北师大版八年级下册数学第一章《证明(二)》知识点及习题
1等腰三角形 知识点1 等腰三角形的性质定理
等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角）.
用符号语言表示为:如图１-１所示,在△ＡBC 中,∵AB =A Ｃ，∴∠B =∠C ．
定理的证明:
取BC 的中点D ,连接AD .
∵(),()()AB AC BD CD AD AD =??=??=?
已知中点定义，公共边，∴△ABD ≌△A ＣD (SSS)．
∴∠B ＝∠C (全等三角形的对应角相等).
定理的作用:证明同一个三角形中的两个内角相等.
拓展 等腰三角形还具有其他性质.
(1）等腰直角三角形的两个底角相等,都等于4５°．
（2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角,但顶角可以是锐角、钝角或直角.
（３）等腰三角形的三边关系：设腰长为ａ，底边长为b ，则2
b <ａ. (4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A ,底角为∠B ，∠C ，则∠A =１80°-∠B -∠Ｃ＝180°-2∠B ＝180°－２∠C ．
知识点2 等腰三角形的性质定理的推论
推论1:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)． (１)用符号语言表示为:如图１-3所示,
①在△AB Ｃ中，∵AB =A Ｃ,∠１＝∠2，∴A Ｄ⊥B Ｃ.ＢD ＝ＤC ;
②在△ABC 中,∵AB =A Ｃ,ＡD ⊥BC ,∴∠1=∠2，BD ＝ＤC ；
③在△ＡBC 中,∵AB =ＡC ,BD =DC ,∴∠1=∠２，ＡD ⊥BC .
（2）推论１的证明．
①在△A ＢC 中,∵A Ｂ＝AC ，∠1＝∠2,AD =ＡD ，
∴△ABD ≌△ＡＣD (ＳAS)．
∴BD ＝ＤＣ，∠ADB ＝∠ADC ＝90°．∴ＡD ⊥B Ｃ.
②在△ABC 中,∵AD ⊥B Ｃ,∴∠ＡDB ＝∠ADC =90°.
∵ＡB＝ＡC，∴∠Ｂ=∠C．又AＤ＝AＤ，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(ＡAS).
∴∠１=∠２，BＤ=CD.
③在△ABC中，∵AB=AC,AD=ＡD,BD=ＣD，
∴△ＡＢD≌△ACD（SSS)
∴∠１＝∠2，∠ADB＝∠ADＣ=90°,∴AＤ⊥BC．
(3)推论1的作用:证明角相等、线段相等或垂直.
推论２:等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于6０°．
(1)用符号语言表示为:如图1-4所示,
在△ABC中,∵AB＝BC=ＡC,∴∠A=∠Ｂ＝∠Ｃ＝60°.
(2)推论2的证明：
∵ＡB＝AC,∴∠B=∠Ｃ.
∵AB＝ＢC，∴∠A＝∠C．
∴∠A＝∠B＝∠C．
又∵∠A+∠B+∠C=180°,即3∠Ａ=180°，
∴∠Ａ=∠B=∠C＝60°.
知识点3 等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边）.
用符号语言表示为：如图1－6所示，在△ABC中,
∵∠B＝∠C，∴ＡＢ＝AC
判定定理的证明：如图1－6所示．
过A作AD⊥BC于D，则∠ADＢ＝∠ADC=9０°.
∵∠Ｂ=∠C，ＡD＝AＤ,∴△ABD≌△ＡCD(AAS)，
∴AB＝AC.
√判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等.
拓展如图1-6所示，在△ABＣ中,
(1)如果AD⊥BC,∠1=∠2,那么AB＝ＡC；
（2)如果AD⊥BＣ,BD=DＣ,那么ＡB＝AＣ;
(3)如果∠1－∠2,BD＝DC,那么AB＝AC．
知识点4 等腰三角形的判定定理的推论
推论１．
（1)推论１的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
(2)用符号语言表示为:如图１-8所示,在△ABＣ中,∵AＢ＝AC，∠A=6０°(或∠B=60°或∠C＝60°)，∴AB=AC=BC．
(3）推论1的证明：
在△ABC中，∵AB＝AC,∴∠B=∠C．
又∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝
180
2
A
-∠
＝60°
∴ＡB＝AC＝BC.
