高中数学 数列与不等式练习题(含答案)
高中数学探究性试题汇编
课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基本知识，把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式。具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一种教学活动形式。它可使学生学会学习和掌握科学方法，为学生终身学习和发展奠定基础。
探究性试题有助于数学思维的提高。
1．已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：在定义域内存在0x ，使得
()()()1100f x f x f +=+成立。
（Ⅰ）函数()x
x f 1
=
是否属于集合M ？说明理由； （Ⅱ）设函数()M x a
x f ∈+=1
lg 2，求a 的取值范围；
（Ⅲ）设函数x
y 2=图象与函数x y -=的图象有交点，证明：函数()M x x f x
∈+=2
2。
解：（Ⅰ）若()x
x f 1=
M ∈，在定义域内存在0x ，则
01111102
000=++?+=+x x x x ， ∵方程0102
0=++x x 无解，∴()x
x f 1
=M ?。 （
Ⅱ
）
()()()()012222lg 1lg 1
1lg 1lg
22
22=-++-?++=++?∈+=a ax x a a
x a x a M x a x f ，
2
=a 时，
2
1
-
=x ；
2
≠a 时，由
≥?，得
[)(]
53,22,530462+?-∈?≤+-a a a 。
∴[]
53,53+-∈a 。 （
Ⅲ
）∵
()()()()()
[]
122)1(223212110102
02
01000000-+=-+=---++=--+-+x x x x f x f x f x x x x ，
又∵函数x
y 2=图象与函数x y -=的图象有交点，设交点的横坐标为a ，
则()012
0201
0=-+?=+-x a x a
，其中10+=a x 。
∴()()()1100f x f x f +=+，即()M x x f x
∈+=2
2。
2．已知)(x f 是定义在R 上的恒不为零的函数，且对于任意的x 、R y ∈都满足：
)()()(y x f y f x f +=?
（1）求)0(f 的值，并证明对任意的R x ∈，都有0)(>x f ；
（2）设当0
（3）在（2）的条件下，求集合{}
)lim (,),(,),(),(21n n n S f S f S f S f ∞
→ΛΛ中的最大元素和最
小元素。
解：（1）1)0(,0)0(),0()0()0(=∴≠=?f f f f f 0)]2
([)2()2()(,0)2(2
>=?=∴≠x f x f x f x f x
f Θ （2）∵当0
∴当21x x <，即021<-x x 时，有)0()(21f x x f >-1=， 即)()
(1
)(,1)()(22121x f x f x f x f x f =->
∴>-? ()1)0()()(22==-?f x f x f Θ
∴)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。
（3）∵)(x f 在()+∞∞-,上是减函数，{n S }是递增数列∴数列{})(n S f 是递减数列。 ∴
集
合
{}
)lim (,),(,),(),(2
1
n
n n
S f S f S f S f ∞
→ΛΛ中的最大元素为
22)1()2
1
()(1=
=
=f f S f ，最小元素为2
1)1()lim (==∞→f S f n n 。
3．已知等差数列{}n a 中，公差0>d ，其前n 项和为n S ，且满足14,454132=+=?a a a a ， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）通过c
n S b n
n +=
构造一个新的数列{}n b ，是否存在一个非零常数c ，使{}n b 也为等
差数列； （3）求*)()2005()(1
N n b n b n f n n
∈?+=
+的最大值。
解：（1）∵等差数列{}n a 中，公差0>d ，
∴34495144514453232
324132-=?=????==????=+=?????=+=?n a d a a a a a a a a a a n 。
（2）()??? ??
-=-+=2122341n n n n S n ，c n S b n n +=c n n n +??? ??
