题满分13分）

已知1x ，2x 是函数2

()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设

120

()n

n r r

n r T x x n -*==∈∑N ．

（Ⅰ）用m ，t 表示1T ，2T ； （Ⅱ）求证：543T mT tT =--；

（Ⅲ）求证：对任意的,n n T *

∈∈N Z ．

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数

2018．5

15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ?=

得，13sin 23ABC S c ?2π=??=． 所以5c =．

由2222cos a b c bc A =+-得，2

2

2

35235cos

493

a 2π

=+-???=， 所以7a =． ……………7分

（Ⅱ）由sin sin a b

A B

=3sin B =，

所以sin 14

B =

． 所以2

71

cos 212sin 98

B B =-=． ……………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意，

参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560??=（人）， 参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520??=（人）． 所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的

概率估计为6020802.2002005

P +=== ……………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2

.5

由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．

所以0

0332

327(0)()()55125

P C ξ==?=

； 11

232354(1)()()55125P C ξ==?=

； 22132336

(2)()()55125P C ξ==?=

； 33

03238(3)()()55125

P C ξ==?=

． 随机变量ξ的分布列为

因为 ξ~2(3)5B ，，所以355

E ξ=?

=． ……………13分 17．（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）如图，连结AC ． 因为底面ABCD 是正方形，

所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．

在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PC ．

又因为EF ?平面PBC ，PC ?平面PBC ，

所以EF ∥平面PBC ． ……………4分 （Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =， 所以PO AD ⊥．

因为面PAD ⊥底面ABCD ， 且面PAD

I 面=ABCD AD ， 所以PO ⊥面ABCD ．

因为OF ?平面ABCD 所以PO OF ⊥． 又因为F 是AC 中点，

所以OF AD ⊥．

如图，以O 为原点，,,

OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直

角坐标系．

因为2PA PD AD ===，所以OP =则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，

E P D

C

B

A

F

P

，1(2E ，(0,1,0)F ．

于是(0,2,0)AB =u u u r

，3(2DE =u u u r ，(1,1,0)DF =u u u r ． 因为OP ⊥面ABCD

，所以OP =u u u r

是平面FAD 的一个法向量．

设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．

因为0,0,

DF DE ??=???=??u u u r u u u r n n

所以00000,30,2

x y x z +=???+=??

即0000,

.y x z =-???=?? 令01x =

则=(1,1,-n ．

所以cos ,OP OP OP ?<>===?u u u r

u u u r u u u r

n n n

． 由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A

10分 （Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111(,,)G x y z ，

则111=(,1,)FG x y z -u u u r

． 由（Ⅱ）可知平面EDF

的一个法向量是=(1,1,-n ．

因为GF ⊥面EDF ，所以=FG λu u u r

n ．

于是，111,1,x y z λλ=-=-=

，即111,1,x y z λλ==-=．

又因为点G 在棱PC 上，所以GC u u u r 与PC uuu r

共线．

因为(1,2,PC =-u u u r ，111(+1,2,)CG x y z =-u u u r

，

所以

111212x y +--==．

所以

1112λλ+---==

，无解． 故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． ……………14分 18．（本小题满分13分）

（Ⅰ）由已知得21

()2e

x f x a +'=-． 因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直， 所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．

所以e a =． ……………3分

（Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21

()2e

x f x a +'=-． （1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞． （2）当0a >时，

令()0f x '>，得11ln 222a x >

-，所以()f x 的单调增区间是11

(ln ,)222a -+∞； 令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11

(,ln )222

a -∞-．

综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；

当0a >时，()f x 的单调增区间是11

(ln

,)2

22a -+∞， ()f x 的单调减区间是11

(,ln )222

a -∞-． ……………8分

（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ． “当(0,1]x ∈时，21()e 11x f x ax +=-+≥恒成立”

等价于“当(0,1]x ∈时，21

e x a x

+≤恒成立．”

设21

e ()x g x x

+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”

21

2

(21)e ()x x g x x +-'=． 令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1

(0, )2上为减函数；

令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1

(,1]2上为增函数．

所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且2

1()2e 2

g =．

所以22e a ≤． 又因为a 32e <，

所以实数a 的取值范围2

2(,e ]-∞． ……………13分

（Ⅲ）另解：

（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+．

所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．

（2）当02e a <≤时， 可得

11

ln 0222

a -≤． 由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11

(ln

,)222

a -+∞， 所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()f x ≥1成立．

（3）当32e 2e a <<时，可得11

0ln 1222a <-<．

由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11

(ln ,1]222

a -为增函数，

所以函数()f x 在11

ln 222a x =-处取最小值，

且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222

a a a a a a a

f a -=-++=-+．

当[0,1]x ∈时，要使()f x ≥1成立，只需ln 1122

a a

a -+≥，

解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤．

综上所述，实数a 的取值范围2

2(,e ]-∞．

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22

221x y a b +=()0a b >>，半焦距为c .

依题意1

2

c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．

解得1c =，2a =．

所以222

3b a c =-=．

所以椭圆C 的标准方程是22

143x y +=． ……………4分 （Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r

成立.理由如下：

由22,1,4

3y kx m x y =+???+=??得222(34)84120k x kmx m +++-=．

222(8)4(34)(412)0km k m ?=-+->，化简得2234k m +>． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则

122

834km

x x k +=-

+，212241234m x x k -=+． 若22OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r

成立， 即2222OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，等价于0OA OB ?=u u u r u u u r

．所以12120x x y y +=． 1212()()0x x kx m kx m +++=， 221212(1)()0k x x km x x m ++++=，

22

222

4128(1)03434m km

k km m k k -+?-?+=++, 化简得，22

71212m k =+．

将2

27112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12

m m +->，

解得，2

34

m >．

又由227121212m k =+≥，2

127

m ≥，

从而2

127m ≥

，m ≥

m ≤

所以实数m

的取值范围是(,)-∞+∞U ． ……………14分

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =．

因为1

20n

n r

r

n r T x

x

-==

∑，所以1

11

12120

r r r T x x x x m -===+=-∑．

2222

22212112212120

()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑． …………3分

（Ⅱ）由12

k

k r r

k r T x

x -==

∑，得

54

5455

51211221420

r r r r r r T x x x x x x x T x --====+=+∑∑．

即55142T x T x =+，同理，4

4132T x T x =+． 所以5

241232x T x x T x =+．

所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--．……………8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明．

（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．

（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数． 由12

k

k r r k r T x

x -==

∑，得1

11

112

11220

k k

k r r

k r r k k r r T x

x x x x x ++--++====+∑∑．

即1

112k k k T x T x ++=+．

所以112k k k T x T x -=+，1

21212k k k x T x x T x +-=+．

所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-． 即11k k k T mT tT +-=--．

由1,k k T T -都是整数，且m ，t ∈Z ，所以1k T +也是整数． 即1n k =+时，结论也成立． 由（1）（2）可知，对于一切n *

∈N ，1

20

n

n r

r r x

x -=∑的值都是整数． ………13分