解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章
第三章平
§3.1平面的方程
1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：
(1)通过点M J QI-I)和点M2(1,—1,0)且平行于矢量｛—1,0,2｝的平面(2)通过点M^l,—5,1)和
M 2 (3,2,—2)且垂直于xoy坐标面的平面;
(3)已知四点A(5,1,3) , B(1,6,2) , C(5,0,4) D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面, 并求通过直线AB且与MBC平面垂直的平面。
解：(1) M1M2 =｛_2,_2,1｝，又矢量｛—1,0,2｝平行于所求平面,
故所求的平面方程为:
般方程为：4x -3y+2Z -7 =0
(2)由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即｛0,0,1｝与所求的平面平行，又
M 1M 2 =｛2,7,-3｝，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为:
般方程为：7(x—1)—2(y+5)=0，即7x—2y-17 = 0。
(3)( i)设平面兀通过直线AB，且平行于直线CD :
AB={m,5,—1}，CD ={-1,0,2}
从而兀的参数方程为:
般方程为：10x +9y + 5z-74=0。
(ii)设平面兀'通过直线AB，且垂直于MBC所在的平面
AB ={75,-1}，ABX AC ={-4,5,-1}x{0T,1} ={4,4,4} =4{1,1,1}
均与兀’平行，所以兀’的参数式方程为:
般方程为：2X+ y -3z - 2 = 0 .
2.化一般方程为截距式与参数式:
兀:X +2y-z+4 =0.
解：兀与三个坐标轴的交点为：(—4,0,0), (0—2,0), (0,0,4)，
所以，它的截距式方程为：△+丄+2 =1
又与所给平面方程平行的矢量为：｛4, —2,0｝,
-4 -2 4
又与所给平面方程平行的矢量为：｛4, —2,0｝,
1
二所求平面的参数式方程为:
3.证明矢量v={X,Y,Z}平行与平面 Ax + By+Cz + D=0的充要条件为： AX + BY + CZ = 0.
证明：不妨设A H O
, 则平面Ax +By +Cz + D =0的参数式方程为:
B
C
故其方位矢量^:
^-
,1,0},
^-,0,
1}
，
从而v 平行于平面 Ax + By + Cz + D = 0的充要条件为:
- B C
v ，{-—,1,0}, {——,0,1}共面 U
A A
二 AX +BY +CZ =0.
4.已知连接两点 A(3,10,—5), B(0,12,z)的线段平行于平面 7x + 4y-z-1= 0,求B 点的z 坐标.
而 AB 平行于 7x +4y -z-1 =0
由题 3 知: (-3) X 7 + 2x4 - (z+5) = 0 从而Z = 18.
5.求下列平面的一般方程 ⑴通过点M 1 (2^1,1跑M 2 (3,—2,1)且分别平行于三坐标轴的三个平面 ⑵过点M (3,2,7 且在
X 轴和y 轴上截距分别为
-2和-3的平面；
⑶与平面5x +y -2z + 3 =0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面 ⑷已知两点M r (3,—1,2
2(4,-2,-1 ),求通过M 1且垂直于M 2的平面；
⑸原点0在所求平面上的正射影为
P(2,9,—6);
⑹求过点M 1 (3^5,1 )和同2 (4,1,2 )且垂直于平面X —8y+3z —1=0的平面.
—=1,把点 M (3,2, V ”弋入得 C =-迢 -2 -3 C
19
解：平行于X 轴的平面方程为
X-2 y+1 1 -1
Z —1
=0.即 Z —1 =
0.
同理可知平行于y 轴，z 轴的平面的方程分别为 Z -1 = 0,x + y -1 =
0 .
解:
AB ={—3,2,5+ z}
⑵设该平面的截距式方程为
3 1 1
1
故一般方程为 12x +8y + 19z +24=0.
⑶若所求平面经过
X 轴，则（0,0,0 ）为平面内一个点，
fe ,1, _2｝和丸0,0｝为所求平面的方位矢量，
???一般方程为2y+ z=0.
同理经过y 轴，z 轴的平面的一般方程分别为 2x+ 5z=0,x-5y = 0.
⑷M =《,-1,-3九跑2垂直于平面兀, ???该平面的法向量
=勺,—1,—3）平面C 通过点M ）3,—1,2 ）,
因此平面兀的点位式方程为（x -3）-（y +1）-3（z -2）=0. 化简得 x-y -3z + 2 =0.
