2012考研数学三真题及答案

一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的。）

(1)曲线y=x 2+x

x?1

渐近线的条数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C。

【解析】

由lim

x→+∞y=lim

x→+∞

x2+x

x2?1

=1=lim

x→?∞

y=lim

x→?∞

x2+x

x2?1

得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；

由lim

x→1y=lim

x→1

x2+x

x2?1

=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线；

由lim

x→?1y=lim

x→?1

x2+x

x2?1

得x=?1不是曲线的渐近线；

综上所述，本题正确答案是C

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线

(2)设函数f(x)=(e x?1)(e2x?2)?(e nx?n),其中n为正整数，则f′(0)=

(A)(?1)n?1(n?1)! (B)(?1)n(n?1)!

(C)(?1)n?1(n)!(D)(?1)n(n)!

【答案】A

【解析】

【方法1】

令g(x)=(e2x?2)?(e nx?n),则

f(x)=(e x?1)g(x)

f′(x)=e x g(x)+(e x?1)g′(x)

f′(0)=g(0)=(?1)(?2)?(?(n?1))

=(?1)n?1(n?1)!

故应选A.

【方法2】

由于f(0)=0,由导数定义知

f′(0)=lim

x→0f(x)

=lim

x→0

(e x?1)(e2x?2)?(e nx?n)

=lim

x→0(e x?1)

?lim

x→0

(e2x?2)?(e nx?n)

=(?1)(?2)?(?(n?1))=(?1)n?1(n?1)!.

【方法3】

排除法，令n=2,则

f(x)=(e x?1)(e2x?2)

f′(x)=e x(e2x?2)+2e2x(e x?1)

f ′(0)=1?2=?1

则(B)(C)(D)均不正确

综上所述，本题正确答案是(A)

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (3) 设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ2

0∫f(r 2)rdr 2

2cos θ=

(A)∫dx 2

0∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4?x 2

√2x?x 2 (B)∫dx 2

0∫f(x 2+y 2)dy √4?x 2

√2x?x 2

(C)∫dy 2

0∫√x 2

+y 2f(x 2+y 2)dx √4?y 21+√1?y 2

(D)∫dy 2

0∫f(x 2+y 2)dx √4?y 2

1+√1?y 2

【答案】B 。【解析】

令x =rcos θ,y =rsin θ,则r =2所对应的直角坐标方程为x 2+y 2=4,r =2cos θ所对应的直角坐标方程为(x ?1)2+y 2=1。由∫dθπ2

0∫f(r 2)rdr 2

2cos θ的积分区域

2cos θ

得在直角坐标下的表示为

√2x ?x 2

所以∫dθπ20∫f(r 2)rdr

2cos θ=

∫dx 20∫f(x 2

+y 2)dy √4?x 2

√2x?x 2

综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算 (4) 已知级数∑(?1)n

√n sin 1n ∞

n=1绝对收敛，级数∑(?1)n n ∞

n=1

条件收敛，则

(A)0<α≤1

2 (B)1

<α≤1

(D)3

<α<2

【答案】D 。【解析】

由级数∑(?1)n √n sin 1n α∞n=1绝对收敛，且当n →∞时|(?1)n √n sin 1n α|~1

n α?1

，故α?1

1,即α>3

2 由级数∑(?1)n n 2?α∞

n=1

条件收敛，知α<2

综上所述，本题正确答案是(D)

【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定

(5) 设α1=[00c 1],α2=[01c 2],α3=[1?1c 3],α4=[?1

1c 4

],其中c 1,c 2,c 3,c 4为任意常数，则下列向量

组线性相关的为

(A)α1,α2,α3 (B)α1,α2,α4 (C)α1,α3,α4 (D)α2,α3,α4 【答案】C 。【解析】

n 个n 维向量相关?|α1,α2,?αn |=0 显然|α1,α3,α4|=|0

1?1

?11c 1

c 3c 4

|=0 所以α1,α3,α4必线性相关

综上所述，本题正确答案是(C)。

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关

(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P ?1

AP =[100

010002

].若P =(α1,α2,α3),Q =

(α1+α2,α2,α3),则Q ?1AQ =

(A)[100020001] (B)[100010002]

(C)[200010002] (D)[200020001

]

【答案】B 。

【解析】由于P 经列变换(把第2列加至第1列)为Q ，有

Q =P [100

110001

]=PE 21(1)

那么Q ?1AQ =[PE 21(1)]?1APE 21(1)=E 21(1)?1P ?1APE 21(1) =[100?110001][100010002][100110001]=[100010002

]

