三角函数最值问题的十种常见解法
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三角函数最值问题的十种常见解法
福州高级中学 陈锦平
三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：
一．转化一次函数
在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.
例1．求函数2cos 1y x =-的值域
[分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-
二. 转化sin()y A x b ω?=++(辅助角法)
观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.
例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .
[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ω?=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意
观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +求最值.
()f x ≤
三. 转化二次函数(配方法)
若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.
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例3． 求函数3cos 3sin 2
+--=x x y 的最小值. [分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2
+-=x x y ，令cos t x =，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-??
? ??-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y
四. 引入参数转化（换元法）
对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.
例4. 求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.
[分析]解：令().cos sin 21cos sin 2
x x x x +=+，设sin cos .t x x =+则[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=2
1,2,221cos sin 22，其中[]2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=??? ?
?+=y x t π 五. 利用基本不等式法
利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.
例5. 已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+
的最小值. [分析] 此题为x
a x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设(
)1sin ,01,2x t t y t t =<≤=+
≥=
t =. 六．利用函数在区间内的单调性
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例6. 已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +
=的最小值. [分析] 此题为x
a x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设()t t y t t x 1
,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y .
七．转化部分分式
例7．求函数1
cos 21cos 2-+=x x y 的值域 [分析] 此为d
x c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+
=x x y ，可直接得到：3≥y 或.31≤y 解法一：原函数变形为()()
∴≤-+∴≤-+=
,1121,1cos ,121cos y y x y y x 3≥y 或.31≤y 八． 数形结合
由于1cos sin 22=+x x ，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得.
例8． 求函数()π<<--=x x
x y 0cos 2sin 的最小值. [分析] 法一：将表达式改写成,cos 2sin 0x
x y --=y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.
设过点A 的切线与半圆相切与点B,则.0<≤y k AB 可求得.3
365tan -==πAB k 所以y 的最小值为33-
（此时3π=x ）.
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法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=()φ++x b a sin 22（即引入辅助角法）和有界性来求解.
九． 判别式法
例9． 求函数22tan tan 1tan tan 1
x x y x x -+=++的最值. [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法. 解：()()()()
222tan tan 1tan tan 1
1tan 1tan 101,tan 0,x x y x x y x y x y y x x k k ππ-+=++∴-+++-=∴===∈
1≠y 时此时一元二次方程总有实数解
()()()().33
10313,01412
2≤≤∴≤--∴≥--+=?∴y y y y y 由y=3，tanx=-1，()3,4max =∈+
=∴y z k k x ππ 由.3
1,4,1tan ,31min =+=∴==y k x x y ππ 十． 分类讨论法
含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.
例10.设()??
? ??≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().2
14sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222
+-+??? ??--=+-+-==a a a t a at t x f t g
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（1） 当
12
≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2） 当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();2
14422+-=??? ??=a a a g a M （3） 当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4
210a g a M -== ()????
?????≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,2
1442
,21432a a a a a a a a M 以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.
挑战自我：
1. 求函数y=5sinx+cos2x 的最值
2.已知函数()R x x x x y ∈+?+=
1cos sin 2
3cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.
3.已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值.
参考答案：
1.[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一.
- - 总结 ()48331612,,221sin 68
3316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 2
22=+?-=∈+=∴=-=+?-=∈-=-=∴≤≤-+??? ?
?--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 2.[分析] 此类问题为x c x x b x a y 2
2cos cos sin sin +?+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解.
解：
().4
7,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+??? ??+=+???
? ??+=++=+?++?=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+.
3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：()??? ?
?-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f