2019-2020学年 河南省郑州市 高一上学期期末考试 数学

河南省郑州市2019-2020学年高一上学期期末考试

高一数学试题卷

注意事项：

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合A ＝{x|1

2.过两点A(0，y)，3)的直线的倾斜角为60°，则y ＝ A.－9 B.－3 C.5 D.6

3.下列四个命题中错误的是

A.若直线a 、b 相交，则直线a 、b 确定一个平面

B.若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线

C.若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线

D.经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直 4.设 1.5

0.4

111

(),(),ln

5

4

2

a b c ===，则下列关系正确的是 A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b

5.已知圆x 2＋y 2－2mx －(4m ＋2)y ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心在直线x ＋y －7＝0上，则该圆的面积为

A.4π

B.2π

C.π

D.

2

π 6.如下图一个几何体的三视图，则该几何体的体积是

A.8

B.

8

3

C.2

D.4 7.已知f(2x )＝x ＋3，若f(t)＝3，则t ＝ A.16 B.8 C.4 D.1

8.如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中CN 与BM 所成角为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

9.已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(x ＋4)＝f(x)恒成立，且f(1)＝1，则f(3)＋f(4)＋f(5)的值为

A.－1

B.1

C.2

D.0

10.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝8，过直线l ：x －y －2＝0上任意一点P 向圆引切线PA ，切点为A ，则|PA|的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4

11.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，则异面直线BC 1与CD 1所成角的余弦值为 10 B.15 10 D.12

12.已知函数41,0()log ,0x x f x x x ?+≤?=?>??

，若方程f(x)＝k 有4个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，且

x 1

14

4

()x x x x x +

+的取值范围是

A.(－7，2]

B.[－7，2)

C.(2，42]

D.[2，42)

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(每小题5分，共20分)

13.已知集合M 满足{3，4}?M ?{3，4，5，6}，则满足条件的集合M 有_________个。 14.已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋y ＋1＝0互相垂直，则a ＝_________。 15.若正四面体ABCD 的棱长为2，则该正四面体的外接球的表面积为_________。 16.高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.4]＝－4，[2.7]＝2。已知函数

21

()15

x x e f x e =-+，则函数y ＝[f(x)]的值域是_________。

三、解答题(本题共6小题，共70分) 17.(本小题满分10分)

已知直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点为M 。 (I)求过点M 且与直线l 3：3x －y ＋1＝0平行的直线l 的方程； (II)若直线l '过点M ，且点P(0，4)到l '的距离为5，求直线l '的方程。 18.(本小题满分12分)

已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|－2≤x ≤5}，N ＝{x|a ＋1≤x ≤2a ＋1}。 (I)若a ＝1，求M ∩(R N e)；

(II)M ∪N ＝M ，求实数a 的取值范围。 19.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为棱PB 的中点，O 为AC 与BD 的交点。

(I)求证：PD//面EAC ； (II)求二面角C －OE －B 的大小。 20.(本小题满分12分)

已知圆C 的圆心在直线y ＝x 上，且圆C 与直线l ：x －y ＋2＝0相切于点A(0，2)。 (I)求圆C 的标准方程；

(II)若直线l '过点P(0，3)且被圆C 所截得弦长为2，求直线l '的方程。 21.(本小题满分12分)

近年来，中美贸易摩擦不断。特别是美国对我国华为的限制。尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G 。然而这并没有让华为却步。华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲。今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机。通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x(千部)手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝

210200,04010000

8019450,40x x x x x x ?+<

?+-≥??

，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完。

(I)求出2020年的利润Q(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)； (II)2020年产量x 为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ (说明：当a>0时，函数y ＝x ＋a