综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换

(7) 设随机变量X,Y 相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则P {X +Y 2≤1}=

(A)1

4(B)1

2 (C)π

8 (D)π

4 【答案】D 。【解析】

P{X2+Y2≤1}=?f(x,y)dxdy

x2+y2≤1

而f(x,y)=f X(x)f Y(y)={1,0

0,其他

即f(x,y)是在正方形0

?f(x,y)dxdy

x2+y2≤1

实际上就是单位圆x2+y2≤1在第一象限的面积。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维随机变量分布

(8)设X1,X2,X3,X4为来自总体N(1,σ2)(σ>0)的简单随机样本，则统计量X1?X2

|X3+X4?2|

的分布为

(A)N(0,1) (B)t(1)

(C)χ2(1) (D)F(1,1)

【答案】B。

【解析】

1，X1?X2~N(0,2σ2)，故12

√2σ

(0,1)；

2，X3+X4?2~N(0,2σ2)，故34

√2σ(0,1)，(34

√2σ

)2~χ2(1),

√(X+X?2

√2σ

)2/1=

|X+X?2|

√2σ

3，X1?X2与X3+X4?2相互独立。12

√2σ与(34

√2σ

2也相互独立，

所以

X1?X2

√2σ

|X3+X4?2|

√2σ

=X1?X2

|X3+X4?2|

~t(1)

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分。）

(9)lim

x→π

4(tan x)1

cos x?sin x=。

【答案】e?√2。

【解析】这是一个‘1∞’型极限，由于

(tan x)1

cos x?sin x=[1+(tan x?1)]

cos x?sin x

lim

x→π

tan x?1

cos x?sin x

=lim

x→π

tan x?1

cos x(1?tanx)

=lim

x→π

cos x

=?√2

所以lim

x→π

4(tan x)1

cos x?sin x=e?√2

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限

(10)设函数f(x)={ln√x,x≥1

2x?1,x<1,y=f(f(x)),则dy

x=e

=。

【答案】1

【解析】

y=f(f(x))可看做y=f(u),与u= f(x)的复合，当x=e时

u= f(e)=ln√e=1

lne=

由复合函数求导法则知

dy dx |

x=e

=f′(

)?f′(e)=2?

x=e

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念

(11)设连续函数z=f(x,y)满足lim

y→1√x2+(y?1)2

=0,则dz|(0,1)=

。

【答案】2dx?dy 【解析】

由

y→1√x2+(y?1)2

=0，且z=f(x,y)连续，可得f(0,1)=1,且

f(x,y)?f(0,1)=2x?(y?1)+o(√x2+(y?1)2), (x→0

y→1)

由可微的定义得f′

x (0,1)=2,f′

(0,1)=?1,即

dz|(0,1)=f′

(0,1)dx+f′

(0,1)dy=2dx?dy

【考点】高等数学—多元函数的微分学—多元函数偏导数的概念与计算

(12)由曲线y=4

和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形的面积为。

【答案】4ln2

【解析】

曲线y=4

和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面域如下图，则所围面积为

S=∫(4x?x)dx

0+∫(

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用

(13)设A为3阶矩阵，|A|=3，A?为A的伴随矩阵。若交换A的第1行与第2行得到矩阵B，

则|BA?|=。

【答案】-27

【解析】

【方法1】

两行互换两列互换A 变成B ，所以|A |=?|B |,再由行列式乘法公式及|A ?|=|A |n?1，则

|BA ?|=|B|?|A ?|=?|A ||A |2=?27

【方法2】根据题意

[010

100001

]A =B ，即B =E 12A 那么BA ?=E 12AA ?=|A |E 12=3E 12 从而|BA ?|=|3E 12|=33|E 12|=?27

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质线性代数—矩阵—伴随矩阵，矩阵的初等变换

(14)设A,B,C 是随机事件，A,C 互不相容，P (AB )=1

2,P (C )=1

3,则P(AB|C)=。

【答案】3

4 【解析】

A,C 互不相容，自然有C ?A ,当然更有C ?AB ，所以

P(AB|C)=P(ABC)

P(C)

=P(AB)

1?P(C)=

=34

【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—事件的关系与运算，概率的基本公式，事件的独立性

三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (15)求极限lim

x→0

e x 2

?e 2?2cos x

x 4

【解析】【方法1】

lim x→0e x 2

?e 2?2cos x x 4

=lim x→0e 2?2cos x

?lim x→0e x

2?2+2cos x

x 4

=lim x→0

x 2?2+2cos x

x (等价无穷小代换)

