平行线角平分线构造等腰三角形专题
龙文教育
个性化辅导教案讲义任教科目：
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武汉龙文个性化教育
常青二校区
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武汉龙文教育学科辅导讲义
授课对象
授课教师 授课时间 授课题目 课 型
使用教具
教学目标
教学重点和难点
参考教材
教学流程及授课详案
一 由课本例题引入
1 近几年中考题往往由平行线，角平分线来推证同一三角形两个角相等，
从而推证两边相等。或者由其中两个条件推证另一个条件
例 (1)AD 是 ABC 的外角平分线，（2）AD // BC （3） 求证： ABC 是等腰三角形
分析讨论 想一想 能不能由（1）（3）证明（2） 或者（2）（3）证明（1）？
变式（2012京门） 已知：如图7－9，在ΔABC 中，CE 是角平分线，EG
∥BC ，交AC 边于F ，交∠ACB 的外角 （∠ACD ）的平分线于G ，探究线段EF
与FG 的数量关系并证明你的结论．
时间分配及备注
E
F
C
B
A
D 2试一试
1、 （2011）如图,AC 和BD 相交于O ，且AB ∥DC ，OA=OB, 求证：OC=OD.
2．（2012）如图，△ABC 中，AM ，CM 分别是角平分线，过M 作DE ∥AC 求证：AD+CE=DE
3．（2012）如图，∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ，CD ⊥OA 于D ，CE ∥AO 交OB 于E CE=20cm ，求CD 的长。
4．（2012）如图，△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，则图中等腰三角形的个数（ ）
（A ）1个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个
5（2012北京）、如右图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF 等于（ ）
Ａ．5 Ｂ．4 C ． 3 D ．2
O
D
C
B
A
A
E
B
C
D 第16题
6、（本题10分）如图，四边形ABCD 中，AD∥BC ，∠ABD =30o ，AB=AD ，DC ⊥BC 于点C ，若BD =2，求CD 的长。
二 由平行线想到全等三角形和等腰三角形。
例1（2012上海）. 如图，已知，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。并证明这个命题（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF
已知：EG ∥AF,_______,_________. 求证：___________. 证明:
变式．(7分)已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，D 点在AB 上，E 点在AC 的延长线上，且BD=CE ，连接DE ，交BC 于F.求证：DF=EF.
G
F
E
D
C
B
A
A
D
B
C
第6题
F
E
C
D
B
A
例2（2012浙江）．（8分）如图， AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm ，
求四边形ABCD 的周长．[来源:Z*xx*https://www.360docs.net/doc/5d9623892.html,]
三 课堂小结
1 当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等
：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法： （1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割） （2）、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）
例题5、如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，求证AB=AC+BD
当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等 例题6、已知∠B=∠E=90°，CE=CB ，AB ∥CD. 求证：△ADC 是等腰三角形
A
C
E
B
D
例题7、已知：如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，DB=DC ， 求证：EB=FC
四 走进中考考场
．1（2012广东）如图，等边△ABC 的三条角平分线相交于点O ，过点O 作 EF ∥BC ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则图中的等腰△有（ * ）。个
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2如图（2012四川），过线段AB 的两个端点作射线AM ，BN ，使AM ∥BN ，请按以下
步骤画图并回答．
（1）画∠MAB 、∠NBA 的平分线交于点E ，∠AEB 是什么角？
（2）过点E 任作一线段交AM 于点D ，交BN 于点C ．观察线段DE 、CE ，有什么发现？请证明你的猜想．
（3）试猜想AD ，BC 与AB 有什么数量关系？
A F
E
C B
O
3（2012）如图3，在△ABC 中BC=5cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角的平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则△PDE 的周长是_______cm
4（2012）（10分）已知如图（1）：△ABC 中，AB=AC ，∠B 、∠C 的平
分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F 。
（3分）①图中有几个等腰三角形？且EF 与BE 、CF 间有怎样的关系？(不证明)
（3分）②若AB ≠AC ，其他条件不变，如图（2），图中还有等腰三角形吗？如果有， 请分别指出它们。另第①问中EF 与BE 、CF 间的关系还存在吗？（不证明）
（4分）③若△ABC 中，AB ≠AC ，∠B 的平分线与三角形外角∠ACD 的平分线CO 交于O ，
过O 点作OE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F 。如图（3），这时图中还有等腰三角形吗？EF 与BE 、CF 间的关系如何？为什么（要证明你的结论）？
B
A P
C
D
E
图 3
(3)
D
C O
F
A E
B
(1)
C
B
F O
E A (2)
B
C
F O
E
A
相似三角形-构造相似辅助线双垂直模型
构造相似辅助线（1）——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx 的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB． 9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y 轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D 点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（） A. B. C. D.
