一元二次方程重难点专练(人教版)
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?因式分解法
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一元二次方程?一元二次方程根的判别式
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?一元二次方程根与系数的关系(*)
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【一元二次方程根的判别式】
1.如果关于x 的一元二次方程kx2 -
么k 的取值范围是（）
A.k <1 2
C．-1
≤k <
1
2 2
x +1 = 0 有两个不相等的实数根，那
B.k <
1
且k≠0
2
D．-
1
≤ k <
1
且k≠0
2 2
2k +1
2.若一元二次方程mx2 +
围为．
x -1 = 0 有两个不相等的实数根，则m 的取值范3.已知关于x 的一元二次方程(a +c)x2 + 2bx + (a -c) = 0 ，其中a，b，c 分别为
△ABC 的三边长．
（1）如果x=-1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
4.已知关于x 的一元二次方程x2 - (2k +1)x +k 2 +k = 0 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC 的两边AB，AC 的长度是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．
【一元二次方程应用题】
5.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，则每轮传染中平均
一个人传染了个人．
6.组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等
条件，赛程计划安排7 天，每天安排4 场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（）
A．x(x +1) = 28 B．1
x(x +1) = 28
2
C．x(x -1) = 28 D．
1
x(x -1) = 28
2
m -1
7.为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知
2015 年该市投入基础教育经费5000 万元，自2015 年到2017 年三年共投入基础教育经费18 200 万元．
（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018 年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500 台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500 元，购买一台实物投影仪需2000 元，则最多可购买电脑多少台？
8.郑州某烘培店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产
品每天生产76 件，每件利润10 元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2 元．
（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14 元，此批次蛋糕属第几档次产品？
（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4 件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080 元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
9.某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因
素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7 倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100 千克，销售均价为30 元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200 千克，销售均价为20 元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m 的值．
一元二次方程知识点总结
一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数de 最高次数是2de 整式方程叫做一元二次 方程。 2、一元二次方程de 一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它de 特征是：等式左边十一个 关于未知数xde 二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做 二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项 系数；c 叫做常数项。 3.一元二次方程de 解法 (1)直接开平方法:利用平方根de 定义直接开平方求一元二次方程de 解de 方法叫做直接开 平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(de 一元二次方程。根 据平方根de 定义可知，a x +是bde 平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 (2)配方法:配方法de 理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中dea 看 做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法de 步骤：先把常数项移到方程de 右边，再把二次项de 系数化为1，再同时加上1 次项de 系数de 一半de 平方，最后配成完全平方公式 (3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程de 解de 方法，它是解一元二次方程de 一般 方法。一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax de 求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法de 步骤：就把一元二次方程de 各系数分别代入，这里二次项de 系数为a ，一次项 de 系数为b ，常数项de 系数为c (4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解de 手段，求出方程de 解de 方法，这种方法 简单易行，是解一元二次方程最常用de 方法。 分解因式法de 步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指 de 是分解因式中de 公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积 de 形式 4.一元二次方程根de 判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一 元二次方程)0(02≠=++a c bx ax de 根de 判别式，通常用 “?”来表示，即ac b 42 -=? I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等de 实数根；
一元二次方程学习中的重难点
一元二次方程学习中的重难点 第一部分：搞明白要做什么 1.首先，我们的教学目标如下： （1）会用公式法解一元二次方程； （2）经历求根公式的发现和探究过程，提高学生观察能力、分析能力以及逻辑思维能力；（3）渗透化归思想,领悟配方法，感受数学的内在美. 2.其次，我们的教学重难点如下 （1）教学重点 知识层面:公式的推导和用公式法解一元二次方程; 能力层面:以求根公式的发现和探究为载体,渗透化归的数学思想方法. （2）教学难点:求根公式的推导. 3.而后，总体设计思路: 以旧知识为起点,问题为主线,以教师指导下学生自主探究为基本方式,突出数学知识的内在联系与探究知识的方法,发展学生的理性思维. 第二部分：弄清楚要怎么做 1.我们的教学过程设计如下： 整体教学流程：形成表象,提出问题分析问题,探究本质得出结论,解决问题拓展应用,升华提高归纳小结,布置作业. 2.形成表象,提出问题 在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景. 解下列一元二次方程:(学生选两题做) (1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0; (3)4x2-16x+17=0 ; (4)3x2+4x+7=0. 然后让学生仔细观察四题的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处? 接着再改变上面每题的其中的一个系数,得到新的四个方程:（学生不做,思考其解题过程） (1)3x2+4x+2=0; (2)3x2-2x+1=0; (3)4x2-16x-3=0 ; (4)3x2+x+7=0. 思考:新的四题与原题的解题过程会发生什么变化? 设计意图:1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础; 2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望 3.分析问题,探究本质 由学生的观察讨论得到:用配方法解不同一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程----程序化的操作,不同之处是方程的根的情况及其方程的根.