=lim

x→0

2x?2sin x

4x 3

(洛必达法则)

=12lim x→01?cos x 3x 2=16lim x→01

x 2x 2=112

【方法2】

lim x→0e x 2

?e 2?2cos x x 4

=lim x→0e 2?2cos x

?lim x→0e x

2?2+2cos x

x 4

=lim x→0

x 2?2+2cos x

x 4

(等价无穷小代换)

=lim

x→0

x 2?2+2(1?x 22!+x 4

4!+o(x 4))x 4

(泰勒公式)

=lim

x→0

x 4+o(x 4)4

1 【方法3】

lim

x→0

e x 2

?e 2?2cos x

x 4

=?lim

x→0

e ξ(x 2?2+2cos x)

x 4

(拉格朗日中值定理)

=lim x→0x 2?2+2cos x 4

=lim

x→0

2x?2sin x

4x 3

(洛必达法则)

2lim

x→0

16x 3

x 3

(x ?sinx~16

x 3)

112

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四

则运算

高等数学—一元函数微分学—微分中值定理，洛必达(L'Hospital)法则

(16)计算二重积分?e x

xydxdy D

,其中D 是以曲线y =√x,y =√x

及y 轴为边界的无界区域。

【解析】

?e x

xydxdy D

=∫dx 1

xydy 1

√x

=12∫e x

(1?x 2)dx 10

=12e x

(1?x 2

)|01+∫xe x dx 1

=?12+xe x |01

?∫e x dx 1

=12

【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算

(17)某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元）。设该企业生产

甲、乙两种产品的产量分别是x (件)和y （件），且这两种产品的边际成本分别为20+x

2(万元/件)与6+y (万元/件).

(I)求生产甲、乙两种产品的总成本函数C(x,y)(万元)；

(II)当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；

(III)求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释经济意义。【解析】

(I)总成本函数C (x,y )=10000+20x +

x 24

+6y +

y 22

（万元）

(II)由题意知，求C (x,y )在x +y =50时的最小值，构造拉格朗日函数

F (x,y,λ)=C (x,y )+λ(x +y ?50)=10000+20x +x 24+6y +y 2

+λ(x +y ?50)

解方程组{F ′x =20+x

2+λ=0,

F ′y

=6+y +λ=0,(x +y ?50)=0.

得x =24,y =26.

因可能极值点唯一，且实际问题存在最小值，故总产量为50件时，甲乙两种产品的产量分别是24,26时可使总成本最小，且此时投入总费用

C min(x,y)=10000+20×24+242

+6×26+

262

=11118

(万元)

(III)甲产品的边际成本函数：C′(x,y)=20+x

,于是，当总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本

C′(x,y)=20+24

=32

其经济意义为：当甲乙两种产品的产量分别是24,26时，若甲的产量每增加一件，则总成本增加32万元。

(18)证明：xln1+x

1?x +cos x≥1+x2

,(?1

【解析】【方法1】

记f(x)= xln1+x

1?x +cos x?1?x2

,则

f′(x)=ln

1+x

1?x

1?x2

?sinx?x, f′′(x)=

4x2

(2)2

?1?cos x

当?1

1?x

≥4,1+cos x≤2,所以f′′(x)≥2>0,从而f′(x)单调增加。

又因为f′(0)=0，所以，当?10，于是f(0)=0是函数f(x)在(?1,1)内的最小值。

从而当?1

即xln1+x

1?x +cos x≥1+x2

,(?1

【方法2】

记f(x)= xln1+x

1?x +cos x?1?x2

, (?1

显然，f(x)是偶函数，因此只要证明f(x)≥0 x∈[0,1)

由于f′(x)=ln1+x

1?x +2x

1?x2

?sinx?x,x∈[0,1)

ln 1+x

1?x

1?x2

>2x=x+x>x+sin x

从而有f′(x)>0，x∈(?1,1)

有f(0)=0

则当?1

即xln1+x

1?x +cos x≥1+x2

,(?1

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数的极值

(19)已知函数f (x )满足方程f ′′(x )+f ′(x )?2f (x )=0及f ′′(x )+f (x )=2e x

(I)求f (x )的表达式；

(II)求曲线y =f(x 2)∫f(?t 2)dt x

0的拐点。【解析】

(I)联立{f ′′(x )+f ′(x )?2f (x )=0,

f ′′(x )+f (x )=2e x ,

得f ′(x )?3f (x )=?2e x ,因此

f (x )=e ∫3dx (∫?2e x e ?∫3dx +C)=e x +Ce 3x

代入f ′′(x )+f (x )=2e x ，得C =0,所以f (x )=e x

(II)y =f (x 2)∫f (?t 2)dt x

0=e x 2

∫e ?t 2

dt x

y ′

=2xe

x 2

∫e ?t 2

dt x

y ′′

=2x +2(1+2x 2

)e x 2

∫e ?t 2

dt x

当x <0时，y ′′<0;当x >0时，y ′′>0,又y (0)=0,所以曲线的拐点为(0,0) 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线