10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。
6.答案：解：分两种情况 第一种情况，图象经过第一、三象限 过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴ ∵A（2，1），＝45°∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB ∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1 ∴D点坐标为（2，3）∴B点坐标为（1，3） ∴此时正比例函数表达式为：y＝3x 第二种情况，图象经过第二、四象限 过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC 则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴
全等三角形与角平分线经典题型
全等三角形与角平分线 一、知识概述 1、角的平分线的作法 （1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE. （2）分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB 内一点C. （3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图） 指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”. （2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接. 2、角平分线的性质 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长. （2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.即不需再用老方法——全等三角形. （3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”. 3、角平分线的判定 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的. （2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么
过角的顶点和该点的射线必平分这个角. 4、三角形的角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等. 指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上. （2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题. 二、典型例题剖析 例1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF. 例2、如图所示，BE、CF是△ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC.求证：OB=OC. 例3、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （）
初三数学《相似三角形》知识点归纳
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
初中数学相似三角形知识库平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则 BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . l 3 l 2l 1F E D C B A 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则 AD AE DE AB AC BC == A B C D E E D C B A 3. 平行的判定定理：如上图，如果有 BC DE AC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。 E D C B A 【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111 c a b =+. F E D C B A 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和 BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明： 111 AB CD EF += . F E D C B A 【巩固】如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作
EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。 O F E D C B A 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。 Q P F E D C B A 专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题） （1）如图（1），在ABC ?中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14 AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =_______. （2）如图（2），已知ABC ?中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF FC FD + 的值为（ ） A.5 2 B.1 C.32 D.2 (1) M E D C B A (2) F E D C B A 【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ?中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当 1A 2AE C =时，求 AO AD 的值； E A O
用角平分线构造全等三角形
善于构造 活用性质 几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题. 1．显“距离”, 用性质 很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段） 例1 三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点． 已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上． 证明：过点I 作IH ⊥AB ,IG ⊥AC ,IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH =IG （角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH =IF ∴IG =IF （等量代换） 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC ∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点． 例2 已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，?它们交于点P ， PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ． 求证：BP 为∠MBN 的平分线． D C B A E H I F G
【分析】要证BP为∠MBN的平分线，只需证PD=PF，而PA、PC为外角平分线，?故可过P作PE⊥AC于E．根据角平分线性质定理有PD=PE，PF=PE，则有PD=PF，故问题得证．【证明】过P作PE⊥AC于E． ∵PA，PC分别为∠MAC与∠NCA的平分线．且PD⊥BM，PF⊥BN ∴PD=PE，PF=PE,∴PD=PF 又∵PD⊥BM，PF⊥BN,∴点P在∠MBN的平分线上， 即BP是∠MBN的平分线． 2.构距离,造全等 有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题． 例3 △ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB?上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由． 解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求． 因为∠C=90°，AC=BC，又DE⊥AB，∴DE=EB． ∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB，∴CD=DE． 由“H L”可证Rt△ACD≌Rt△AED．∴AC=AE． ∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB． 例4 如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB． 求证：AD=CD+AB．
第27章.相似——专训2：巧作平行线构造相似三角形
第27章.相似——专训2：巧作平行线构造相似三角形 名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，做平行线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的平行线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形． 巧连线段的中点构造相似三角形 1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP ：PQ ： QD. (第1题 ) 过顶点作平行线构造相似三角形 2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BF ：AF ＝3：2，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值． (第2题) 3.如图，已知△ABC 中，AD 为BC 边上中线，过C 任作一条直线交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB ． (第3题 ) 过一边上的点作平行线构造相似三角形 4．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC . (第4题 ) 过一点作平行线构造相似三角形 5．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝1 4 AB ，连接EM 并延 长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD. 作辅助线的方法一： (第5题①) 作辅助线的方法二： (第5题②) 作辅助线的方法三： (第5题③) 作辅助线的方法四： (第5题④)