新人教版初三数学一元二次方程应用题难题
全方位教学辅导教案
当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由. 5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，﹣3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积． 课堂 检测 1、阅读下列材料：求函数的最大值． 解：将原函数转化成x 的一元二次方程，得 ． ∵x 为实数，∴△= =﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y 的最大值为4． 根据材料给你的启示，求函数的最小值． 2、铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x 月的利润的月平均值w （万元）满足w=10x+90． （1）设使用回收净化设备后的1至x 月的利润和为y ，请写出y 与x 的函数关系式． （2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？ 3、某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元． （1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元； （2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利） 4、已知：?ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2﹣mx+﹣=0的两个实数根． （1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB 的长为2，那么?ABCD 的周长是多少？ 5、如果方程02=++q px x 的两个根是1x 、2x ，那么p x x -=+21，q x x =?21。请根据以上 结论，解决下列问题： （1）已知方程02)2(2=--+k x k x 的两根1x 、2x 之和121=+x x ，求1x 、2x ； （2）如果a 、b 满足0222=-+a a 、0222=-+b b ，求a b b a +的值。 6、某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，?以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营． （1）如果第一年的年获利率为p ，那么第一年年终的总资金是多少万元?（? O x A M N B P C
一元二次方程重难点
一．一元二次方程的定义 二．有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题） 三．一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法） 四．含绝对值的一元二次方程 五．根的判别式及韦达定理 ①根与系数的关系——对方程根的个数的判别 ②利用判别式解参数取值范围——含参变量的一元二次方程 ③通过判别式，证明方程根的个数问题 ④利用韦达定理求代数式的值（2 21212121212 11,,,,x x x x x x x x x x +-±±等） ⑤利用韦达定理求参数的值 五．一元二次方程整数根问题 六．一元二次方程的应用 一．一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程 一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项． 二．有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题） 关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件） 1.与根有关的代数式化简求值 【例】已知x 是一元二次方程x 2 +3x-1=0的实数根，求代数式：2 35 (2)362 x x x x x -÷+---的值． 知识导航 一元二次方程重难点 基础学习
【巩固】先化简，再求值：222412()4422 a a a a a --÷-+--，其中a 是方程x 2 +3x+1=0的根． 2.公共解问题 【思考】已知两个二次方程x 2 +ax+b=0与x 2 +cx+d=0有一个公共根为1，求证：二次方程 2022 a c b d x x +++ +=也有一个根为1． 【例1】一元二次方程x 2 ?2x ?54＝0的某个根，也是一元二次方程x 2 ?(k +2)x +94 ＝0的根，求k 的值． 【巩固】当k 为何值时，方程x 2-（k+2）x+12=0和方程2x 2 -（3k+1）x+30=0有一公共根？ 求出此公共根． 【变式1】若两个不同的关于x 的方程x 2 +x+a=0与x 2 +ax+1=0有一个共同的实数根，求a 的值及这两个方程的公共实数根．
一元二次方程应用题经典题型汇总含答案
z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0， 解这个方程，得a1＝25，a2＝31. 因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答需要进货100件，每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.
例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0. 解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？ 解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m. 则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0. 解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1. 所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5. 答渠道的上口宽2.5m，渠深1m. 说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.