(20)设A =[1a 0001a 0001a a 001],β=[1?1

(I)计算行列式|A|；

(II)当实数a 为何值时，方程组Ax = β有无穷多解，并求其通解。【解析】

(I)按第一列展开

|A |=1?|1a

001

a 00

1|+a (?1)

4+1

1a 00

|=1?a 4, (II)当|A |=0时，方程组Ax = β有无穷多解，由上可知a =1或?1 如果a =1

[1100011000111001|1?100]→[1100011000110?101|1?10?1]→[1100011000110011|1?10?2]→[1100011000110000|1?10?2

] r (A )=3,r(A)=4,方程组无解，舍去当a =?1时，

[1?10001?10001?1?1001|1?100]→[1?10001?10001?10?101|1?101]→ [1?10001?10001?100?11|1?100]→[1?10001?10001?10000|1?100

] r (A )=3=r(A)，方程组有无穷多解，取x 4为自由变量，得方程组通解为 (0,?1,0,0)T +k(1,1,1,1)T ,k 为任意常数【考点】线性代数—线性方程组—线性方程组有解和无解的判定，非齐次线性方程组的通解

(21)已知A =[101011

?10a 0a ?1

],二次型f (x 1,x 2,x 3)=x T (A T A)x 的秩为2

(I)求实数a 的值；

(II)求正交变换x =Qy 将f 化为标准形。【解析】

(I)因为r (A T A )=r(A),对A 做初等行变换

A =[101011?10a 0a ?1]→[10101100a +10a 0

所以，当a =?1时，r (A )=2

(II)由于a =?1，所以A T

A =[202

022224

]，矩阵A T A 的特征多项式为

|λE ?A T

A|=|λ?20?2

0λ?2?2?2?2λ?4

|=λ(λ?2)(λ?6)，

于是A T A 的特征值为λ1=2，λ2=6，λ3=0

当λ1=2时，由方程组(2E ?A T A )x =0,可得到属于λ1=2的一个单位特征向量

√2

?1,0)T ；

当λ2=6时，由方程组(6E ?A T A )x =0,可得到属于λ2=6的一个单位特征向量

√

；当λ3=0时，由方程组(0E ?A T A )x =0,可得到属于λ3=0的一个单位特征向量

?1)T 。

令Q =[ 263√2√6√30√6√3]

则f 在正交变换x =Qy 下的标准形为

y =2y 12

+6y 23

【考点】线性代数—矩阵—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质

线性代数—二次型—二次型的标准形和规范形，用正交变换和配方法化二次型为标准形

(II)求Cov(X?Y,Y).

【解析】

(I)P{X=2Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=1}=1

4+0=1

(II)由(X,Y)的概率分布可得

P{X=0}=1

2； P

{X=1}=0+

+0=

3；

P{X=2}=

6；

P{Y=0}=1

3； P

{Y=1}=0+

+0=

3；

P{Y=2}=

；

P{XY=0}=7

12；P

{XY=1}=

3；P

{XY=4}=

所以

EX=0?1

+1?

+2?

EY=1

(0+1+2)=1

DY=1

(0?1)2+

(1?1)2+

(2?1)2=

3 EXY=

所以

Cov(X?Y,Y)= EXY?EX?EY?DY=2

【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质

(23)设随机变量X,Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布，记U=max{X,Y},V=

min {X,Y}.

(I)求V 的概率密度f V (v)； (II)求E(U +V). 【解析】 (I)

F V (v )=P {V ≤v }=P {mi n {X,Y }≤v }=1?P {mi n {X,Y }≤v }

=1?P {X ≥v,Y ≥v }=1?P {X ≥v}P{Y ≥v }

=1?e ?v e ?v =1?e ?2v ,v >0

当v ≤0时，F V (v )=0，f V (v )={2e ?2v ，v >0

0，v ≤0

(II)

E (U +V )=E (X +Y )=EX +EY =1+1=2

【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—常见随机变量的分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量函数的分布

概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质