(或∵∠Ｂ=６0°，∴∠A=1８0°-2∠Ｂ＝60°.∴AＢ=AC=ＢＣ.或∵∠C=60°，∴∠A=１80°-2∠C=６0°．∴AB=AC=BC.）
√推论2.
（1)推论２的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形.
（2）用符号语言表示为：如图1－8所示,在△ＡBC中，∵∠A＝∠B=∠C，∴AB＝AC=BC.
（3)推论2的证明：
在△ABC中，∵∠Ａ＝∠B，∴BＣ=ＡＣ(等角对等边)．
又∵∠B＝∠C，∴AB=AC(等角对等边）．∴AＢ＝AＣ=BC.
(4)推论1和推论２的作用:证明一个三角形是等边三角形.
拓展判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法:
（１)根据等边三角形的定义,证明三条边相等;
（2)根据推论1,证明两条边相等，有一个角是60°；
（３)根据推论2，证明三个角都相等.
√推论３．
(1)推论3的内容:在直角三角形中,如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
(2）用符号语言表示为:如图１-9所示,在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°,∠A =30°，∴BC =21A Ｂ．
(３）推论3的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2倍．
知识点5 反证法
先假设命题的结论不成立,然后从假设出发,推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果,从而否定假设,证明命题的结论一定成立,这种证明方法称为反证法．
拓展 反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：
(1）假设命题不成立；
(2)从假设出发推导出矛盾;
(3）否定假设,从而肯定命题的结论.
规律方法小结
1．转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中,都是通过构造全等三角形,转化为全等得以证明的.
2．类比思想：采用类比思想,把等腰三角形的性质和判定对照着学习.
3.用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性,不能忽略任何一种可能的情况.
探究交流
想一想:还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗?
解析 有,作等腰三角形ＡＢC 的顶角平分线ＡD ,如图1－2所示. ∵??
???=∠=∠=,)(),(21,)(公共边角平分线定义已知AD AD AC AB
∴△AB Ｄ≌△ＡCD (SAS ）.
∴∠B ＝∠C (全等三角形的对应角相等)
课堂检测
1、如图1-１0所示，在△AB Ｃ中,ＡB =A Ｃ，AD =
32AC ,AE ＝3
2AB ．求证BD ＝ＣE ．
２、如图1－12所示，已知点D，Ｅ在△AＢC的边BC上,AB=AＣ,AD＝AE.求证BＤ=CE.
3、如图1-1３所示,已知∠CＡE是△ABC的一个外角,∠1＝∠2,AＤ∥BC，
求证△ＡBC是等腰三角形.
4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题.
学习等腰三角形的有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知等腰三角形ABＣ的∠Ａ等于30°，求其余两角．
同学们经过片刻的思考与交流后,李明同学举手说:“其余两角是３０°和12０°.”王华同学说：“其余两角是75°和75°.”还有一些同学也提出了不同的看法……
假如你也在课堂上,你的意见如何?为什么?
5、已知等边三角形AＢC和点P，设点P到△AＢＣ三边AB，AＣ，BＣ的距离分别是h1,h２,h3，△ABC 的高为ｈ，若点Ｐ在边ＢC上,如图1－1７(1)所示,此时h3＝０,可得结论:ｈ1＋h2+ｈ3=h.
请直接应用上述信息解决下列问题：
点Ｐ在△ABC内,如图1－17(２)所示.点P在△AＢC外，如图1-１7(３)所示,这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立,请给出证明；若不成立,h1,h2，h３与h之间又有怎样的关系?请写出你的猜想，不需证明.
体验中考
１、已知等腰三角形ＡB Ｃ的周长为１0.若设腰长为ｘ，则x 的取值范围是
．
２、如图1－２０所示，在△ABC 和△ＤEF 中,AB ＝DE ,BE ＝CF ,∠B =∠1.求证AC =DF （要求：写出证明过程中的重要依据)．
２直角三角形
知识概览图
知识点1 勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,即c 2=a 2+b 2（c 为斜边长). √勾股定理的作用.
(1)已知直角三角形的两边求第三边.
(２)已知直角三角形的一条边,求另外两条边的数量关系．
(3）用于证明平方关系的问题.