人教版21章一元二次方程知识点总结
21章 一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。 二、 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2 =x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等） 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=； （2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=； （3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±= 。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 （一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： （1） 把一元二次方程化成一般形式 （2） 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这 个数； （3） 把原方程变为()n m x =+2的形式。 （4） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。 （二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； （3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式； （4）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程难题、易错题
一元二次方程 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．()032132 =-+--m x m mx 求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；
2．(2009年广东中山)已知：关于x 的方程2210x kx +-= （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值． 3.（2009年重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状. 例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2 2=+-+x a x a 有两个实数根. 例 3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49-≤k (B)04 9≠-≥k k 且
(C)49- ≥k (D)049≠->k k 且 例：222()5()60x x x x ---+=，求x 的值 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） .m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
一元二次方程重难点
一．一元二次方程的定义 二．有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题） 三．一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法） 四．含绝对值的一元二次方程 五．根的判别式及韦达定理 ①根与系数的关系——对方程根的个数的判别 ②利用判别式解参数取值围——含参变量的一元二次方程 ③通过判别式，证明方程根的个数问题 ④利用韦达定理求代数式的值（221212121212 11,,, ,x x x x x x x x x x +-±±等） ⑤利用韦达定理求参数的值 五．一元二次方程整数根问题 六．一元二次方程的应用 一．一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程 一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项． 二．有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题） 关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件） 1.与根有关的代数式化简求值 【例】已知x 是一元二次方程x 2+3x-1=0的实数根，求代数式： 235(2)362 x x x x x -÷+---的值． 知识导航 一元二次方程重难点 基础学习
【巩固】先化简，再求值：222412()4422a a a a a --÷-+--，其中a 是方程x 2+3x+1=0的根． 2.公共解问题 【思考】已知两个二次方程x 2+ax+b=0与x 2+cx+d=0有一个公共根为1，求证：二次方程2 022 a c b d x x ++++=也有一个根为1． 【例1】一元二次方程x 2?2x ? 54＝0的某个根，也是一元二次方程x 2?(k +2)x +94 ＝0的根，求k 的值． 【巩固】当k 为何值时，方程x 2-（k+2）x+12=0和方程2x 2-（3k+1）x+30=0有一公共根？求出此公共根． 【变式1】若两个不同的关于x 的方程x 2+x+a=0与x 2+ax+1=0有一个共同的实数根，求a 的值及这两个方程的公共实数根．
一元二次方程难题、易错题
一元二次方程 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．()032132 =-+--m x m mx 求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； （2010年广东省广州市）已知关于x 的一元二次方程)0(012 ≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4 )2(222 -+-b a ab 的值。 2．(2009年广东中山)已知：关于x 的方程2210x kx +-= （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值．
3.（2009年重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状. 例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2 2=+-+x a x a 有两个实数根. 例3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根, 求k 的取值范围. 例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49- ≤k (B)04 9≠-≥k k 且 (C)49-≥k (D)049≠->k k 且 例：222 ()5()60x x x x ---+=，求x 的值 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582 =+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
一元二次方程知识点大全
一元二次方程知识点小结 1. 一元二次方程的定义及一般形式： （1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数 式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 （2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数， b 为一次项系数， c 为常数项。 注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整 式方程。 2. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法： 形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得 x a +=x a +=∴x a =- 注意：若b<0，方程无解 （2）因式分解法： 一般步骤如下： ①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0； ②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。 （3） 配方法: 用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤 ①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； ②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 2()(0)x m n n +=≥的形式； ④用直接开平方法解变形后的方程。 注意：当0n <时，方程无解 （4） 公式法： 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ?=- 0?>?方程有两个不相等的实根:x =（240b ac -≥）0?=?方程有两个相等的实根 0?
