考研数学高数5定积分

第五讲：定积分

定积分的概念：设()[]b a x f ,在上有界

1） 任意分割：.,2,1n i x i

=?

2） 作乘积：任取[]i i i x x ,1-∈ξ，作乘积i i x f ?).(ξ 3） 作和式：

()i

n

i i

x f ?∑=.1

ξ

4） 取极限：()i

n

i i

x f ?∑=→.lim

1

ξλ

若不管[]b a ,如何分割，i ξ如何选取，当{}0max 1→?=≤≤i n

v x λ时，上述极限如果存在，则称()x f 在[]b a ,上是可积的，并称此极限值为()[]b a x f ,在上的定积分，记为

()0

()lim .n

b

i i a

i f x dx f x λξ→=

=?∑?

我们规定：

()()()b b b

a a a f x dx f u du f t dt ?=?=?

()0a a f x dx ?=

()()a b b a f x dx f x dx ?=-?

函数可积的条件：

充分条件：若()[]b a x f ,在满足下列条件之一，则()[]b a x f ,在上可积： 1、()[]b a x f ,在上连续； 2、只有有限个间断点的有界函数 3、单调函数

必要条件：若()[]b a x f ,在上可积，则在[]b a ,上一定有界。 定积分的几何意义：

设()[]b a x f ,在上可积

（1） 若()0≥x f ，则();A dx x f b

a =?

（2） 若()0≤x f ，则();A dx x f b a -=?

（3） 若()x f 有正有负，则();321A A A dx x f b a +-=? 例：

1、用定义计算积分dx x 2

10?;

2、利用定积分表示下列和式的极限：

（1）∑=∞→+n i n n i n 1

11lim

（2）()021lim 1>++++∞→p n

n p p

p p n 3、利用几何意义求积分

,)2(;

)1()1(2220dx x a dx x a

b a -?-?

4、比较大小：2121

1

ln (ln )e

e

I xdx I x dx

==?

?

定积分的性质：

设()()x g x f ,在所讨论的区间上都是可积的，则有

性质1 （线性性）

()()[]()()(

)为常数αββαβαdx x g dx x f dx x g x f b

a b a b a ?+?=+? 推论：

()()()()[]()()dx

x g dx x f dx x g x f dx

x f A dx x Af b a

b a

b a

b a b a ?±?=±??=?

性质2 （区间可加性）

()()()都成立

或或注：不论b a c c b a b c a dx

x f dx x f dx x f b

c c a b a <<<<<

性质3 （保号性）

若()()0,0≥?<≥dx x f b a x f b

a 则有且

性质4 （保不等式性）

若()()

()()()dx x g dx x f b x a x g x f b

a b a ?≤?≤≤≤则有,

性质5 （绝对可积性及绝对值不等式）

()()()b a dx

x f dx x f b

a b a

性质6 （估值不等式）

()()()[]则有

上的最小值和最大值，在分别为和即b a x f M m b x a M x f m ,,

≤≤≤≤

()()()a b M dx x f a b m b a -≤?≤-

积分中值定理：

若? (x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b ]，使()()()a b f dx x f b a -=?ξ

微积分基本定理：

变上限积分函数：

设? (x)在[a ，b]上可积，则对于每一个∈x [a ，b]， 定积分()dt t f x

a ?都有唯一确定的

值与之对应，由此可以定义函数：

()()dt t f x F x

a ?=

这是一个定义在[a ，b]上的函数，称为积分变上限函数。

注:()dt t f x

a ?中x 是积分上限变量,在[a ，b]上变化;t 是积分变量,在[a ，x]上变化。

变上限积分函数求导定理：

若? (x)在[a,b]上连续，则F(x)在[a,b]上一定可导，且有

()()()x f dt t f dx

d dx x dF x

a =?= 注 1. F(x)也一定连续.

2. F(x)是? (x)在上的一个原函数.

3. 此定理也证明了连续的原函数一定存在. 例：求220

22

sin lim

ln (1)x x

x t dt

t t dt

→?+?

牛顿-莱布尼兹公式：

若? (x)在[a,b]上连续，Ф（x ）是? (x)的任意一个原函数，则有

()()()b

a Def

b a

x a b dx x f )(Φ=Φ-Φ=?

说明：()dx x f b a ? 等于? (x)的任一个原函数在[a ，b]上的增量

例：dx x x x 1

13322

40

1

+++?- dx x 2cos 120

-?π

()()?????>≤+=?,1,2

1,1,1,22

x x x x x f dx x f

定积分的换元积分法与分部积分法

第一类换元积分法（凑微分法）：

（不定积分）???+=?=c x d x f dx x x f dx x g )]([)([)(')]([)(????

（定积分）

?

??=?=?=b

a

b

a

b a

b a x F x d x f dx x x f dx x g |)]([)]([)]([)(')]([)(?????

例： ()()

12

1121214202

202

222

-==?=?e e x d e dx xe x x x

第二类还原积分：

（不定积分）()()()()[]()()C t F dt t t f dt

t dx t x dx

x f +'?==?易积出令????'

其中：()x t ?=具有连续的导数()t ?'

（定积分）()()()()[]()()β

αβα????1..''

t F dt t t f dt

t dx t x dx

x f b

a =?==?令 其中：（1）()a ?α=，()

b ?β=，

（2）()x t ?=具有连续的导数()t ?'，且()()a t b t ?αβ≤≤≤≤

与不定积分类似，常用：

n

n

t b ax b ax t

a x a x t a x a x t a x x a =++=+=-=-令令令令,tan ,sec ,sin ,2

2

2222

例：计算下列定积分：

()02

2

>-?

a dx x a a dx x x 3

221

1

+?

- dx e x 12

ln 0-? x d x x a r c t a

n 10?

换元积分法：

（不定积分）()()()()()()x du x v x v x u x dv x u ?-=?.

（定积分）()()()()()()?

-=?b

a

b a

b a

x du x v x v x u x dv x u |

条件：(),()u u x v v x ==在[a ，b]上具有连续导数

例：计算： x d x x a r c t a n 10?

()2

0c o s x x

x d x π?-

其他结论：

一、设()f x 在[,]a a -上可积，则有：

()()()()20a

a a a

f x f x dx f x dx f x --???

=?

?

是偶函数是奇函数 二、设()f x 是一个以Ｔ为周期的可积函数，则有()()dx x f dx x f T T

a a 0?=?+

例： ()dx x x x 2

2

2

1

2

11arcsin -+?- ()tdt t 220cos sin 1-?π

函数()f x 在[0,1]上有定义，且单调不增，证明：对于任何(0,1)a ∈有

1

()()a

f x dx a f x dx ≥?

?.

设0,a >函数()f x 在[0,]a 上连续可微，证明：

01(0)()().a

a f f x dx f x dx a '≤+??

设()f x 在区间[,]a b 上连续且单增，求证： ()().2b

b

a

a

a b xf x dx f x dx +≥?

?