(5) op = {2,9,-6}
C 2 n 9 甘 6 ?- cosc = —,cosP = — ,cosY = ——.
11 11 11
2 9 6
则该平面的法式方程为：二X +旦y -2z-11 =0.
11 11 11
既 2x +9y —6z —121 =0.
(6)平面 X —8y +3z -1 =0 的法向量为 n = ￡,—8,3}, M 1M 2
= 14,D = —26^4 + 2 + 28 = —74 , 则一般方程 Ax+By+Cz + D =0,即：13x - y-7z-37
= 0. 6.将下列平面的一般方程化为法式方程。 解：寫D = -3.
???点法式方程为
X -0 y-0
5 1
Z —0 -2 =0
写岀平面的点位式方程为
X —4 y-1 -8
z-2
-8 6
= —26,
= 2,C =
730
1
x y+7
z 2 6 1
一般方程乘上A =1 9 =-1 .得法式方
9
7 一一z =0. 9
7 .求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。
1
解：(1)D = —35.几=—.化为法式方程为
7
+ 3
y+6
z — 5 = 0原点指向平面 兀的单位法矢量为
7
7
它的方向余弦为
17 7 7j 2
co 糅=-,C
o^=3
,co^-.原点0到平面兀的距离为 7
7
P = -)D = 5.
1
(2?=21.「—3.化为法式方程为
1 --x 3
+ Zy — 2Z -7=0原点指向平面 兀的单位法矢量为 3 3 「 ，2,-2|它的方向余弦为
1 3 3 3 J
1 2 2
cosa = —一 ,cos P = —，cos Y = —一.原点o 到平面兀的距
离
p = -A D = 7.
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8?已知三角形顶点 A(0,—7,0),B(2,—1,1),C( 2,2,2求平行于L ABC 所在的平面且与她相距为 2
各单位的平面方程。
设AB=a,AC =b.点A(0,—7,0 ).则a = {2,6,1},b={2,9,2}写岀平面的点位式方程
设一般方程
Ax +By +Cz +D =0,?.A =3.B = 2,C = 6,D = —14 c 0.
几=-斗.得法式方程
42
1
X + 1
±1 1
=0.”?.A =—.即几=—或 Z =
9 9
”将已知的一般方程乘上
扎=丄.得法式方程
V 30 730
2y
j 30
3
=0.
= 2.”?.A = —1.”?.将已知的一般方程乘上
扎=—1.得法式方程 -x-2 = 0.
1
则几=7.
p
—2
.
相距为2个单位。则当P =4时D = —28.当P =0时D =0.
”所求平面为 3x -2y +6z -28 =0.和 3x -2y + 6z = 0. 9.求与原点距离为 6个单位，且在三坐标轴 OX,oy 与oz 上的截距之比为 a: b: C = —1:3: 2的平
面。
解：设a = —x,b =3x, c = 2x.T abc 工0「设平面的截距方程为 -+丄+兰=1.
a b c
即 bcx +acy + abz =abc.
又?「原点到此平面的距离 d = 6.
_______ = 6.
J(b 2c 2 +a 2c 2 +a 2b 2 図2
y z
”".所求方程为 —x +—+— =7.
3 2
x y z
10.平面—+丄+ — =1分别与三个坐标轴交于点
A ,
B ,C.求
L ABC 的面积。
a b C
解 A(a, 0, 0 )B(0,b,0)
,C(0,0, C ) TB ={—a, b,0},7C ={—a,0, C }.
A^xA? ={bc,ca,ab}； c 2
+c 2
a 2 +a 2
b 2
.
SLABC = 1j b 2c 2 +c 2a 2 +a 2b 2
11.设从坐标原点到平面的距离为。求证
证明：由题知:
-1
+丄
c
1 1 1
=—+— + —
2 .2 2 -
§3.2平面与点的相关位置
(1)
M (—2,4,3),兀：2x -y +2z +3 =0 ； (2)
M (12—3),兀:5x-3y +z +4 =0.
将兀的方程法式化，得：
解:
2+1 2 c
-—x+—y- — zT = 0 ,
3 3 3
—6 —2咒4 +5
=3。