一元二次方程难点归类精编版
第六课时一元二次方程难点专项 专训一：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值名师点金：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在：利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题等． 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1．已知(m－3)x2＋m＋2x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是() A．m≠3 B．m≥3 C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3 2．已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0. (1)m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程． (2)m取何值时，它是一元一次方程？ 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3．若关于x的一元二次方程(3a－6)x2＋(a2－4)x＋a＋9＝0没有一次项，则a＝________. 4．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为0，求m的值． 利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值 5．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为()
A．－1 B．0 C．1 D．2 6．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0的一个根为0，求k 的值． 7．已知实数a是一元二次方程x2－2 016x＋1＝0的一个根，求代数式a2－2 015a－a2＋1 2 016的值． 利用一元二次方程根的概念解决探究性问题 8．已知m，n是方程x2－2x－1＝0的两个根，是否存在实数a使(7m2－14m ＋a)(3n2－6n－7)的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 专训二：一元二次方程的解法归类 名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果． 限定方法解一元二次方程 方法1形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1．方程4x2－25＝0的解为()
一元二次方程经典考题难题
一元二次方程经典考题难题 用适当的方法解下列方程 16)5(42=-x 0)12(532=++x x 04222=-+x x 22)3(4)12(+=-x x 9)32(4)32(122++=+x x 11.02.02=+x x 0)2(2)2)(1(3)1(222=---+++x x x x 6)53)(43(22=++++x x x x x x x 9)1(22=- 20)7)(5)(3)(1(=++++x x x x
1、若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac 4b 2 -=△和完全平方式2)2(b at M +=的关系式（） A △=M B △＞M C △＜M D 大小关系不能确定 2、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中a,b,c 满足9a-3b+c=0，则该方程有一根是______ 3、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ，则c bx x ++2分解因式的结果是______ 4、在实数范围内因式分解：=--742x x __________________ 5、已知03442=+--x x ，则=-+31232x x __________________ 6、m mx x ++24是一个完全平方式，则m=________________________ 7、已知,)2 1(822m x a x ax ++=++则a 和m 的值分别是__________________ 8、当k=_________时，方程012)3(2=++--k x x k 是关于x 的一元二次方程？ 9、关于x 的方程032)4()16(2 2=++++-m x m x m 当m______时，是一元一次方程：当m______时，是一元一次方程。 10、已知012=--x x ，则2009223++-x x 的值为__________ 11、已知012)()(22222=-+++y x y x ，则22y x +=_______ 12、试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a ，无论a 取何值，该方程都是一元二次方程
一元二次方程导入课重点和难点突破教学设计
一元二次方程导入课重点难点突破教学设计 一元二次方程的两个根不一定都是实际问题的解，本节的重难点是根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理． 突破设计 一．列方程解应用题的步骤是：审题，设未知数，列方程，解方程，检验，答题．实际问题的解，不仅要满足所列方程，还应符合实际问题的具体题意．因此，求出方程的解后一定要进行检验，以确定实际问题的答案．在以前学习一元一次方程、二元一次方程组的应用题时，因为一般只有一个（组）解，往往符合实际意义，所以很少检验是否符合题意．而列一元二次方程解应用题时，方程的解一般有两个，这时就需要判断两个解是否都符合题意． 二．要注意培养学生良好的解题习惯，包括借助直观方法分析题意、检验所得方程及其根的实际意义，找出合乎实际的结果等．方程的解是不是实际问题的解，要根据实际意义来判断，不能想当然地主观判断．1.方程有负数解，不符合实际意义需舍掉；2.虽然方程的两个解都是正数，但实际问题要求的解有范围限制，有的方程的解不在要求的范围内，所以它们并不都是实际问题的解；有时实际问题要求是整数解时，方程有分数解，不符合实际意义需舍掉．例题解读 1.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 【解析】设每件衬衫应降价x元, 由题意,得(40-x)(20+2x)=1200, 解方程得,x1=10,x2=20. 因为要尽量减少库存,所以x=20. 答:每件衬衫应降价20元. 2若把上面的问题换为:某商店购进一种商品,单价30元,试销中发现这种商品每天的销售量p(件)与每天的销售价x(元)满足关系:p=100-2x,若商店每天销售这种商品要获得200元的销售利润,那么每件商品的售价应为多少元?每天要售出这种商品多少件? 【解析】根据题意得:(x-30)(100-2x)=200, 整理得:x2-80x+1600=0, ∴(x-40)2=0, ∴x=40, ∴p=100-2x=20(件). 答:每件商品的售价应定为40元,每天要销售这种商品20件. 3.如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2,求道路的宽. (部分参考数据:322=1024,522=2704,482=2304) 【解析】利用平移,原图可转化为右图,设道路宽为x米, 根据题意得:(20-x)(32-x)=540.
《一元二次方程的解法》教案
《一元二次方程的解法》教案 教学内容 1.给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程． 2.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念． 3.因式分解的探究及其方法． 教学目标 1.了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 2.通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目． 3.会熟练应用公式法解一元二次方程． 4.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程． 重难点关键 重点： 1.讲清配方法的解题步骤． 2.求根公式的推导和公式法的应用． 3.应用因式分解法解一元二次方程． 难点与关键： 1.把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方． 2.一元二次方程求根公式法的推导． 3.将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式的因式分解． 教学过程 一、复习引入 (学生活动)解下列方程： (1)x2-8x+7=0 (2)x2+4x+1=0 老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：(1)x2-8x+(-4)2+7-(-4)2=0 (x-4)2=9 x-4=±3即x1=7，x2=1 (2)x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22 (x+2)2=3即x+2