(４）利用勾股定理作出长为n 的线段．
勾股定理的各种表达形式．
勾股定理：a 2+b 2＝c 2（a ，b 为直角边长，c 为斜边长）
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这
个三角形是直角三角形
互逆命题与互逆定理 直角三角形全等的判定：斜边、直角边定理（ＨＬ）
直角三角形
在Rt △A ＢC 中，∠C =90°,∠A ，∠B ，∠C 的对边长分别为a ,b ,ｃ,则a 2=c 2－b 2,b 2＝ｃ2-a 2，c ２=a ２+b 2,ｃ＝22b a +，a =22b c -，b =22a c -.
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理的作用:判定某一三角形是否是直角三角形.
勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理． 直角三角形的判定.
(1)首先确定最大边(如c )．
（2)验证c ２与ａ2＋b 2是否具有相等关系.
若c 2=a 2+b ２,则△ABC 是直角三角形；
若c 2≠a ２+b 2,则△AB Ｃ不是直角三角形．
勾股数．
(1)能够成为直角三角形三边长的三个正整数.称为勾股数或勾股弦数．
(2）勾股数必须是正整数．如3，4，5;5,1２,13等．
拓展 应用勾股定理时,必须是在同一直角三角形中；应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时,一定是最长边所对的角是直角,其他两边所对的角是锐角．
知识点2 互逆命题与互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
拓展 每个命题都有逆命题.原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题．原命题和逆命题的真假性一般有四种情况:真、假;真、真；假、假；假、真.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题.那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
拓展 每个命题都有逆命题.但不是所有的定理都有逆定理.
知识点3 直角三角形全等的判定定理
直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL ”表示.
√定理的作用:判定两个直角三角形全等．
√定理的证明：如图1-30所示,已知Rt △AB Ｃ，R ｔ△A ′B ′C ′,∠C ＝∠Ｃ′=90°，AB =A ′B ′，AC ＝A ′C ′，求证R ｔ△ABC ≌Rt △A ′Ｂ′C ′．
证明：∵在△ＡB Ｃ和△Ａ′B ′Ｃ′中,∠C ＝∠C ′＝９0°，
∴BC ＝22AC AB -,B ′Ｃ′=22C A B A ''-''.
∵AB ＝Ａ′B ′,AC ＝A ′C ′,∴BC ＝Ｂ′C ′．
∴R ｔ△AB Ｃ≌Rt △Ａ′B ′C ′(ＳSS ）.
知识拓展 “ＨL ”是直角三角形所独有的判定定理,对于一般三角形不成立.判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件,只需找出另外两个条件即可,而这两个条件中必须有一个是边对应相等.与一般三角形全等一样,只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等.
课堂检测
1、写出命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题,并判断真假.
2、如图1－31所示，在Ｒt △A ＢC 中，∠ACB =90°，ＡB =5０，
BC
＝30,ＣD ⊥AB 于点D ，求ＣD 的长．
3、在正方形ＡＢC Ｄ中，如图1－３2所示，F 为ＤＣ的中点，E 为ＢC 上一点,且EC ＝41BC ,求证∠E ＦA ＝９0°．
4、试判断三边长分别为2ｎ２＋2n ,2ｎ+１，2n 2+2n +１(n ＞0)的三角形是否是直角三角形．
5、如图1-3８所示,一艘货轮向正北方向航行，在点Ａ处测得∠ＭAD ＝30°，货轮以每小时２0海里的速度航行,1小时后到达B 处，测得∠MB Ｄ=４5°，该货轮到达灯塔M 的正东方向的Ｄ处时，货轮与灯塔Ｍ的距离是多少？（精确到0．１海里，3≈1.732）
体验中考
1、如图1－41所示，在△ABC中，AＢ=AＣ，ＡD是底边上的高，若AB=5cｍ，BC ＝６cm,求AD的长度．
2、如图1－45所示，在直角梯形ABC D中．A D∥BＣ，∠AＢC=９0°，ＤＥ⊥AC于点F,交BC于点G,交AＢ的延长线于点E，且AＥ=AC．
（1）求证ＢG=FＧ；
(2)若A D=D C=2，求AB的长.