人教版高中数学必修4章末检测 第三章 三角恒等变换

章末检测

一、选择题

1．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)等于( )

A ．－3

2 B ．－1

2 C.1

2 D.3

2

答案 D

解析 (cos π

12－sin π

12)(cos π

12＋sin π

12)

＝cos 2 π

12－sin 2π12＝cos π6＝3

2.

2．函数y ＝sin ????2x ＋π3·cos ????x －π

6＋cos ????2x ＋π

3·sin ????π

6－x 的图象的一条对称轴方程是(

)

A ．x ＝π

4 B ．x ＝π

2

C ．x ＝π

D ．x ＝3π

2

答案 C

解析 y ＝sin ????(2x ＋π

3)－(x －π6)＝sin ????π

2＋x

＝cos x ，当x ＝π时，y ＝－1.

3．已知sin(α＋45°)＝5

5，则sin 2α等于( )

A ．－4

5 B ．－35 C.35 D.4

5

答案 B

解析 sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·2

2＝5

5，

∴sin α＋cos α＝10

5.

两边平方，得1＋sin 2α＝25，∴sin 2α＝－3

5.

4．y ＝sin ????2x －π

3－sin 2x 的一个单调递增区间是( )

A.????－π

6，π

3 B.????π12，7π

12

C.????5π12，13π

12 D.????π3，5π

6

答案 B

解析 y ＝sin ?

???2x －π3－sin 2x ＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π3

－sin 2x ＝－12sin 2x －32

cos 2x ＝－sin ????2x ＋π3. y ＝－sin ????2x ＋π3的递增区间是y ＝sin ????2x ＋π3的递减区间，π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2

＋2k π，k ∈Z ， ∴π

12＋k π≤x ≤7π

12＋k π，k ∈Z ，

令k ＝0，得x ∈????π12，7π

12.

故选B.

5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是(

) A.4

3 B.3

4 C.53 D.1

2

答案 A

解析 ∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈????π

4，3π

4，

又sin θ＋cos θ＝2sin ????θ＋π

4， 所以2

2

4≤1，

所以1

6．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( )

A ．－1

2 B.1

2 C ．－32 D.3

2

答案 B

解析 sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°

＝sin(90°＋73°)sin(270°－47°)＋sin(180°＋73°)sin(360°－47°)

＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°)

＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°)

＝－cos(73°＋47°)

＝－cos 120°＝1

2.

7．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )

A ．向右平移π4

个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12

个单位 D ．向左平移π12

个单位 答案 C

解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin(3x ＋π4

) ＝2sin[3(x ＋π12)]，又y ＝2cos 3x ＝2sin(3x ＋π2

) ＝2sin[3(x ＋π6)]，所以应由y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12

个单位得到． 8．已知等腰三角形顶角的余弦值等于45

，则这个三角形底角的正弦值为( ) A.1010 B ．－1010 C.31010

D ．－31010

答案 C 解析 设这个等腰三角形的顶角为2α，底角为β，

则2α＋2β＝π且cos 2α＝45，∴α＋β＝π2

. ∴sin β＝sin ????π2－α＝cos α＝1＋cos 2α2＝31010

. 9．在△ABC 中，已知tan A ＋B 2

＝sin C ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形

B ．等腰三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

答案 C

解析 在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B 2，∴2cos 2A ＋B 2

＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2

，△ABC 为直角三角形． 10．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( )

A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π6

答案 C

解析 ∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )， ∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C

＝2sin ????π6＋C ＝1.

∴sin ????π6＋C ＝12

， ∴π6＋C ＝5π6或π6＋C ＝π6(舍去)，∴C ＝2π3

. 二、填空题 11.3tan 15°＋13－tan 15°

的值是 ． 答案 1

解析 ∵3－tan 15°

3tan 15°＋1＝tan 60°－tan 15°

1＋tan 60°tan 15° ＝tan 45°＝1， ∴3tan 15°＋13－tan 15°

＝1. 12．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝ .

答案 k π－π4

，k ∈Z 解析 (tan α－1)(tan β－1)＝2?tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2?tan α＋tan β＝tan αtan β－1?tan α＋tan β

1－tan αtan β＝－1. 即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4

，k ∈Z . 13．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为 ．

答案 1

解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)

＝sin [(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)

＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)

＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ

＝sin [(x ＋φ)－φ]＝sin x ，

∴f (x )的最大值为1.

14．关于函数f (x )＝cos ????2x －π3＋cos ?

???2x ＋π6，有下列说法： ①y ＝f (x )的最大值为2；

②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；

③y ＝f (x )在区间????π24，13π24上单调递减；

④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24

个单位后，将与已知函数的图象重合． 其中正确说法的序号是 ．(注：把你认为正确的说法的序号都填上) 答案 ①②③

解析 f (x )＝cos ????2x －π3＋cos ?

???2x ＋π2－π3 ＝cos ????2x －π3－sin ????2x －π3＝2cos ?

???2x －π12， ∴f (x )max ＝2，即①正确．

T ＝2π|ω|＝2π2

＝π，即②正确． f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12

≤2k π＋π(k ∈Z )． 即k π＋π24≤x ≤k π＋13π24

(k ∈Z )， k ＝0时，π24≤x ≤13π24

，所以③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24

个单位得 y ＝2cos ???

?2????x ＋π24≠f (x )，∴④不正确． 三、解答题

15．已知cos ????π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2

x 1－tan x

的值． 解 sin 2x －2sin 2x 1－tan x

＝cos x ·2sin x (cos x －sin x )cos x －sin x

＝sin 2x ＝－cos ????2x ＋π2＝－2cos 2????x ＋π4＋1

＝－2×925＋1＝725

. 16．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .

(1)求f (π3

)的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．

解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3

＝－1＋34－2＝－94

. (2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x

＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73

，x ∈R . 因为cos x ∈[－1,1]，

所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；

当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73

. 17．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A

，求cos 2A 的值．

解 ∵A

∴0π2

，0<2A ＋C <π. ∵sin B ＝45，∴cos B ＝35

. ∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝45

， cos(A ＋C )＝－35

. ∵cos(2A ＋C )＝－45

， ∴sin(2A ＋C )＝35

. ∴sin A ＝sin [(2A ＋C )－(A ＋C )]

＝35×????－35－????－45×45

＝725

.

∴cos 2A ＝1－2sin 2A ＝527625

. 18．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12

. (1)若0<α<π2，且sin α＝22

，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．

解 方法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22

， 所以cos α＝

22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12

. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12

＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12

＝12sin 2x ＋12

cos 2x ＝22sin(2x ＋π4

)， 所以T ＝2π2

＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2

，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8

，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8

]，k ∈Z . 方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12

＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12

＝12sin 2x ＋12

cos 2x ＝22sin(2x ＋π4

)． (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4

，

从而f (α)＝22sin(2α＋π4)＝22sin 3π4＝12

. (2)T ＝2π2

＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2

，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8

，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8

]，k ∈Z .