x12，x2-2 二、探索新知 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例：解下列方程： (1)x2＝2 (2)4x2－1＝0 分析：第1题直接用开平方法解；第2题可先将－1移项，再两边同时除以4化为x2＝a的形式，再用直接开平方法解之. 例：解下列方程： (1)x2+6x+5=0 (2)2x2+6x-2=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方． 解：(1)移项，得：x2+6x=-5 配方：x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4 由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5 (2)移项，得：2x2+6x=-2 二次项系数化为1，得：x2+3x=-1 配方x2+3x+(3 2 )2=-1+( 3 2 )2(x+ 3 2 )2= 5 4 由此可得x+3 2 =± 2 ，即x1= 2 - 3 2 ，x2=- 2 - 3 2 (3)去括号，整理得：x2+4x-1=0 移项，得x2+4x=1 配方，得(x+2)2=5 x+2x12，x22 三、应用拓展 用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6 分析：因为如果展开(6x+7)2，那么方程就变得很复杂，如果把(6x+7)看为一个数y，那 么(6x+7)2=y2，其它的3x+4=1 2 (6x+7)+ 1 2 ，x+1= 1 6 (6x+7)- 1 6 ，因此，方程就转化为y的方程， 像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y 则3x+4=1 2 y+ 1 2 ，x+1= 1 6 y- 1 6
一元二次方程经典难题
1、已知关于x 的方程226250x x m m -+-+=的一个根为2，求另一个根及 的值。 2、已12x x 、知是方程22340x x +-=的两个根，利用根与系数的关系，求 42241212**x x x x +的值。 3、已知关于x 的方程22(1)10x m x m --++=的两根满足关系式121x x -=，求的值 及方程的两个根 4、已知关于的一元二次方程21(2)302 x m x m +-+ -= （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 （2）若这个方程的两个实数根12x x 、满足122+=m+1x x ，求 的值。 5、122+=m+1x x ，12+=m-2x x ， 211*32x x m = -，求m 6、已知方程222(2)40x m x m +-++=有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大 21，求的值。 7、已知关于的一元二次方程22(1)(1)10a x a x --++=两实根互为倒数，求a 8、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。 0、已知方程240x mx ++=和2(2)160x m x ---=一个相同的根，求 的值及这个相同的根。 10，求23610x x -+-的最值 11、已知a,b 是方程221140x x -+=的解， 求2 2920a a b -+=的值 12、关于x 的方程2(21)(1)0kx k x k -++-=，实数在什么范围取值时①有正的实数根？②同号？ 13、解不等式x 2+3x-10<0 14、已知关于的一元二次方程 01x 1()122=++--）（a x a 两实根互为倒数，求a 15、已知a 、b 是方程0522=-+x x 的两个实数根，求22a ab a ++的值。 16、已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
一元二次方程重难点专练
一元二次方程 ?????????????????????*???????????? 定义直接开平方法配方法解法公式法 因式分解法一元二次方程一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系()增长率型实际问题应用经济型 面积型 【一元二次方程根的判别式】 1. 如果关于x 的一元二次方程22110kx k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．12k < B ．12k <且k ≠0 C ．1122k -<≤ D ．112 2k -<≤且k ≠0
2. 若一元二次方程 210mx x -=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为___________． 3. 已知关于x 的一元二次方程 2()2()0a c x bx a c +++-=，其中a ，b ，c 分别为△ABC 的三边长． （1）如果x =-1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 4. 已知关于x 的一元二次方程 22(21)0x k x k k -+++=． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长度是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值． 【一元二次方程应用题】 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均 一个人传染了________________个人． 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间 等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（ ）
一元二次方程重难点专练(人教版)
? ? ? 一元二次方程 ?定义 ? ?直接开平方法 ??配方法 ?解法? ??公式法 ?? ?因式分解法 ? ? 一元二次方程?一元二次方程根的判别式 ? ? ?一元二次方程根与系数的关系(*) ? ? ??增长率型 ?? ?实际问题应用?经济型 ?面积型 ?? 【一元二次方程根的判别式】 1.如果关于x 的一元二次方程kx2 - 么k 的取值范围是（） A.k <1 2 C．-1 ≤k < 1 2 2 x +1 = 0 有两个不相等的实数根，那 B.k < 1 且k≠0 2 D．- 1 ≤ k < 1 且k≠0 2 2 2k +1
2.若一元二次方程mx2 + 围为． x -1 = 0 有两个不相等的实数根，则m 的取值范3.已知关于x 的一元二次方程(a +c)x2 + 2bx + (a -c) = 0 ，其中a，b，c 分别为 △ABC 的三边长． （1）如果x=-1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 4.已知关于x 的一元二次方程x2 - (2k +1)x +k 2 +k = 0 ． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC 的两边AB，AC 的长度是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值． 【一元二次方程应用题】 5.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，则每轮传染中平均 一个人传染了个人． 6.组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等 条件，赛程计划安排7 天，每天安排4 场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（） A．x(x +1) = 28 B．1 x(x +1) = 28 2 C．x(x -1) = 28 D． 1 x(x -1) = 28 2 m -1
人教版九年级数学一元二次方程重难点
专题二：一元二次方程根与系数的关系 知识点精讲 1.一元二次方程根的判别式 ⑴ 根的判别式：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 是否有实根，由 的符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用?表示，即 . ⑵ 一元二次方程根的情况与判别式的关系： ?>?0方程有 的实数根； ?=?0方程有 的实数根； ?