相似三角形之常用辅助线
相似三角形之常用辅助线 在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要 通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。 专题一、添加平行线构造“ A ”“X ”型 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 定理的基本图形： 例1、平行四边形ABCD中, E为AB中点，AF: FA 1 : 2,求AG GC
变式练习： 如图，直线交厶ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若—；；=2,求BE:EA的比 值. 例3、BE^ AD,求证：EF- BO AC- DF 变式练习： 已知在△ ABC中，AD是/ BAC的平分线.求证: AB BD AC CD BD 例2、如图，直线交△ ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若 - DC FC =2,求BE:EA的比值. FA （本题有多种解法，多想想）
变式1、如图，△ ABC中，AB 说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧?在解题中方法要灵活，思路要开阔. 总结：（1）遇燕尾，作平行，构造.字一般行。 （2）引平行线应注意以下几点： 1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在冋一直线的线段的端点作为引平行 线的点。 2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。 专题二、作垂线构造相似直角三角形 基本图形 例1、如图, ABC 中，AB AC, BD AC,那么BC22CA CD吗？试说明理由？（用多种 C E O D B A 2 1C E D B A 214 3 O A 全等三角形专题讲解 专题一 全等三角形判别方法的应用 专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”，“边边边”） 2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”，“边角边”） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”，“角边角”） 4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”，“角角边”） 而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”, “斜边、直角边”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等． 三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？ （1）条件充足时直接应用 在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等． 例1 已知：如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对． 分析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90o．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90o， ∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由 AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90o，∠BAC 为公 共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又 ∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ． 所以图中全等的三角形一共有4对． （2）条件不足，会增加条件用判别方法 此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案． 例2 如图，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____． 分析：要使△ABC ≌△ADE ，注意到∠1=∠2， 所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，即∠BAC=∠EAC ． 要使△ABC ≌△ADE ，根据SAS 可知只需AC=AE 即可； 根据ASA 可知只需∠B=∠D ；根据AAS 可知只需∠C=∠E ． 故可添加的条件是AC=AE 或∠B=∠D 或∠C=∠E ． （3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时， 当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系， 使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等． 例3 已知：如图，AB=AC ，∠1=∠2． 平行线及角平分线类相似 中考要求 重难点 1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化 课前预习 上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？ 不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以2，正是赤道的时分度；搭高乘以10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3．1415926……；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材內部尺寸，正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数——345 ∶∶． 数学的趣味是无法言语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘． 例题精讲 模块一 平行线类相似问题 平行线类相似的基本模型有 ?模型一、二类综合题 【例1】 如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且1 4 AE AB = ，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =____ ___． M E C B A 【难度】3星 【解析】先介绍常规的解法： B C F E D M A B C F E D M A 如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB = ∴2BF EF = ∵//CF DE ∴ 2BC BF CD EF == 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出． 27.2.1 相似三角形及平行线分线段成比例 一、教学目标： 知识目标 理解并掌握相似三角形及平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 能力目标 通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 情感态度与价值观 （1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识 在生活中的价值。 （2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合 作交流的习惯。 二、重、难点 重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。 难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。 三、教学过程 1、复习设疑，引入新课 内容：教师提问： （1）什么是成比例线段？ （2）什么是相似多边形？ （3）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比 是2:3？ 目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线 段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。 效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3，这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。 2、小组活动，探究定理 探究活动一： 内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥ c ,分别交直线m,n 于 A 1，A 2 ，A 3 ，B 1 ，B 2 ，B 3 。 （１）计算 1212 2323 ,A A B B A A B B 你有什么发现？ （２）将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A 2，B 2 。你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？ (图2） （３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 目的：让学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动，达到对平行线分线段成比例定理的意会、感悟。 效果：学生在以前的学习中，尤其是本章前两节的探究也是通过表格中的多边形来完成的。所以学生有种熟悉感，并不感到困难。 2.议一议： 内容：教师提问： 1.如何理解“对应线段”？ 2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？ 3.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？ 全等三角形中的角平 分线 中考要求 知识点睛 板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 Ｃ级要求 全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和 性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题 全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的，公共边常是对应边． （４）有公共角的，公共角常是对应角． （5）有对顶角的，对顶角常是对应角. （6)两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边(或对应角）,一对最短边(或最小角）是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： （1） 边角边定理(SA Ｓ)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (２) 角边角定理(A ＳＡ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. （３） 边边边定理(S ＳS ）:三边对应相等的两个三角形全等. (４) 角角边定理(A ＡS ）:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (５) 斜边、直角边定理（H Ｌ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线. 第十讲 例题精讲 奥数赛点:能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 与角平分线相关的问题 角平分线的两个性质： ⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等; ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性． 角平分线是天然的、涉及对称的模型,一般情况下，有下列三种作辅助线的方式: 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线， 2. 过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形, 3. OA OB =,这种对称的图形应用得也较为普遍， A B O P P O B A A B O P 【例1】 如图，已知ABC ?的周长是21,OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠,OD BC ⊥于 D ，且3OD =,求ABC ?的面积． 【例2】 在ABC ?中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =,求证:AB AC =． 【例3】 如图所示:AB AC =,AD AE =,CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DAE ∠． A D O C B D C B A 《相似三角形》知识点归纳 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 （1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? ， 交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-= ≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：512-长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：???????+-=+-- =-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ， 那么b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． 知识点3 比例线段的有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 知识点4 相似三角形的概念 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形． F E D C B A E A B C D 初三数学《相似三角形》知识提纲 （孟老师归 纳） :比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条 线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a，b的长度分别为m n，那么就说 这两条线段 的比是，或写成a：b=m n；其中a叫做比的前项, 项 2：比例尺=图上距离/实际距离 b叫做比的后 3:成比例线段：在四条线段a, b, c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例 线段，记作：b =—（或a：b=c：d） a c ①线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项， ..I.； I , ②线段a叫首项，d叫a，b，c的第四比例项。 ③ 比例中项：若a = b即&卩c,则b是a,c的比例中项. b c （二）比例式的性质 2. 1.比例的基本性质：a=c二ad=bc b d 合比：若-，则U =□或―a J b d b d b±a d±c 3?等比：若m k (右b d f .................... n = 0) n 则ace…… m =3 =巴* b d f .......................... n b n 4、黄金分割： 把线段AB分成两条线段AC BC（ AC>BC,并且使AC是AB和BC 的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割 点，其中AC^^AB 0.618AB, 2 （三）平行线分线段成比例定理 1. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线 段成比例. 2. 推论:平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得 的对应线段成比例. 如图：当AD// BE// CF时，都可得到 AB _ BC~ 语言描述如下: 上一上上一上 __ ------------------------------ ----------- 、-,二二, DE AB = DE BC = EF睿~七三「三一 ［一二， 7 7 〔十宀 （4）上述结论也适合下列情况的图形: 13 11 12 1 2 3 D E 专题全等三角形与角平分线?解读考点 知识点名师点晴 全等 三角 形 全等图形理解全等图形的定义，会识别全等图形 全等三角形的判定 理解并掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、 ASA、AAS，并会判定两个三角形全等直角三角形的判定会利用HL判定两个三角形全等 角平 分线 角平分线的性质理解并掌握角平分线的性质 角平分线的判定利用角平分线的判定解决有关的实际问题 ?2年中考 【2015年题组】 1．（2015六盘水）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证 明△ABC≌△DCB的是（） A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC ＝BD 【答案】D． 【解析】 试题分析：A．可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意； D．SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意； 故选D． 考点：全等三角形的判定． 2．（2015贵阳）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（） A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 【答案】B． 考点：全等三角形的判定与性质． 3．（2015义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得 一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。 例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD 例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE ∽△ABC 例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三 角形？请证明你的结论。 二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF ?AC=BC ?FE 例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900 ，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ， 交BA 的延 长线于点D 。 