x

在(0

单调递减，在

，＋∞)单调递增) 22.(本小题满分12分) 已知函数1

3

4()log 4

ax

f x x -=-为奇函数，其中a 为常数。 (I)求常数a 的值；

(II)判断函数f(x)在x ∈(－∞，－4)上的单调性，并证明；

(III)对任意x ∈(－∞，－5]，都有1()()2

x

f x m ≤+恒成立，求实数m 的取值范围。

郑州市2019-2020学年上期期末考试

高一数学 参考答案

13. 4 14. 1 15. 3π 16. {}

1,0,1- 三．解答题：

17. 解：（I

）联立2302380

x y x y -+=??+-=? ,解得：()1,2M . L L L L 2分

所以：与3l 平行的的直线方程为：()231y x -=-，L L L L 4分 整理得：310x y --=.L L L L 5分

（II ） 当斜率不存在时，不合题意；L L L L 7分

当斜率存在时，设():21l y k x -=-，即：20kx y k -+-= . =，解得：24410k k -+= ，1

2

k =

；L L L L 9分

所以，所求直线的方程为：230x y -+=. L L L L 10分

18. 解：（I ）当1a =时，{}|23N x x =≤≤ ，

{}|23R C N x x x =<>或 .L L L L 2分

.故 }5322|{)(≤<<≤-=x x x N C M R 或I .L L L L 4分

（II ）,M N M N M =∴?Q U L L L L 6分

1,N ?=? ,121a a +>+，即：0a <; L L L L 8分 2,N ?≠?，即：0a ≥.12

,215

a N M a +≥-??∴?

+≤?Q ，解得：02a ≤≤.L L L L 10分

,OC BOC ?Q OB BOC ?综上：2a ≤.L L L L 12分

19. 解：(I)由题可得：O 是BD 的中点，因为E 为棱PB 的中点，

所以：//EO PD .L L L L 2分

又因为：,PD EAC EO EAC ??面面；L L L L 4分

所以：//PD EAC 面.L L L L 6分

（II ）//,,EO PD EO ABCD EO BO ∴⊥∴⊥Q 面,EO CO ⊥，L L L L 8分

面 面 , OB OC O =I .

则BOC ∠为二面角B OE C --的平面角.L L L L 10分

ABCD BO AC ∴⊥Q 四边形为菱形，, 90,BOC ∴∠=o

∴二面角B OE C --的大小为90o .L L L L 12分

20. 解：(I)由题可设圆心(),C a a ，显然0,a ≠则21CA a k a

-==-，解得：1a =，

L L L L 2分

所以圆心的坐标：()1,1C

，r AC ==

;L L L L 4分

所以圆的标准方程为:()()22

112x y -+-= .L L L L 6分

(II)当直线的斜率存在时，可设直线/l 的方程：3y kx =+，即：30kx y -+=.

由题得：1d =

== ，解得：3

4k =- ，L L L L 8分

所求直线l 的方程为：34120x y +-= .L L L L 9分

当直线l 的斜率不存在时,直线0:/=x l ，满足题意；L L L L 11分 故：所求直线的方程为：34120x y +-=或0x =.L L L L 12分

21.解：

（I ）当040x << 时 :

()()22

8001020025010600250Q x x x x x x =-+-=-+- ;L L L L 2分

当40x ≥时：()100001000080080194502509200Q x x x x x x ??

=-+--=--+ ?

??

. L L L L 4分

()210600250,040,

10000

9200,40.x x x Q x x x x ?-+-<

∴=?--+≥??

L L L L 6分 （II ）当040x <<时，()()2

10308750Q x x =--+，

()()max 308750Q x Q ∴==万元；L L L L 8分

当40x ≥时，()100009200Q x x x ?

?=-++ ??

? ，当且仅当100x =时，

()()max 1009000Q x Q ==万元.L L L L 10分

所以，2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元. L L L L 12分 22.解：()1

3

4log I)4

(ax

f x x -=-Q 为奇函数, ()()22

1112

3334416log log log 04416ax ax a x f x f x x x x

-+-∴+-=+==----恒成立，L L 2分 即：21,1-1a a a =∴==或 ,L L L L 3分 检验得：-1a =；L L L L 4分 （II ）由（I ）得：()1

3

4log 4x f x x +=-=13

8log 14x ??+ ?-??，令()8

14g x x =+- , ()1212,,4,x x x x ?∈-∞-<，则： ()()()()()

211212121288888

11444444x x g x g x x x x x x x -??-=+

-+=-= ?

------??. ()()()121212,,4,,x x x x g x g x ∈-∞-<∴>Q .

()13

log f t t =Q 是减函数，()()11123

3

log log g x g x ∴< ，即：()()12

f x f x <.

所以()f x 在(),4x ∈-∞-上为增函数. L L L L 8分

（III ）()12x f x m ??

≤+ ???

恒成立，即：()()12x

m f x h x ??≥-= ???恒成立.

由（II ）知：()h x 在(],5x ∈-∞-上为增函数，所以

()()max 530m h x h ≥=-=-，所以m 的取值范围是：[)30,-+∞ .L L L L 12分