求证：（1）MA 2 =MD ?ME ；（2）MD ME AD AE = 22 例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。 三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。 例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且 3 1 ==AD AF AB EB 。求证：∠AEF=∠FBD 例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线， 求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC 例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD 例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG 例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BF A B C D E F G A B C D E M 12 A B C D E F G 1 234 A B C D A B C D E F K A B C D E F A B C D S P R Q O A B C D E F A B C D E F O 123 A B C D F G E 全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全 一、角平分线类辅助线作法 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等?对于有角平分线的 辅助线的作法，一般有以下四种. 1、 角分线上点向角两边作垂线构全等： 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、 截取构全等 利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、 延长垂线段 题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、 做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线， 从而构造等腰三角形.或通过一边上 的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形. 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时， 一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形. 至 于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件 . 图四 M B 图一 M 图 M B 图三 典型例题精讲 【例1】如图所示，BN平分/ ABC, P为BN上的一点，并且PD丄BC于D, AB+ BC 2BD . 求证：BAP+ BCP 180 . 【解析】过点P作PE丄AB于点E. VPE± AB, PD 丄BC, BN 平分/ABC,：PE PD . 在Rt APBE 和Rt APBC 中， BP BP PE PD ???Rt z2PBE 细t ^BC ( HL), BE BD . T AB BC 2BD , BC CD BD , AB BE AE , ? AE CD . ??PE丄AB, PD 丄BC ,? PEB PDB 90 . 在AFAE 和Rt APCD 中， PE PD PEB PDC , AE DC ? △AE织t A^CD , ? PCB EAP . ?/ BAP EAP 180 , ? BAP BCP 180 . 【答案】见解析. 第五讲 全等三角形与角平分线（综合与拔高） .选择题（共10小题） 1. 如图四边形 ABCD 中，AD// BC, / BCD=90, AB=BGAD ,/ DAC=45, E 为 CD 若CD=4则厶ABE 的面积为（ ） D.- T 2. 如图，点P 为定角/AOB 的平分线上的一个定点，且/ MPN 与/AOB 互补， 若/ MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与 OA 、OB 相交于M 、N 两点， 则以下 结论：（1） PM=PN 恒成立；（2） OM+ON 的值不变；（3）四边形PMON 的面积不变；（4） MN 的长不变，其中正确的个数为（ 3. 如图，在Rt A ABC 中，/ C=90°,以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别 交 AC, AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于［MN 的长为半径画弧， 两弧 交于点P ,作射线AP 交边BC 于点D ,若CD=4, AB=15,则厶ABD 的面积是 （ ） A . 15 B. 30 C. 45 D . 60 D . 1 第五讲全等三角形与角平分线（综合与拔高） 4 .如图，AD是厶ABC中/BAC的角平分线，DE± AB于点E, S A ABC=7, DE=2 第1页（共47页） AB=4,贝U AC 长是（） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 5. 如图，在△ ABC中，/ ABC=50, / ACB=60,点E在BC的延长线上，/ ABC 的平分线BD与/ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,下列结论中不正确的 A.Z BAC=70 B.Z DOC=90 C.Z BDC=35 D.Z DAC=55 6. 如图，在△ ABC中，/ C=90°, AC=BC=4 D是AB的中点，点E、F分别在AC BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，有下列结论： ①厶DFE是等腰直角三角形； ②四边形CEDF不可能为正方形； ③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化； ④点C到线段EF的最大距离为样^. 其中正确结论的个数是（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，0P平分/ AOB, PAIOA，PB丄0B,垂足分别为A，B.下列结论中不—定成立的是（） 陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学七模试卷 一、选择题 1．检测同一型号的4个产品的质量（g），其中超过标准质量的记为正数，不足标准质量的记为负数，其中最接近标准的是（） A．﹣3.5 B．+2.5 C．﹣0.6 D．+0.7 2．如图所示的几何体的左视图是（） A．B．C．D． 3．25的算术平方根是（） A．5 B．﹣5 C．±5 D． 4．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是（） A．70°B．60°C．55°D．50° 5．在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（） A．（2，﹣3），（﹣4，6）B．（﹣2，3），（4，6）C．（﹣2，﹣3），（4，﹣6）D．（2，3），（﹣4，6） 6．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（） A．7 B．10 C．11 D．12 7．如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿着直线AB翻折后得到△AO'B，则点O'的坐标是（） A．B．C．D． 8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（） A．πB．4πC．πD．π 9．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=4，则线段ON的长为（） A．B．C．2 D． 10．二次函数y=﹣x2+2x+c的图象与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P （m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（） A．当n＜0时，m＜x1B．当n＜0时，m＞x2 C．当n＞0时，x1＜m＜x2D．当n＞0时，m＞x1 第五讲全等三角形与角平分线 (综合与拔高) 一．选择题（共10小题） 1．如图四边形中，∥，∠90°，，∠45°，E为上一点，且∠45°．若4，则△的面积为（） A．B．C．D． 2．如图，点P为定角∠的平分线上的一个定点，且∠与∠互补，若∠在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在△中，∠90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若4，15，则△的面积是（） A．15 B．30 C．45 D．60 4．如图，是△中∠的角平分线，⊥于点E，S△7，2，4，则长是（） A．3 B．4 C．6 D．5 5．如图，在△中，∠50°，∠60°，点E在的延长线上，∠的平分线与∠的平分线相交于点D，连接，下列结论中不正确的是（） A．∠70°B．∠90°C．∠35°D．∠55° 6．如图，在△中，∠90°，4，D是的中点，点E、F分别在、边上运动（点E不与点A、C重合），且保持，连接、、．在此运动变化的过程中，有下列结论： ①△是等腰直角三角形； ②四边形不可能为正方形； ③四边形的面积随点E位置的改变而发生变化； ④点C到线段的最大距离为． 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．如图，平分∠，⊥，⊥，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（） A．B．平分∠C．D．垂直平分 8．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（） A．1处B．2处C．3处D．4处 9．如图，在△中，，，⊥于R，⊥于S，则三个结论①；②∥；③△≌△中（）全等三角形与角平分线专题讲解
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