-=212，令21-=c ，即得
n b n 2=，
数列{}n b 为等差数列，∴存在一个非零常数2
1
-=c ，使{}n b 也为等差数列。 （
3
）
()()2006
200521
2006200511
2005)2005()(1+<++=++=?+=
+n
n n n n
b n b n f n n ，
∵(
)
0802079212005289442005200545<-=-=---，
即442005200545-<
-， ∴45=n 时，()n f 有最大值
18860
9
46205045=
?。 4．已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()
*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若函数(),2,321)(321≥∈++
++++++=
n N n a n n
a n a n a n n f n
且Λ求函数 )(n f 的最小值；
（3）设n n
n S a b ,1
=表示数列{}n b 的前项和。试问：是否存在关于n 的整式()n g ，使得 ()()n g S S S S S n n ?-=++++-11321Λ对于一切不小于2的自然数n 恒成立？
若存在，写出()n g 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。
{},11111()101,1111(1)1(2),1.3n n n n n n n P a a x y a a a a a n n n a a n ++--=-==∴∴=+-?=≥=∴=Q L L L L L L L L L L L L L L 解:（）点在直线上，即且数列是以为首项，为公差的等差数列。
也满足分
111
2(),122111111
(1)23422122
111111
(1)()0,62122122221
7
()()(2)812
f n n n n f n n n n n n n f n f n n n n n n n f n f n f =
++++++=+++++++++++∴+-=+->+-=++++++∴=Q L L L L L L L L L L L L L L L L L L （），
分
是单调递增的，故的最小值是。分
111122211112112111111
31,(2),1023(1)1,(1)(2)1,11(1)(2)().13n n n n n n n n n n n n n n n b S S S n n n n
nS n S S n S n S S S S S nS S S S S n S S S nS n S n n g n n --------=
?=++++∴-=≥--=+∴---=+-=+∴-=++++-∴+++=-=-?≥∴=Q L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L （）分即，，
,
分故存在()214n g n n n =L L 关于的整式，使等式对于一切不小于的自然数恒成立分
5．设函数()1+=
x x g ，函数()(]a x x x h ,3,3
1
-∈+=
，其中a 为常数且0>a ，令函数()x f 为函数()x g 和()x h 的积函数。
（1）求函数()x f 的表达式，并求其定义域； （2）当4
1
=
a 时，求函数()x f 的值域； （3）是否存在自然数a ，使得函数()x f 的值域恰为??
????2
1,31？若存在，试写出所有满足条件的自然数a 所构成的集合；若不存在，试说明理由。 解：（1）()3
1
++=
x x x f ，[]()0,0>∈a a x 。 （2）∵41=
a ，∴函数()x f 的定义域为??
????41,0，令t x =+1，则()21-=t x ，??
?
???∈23,1t ，
∴()()241
4
22
-+=+-=
=t
t t t t
t F x f ， ∵t t 4=
时，???????±=23,12t ，又??
?
???∈23,1t 时，t t 4+递减，∴()t F 单调递增，
∴()??????∈136,
31t F ，即函数()x f 的值域为??
?
???136,31。 （3）假设存在这样的自然数a 满足条件，令
t x =+1，则
()()241
4
22-+=
+-=
=t
t t t t
t F x f ， ∵[]()0,0>∈a a x ，则[]
1.1+∈a t ，要满足值域为??
?
???21,31，则要满足
()2
1max =
t F ， 由于当且仅当t
t 4
=
2=?t 时，
有44≥+t t 中的等号成立，且此时()21=t F 恰为最大值，
∴[]
11,12≥?+∈a a ，
又()t F 在[]2,1上是增函数，在[]
1,2+a 上是减函数，∴
(
)
3
1
311≥++=
+a a a F
90≤
6、已知二次函数()()R x a ax x x f ∈+-=2
同时满足：①不等式()0≤x f 的解集有且只有
一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立。 设数列{}n a 的前n 项和()n f S n =， （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）试构造一个数列{}n b ，（写出{}n b 的一个通项公式）满足：对任意的正整数n 都有
n n a b <，且2lim
=∞→n
n
n b a ，并说明理由；
（3）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01
n a a
c -
=1（n 为正整数），求数列{}n c 的变号数。 解：（1）∵()0≤x f 的解集有且只有一个元素，∴40042
==?=-=?a a a a 或，
当0=a 时，函数()2
x x f =在()+∞,0上递增，故不存在210x x <<，使得不等式
()()21x f x f >成立。
当4=a 时，函数()442
+-=x x x f 在()2,0上递减，故存在210x x <<，使得不
等式()()21x f x f >成立。
综上，得4=a ，()442
+-=x x x f ，∴442+-=n n S n ，∴
（2）要使2lim
=∞→n
n
n b a ，可构造数列k n b n -=，∵对任意的正整数n 都有n n a b <，
∴当2≥n 时，52-<-n k n 恒成立，即k n ->5恒成立，即325>?<-k k ，
又0≠n b ，∴*
N k ?，∴2
3
-
=n b n ，等等。 （3）解法一：由题设???
??≥--=-=2,5
24
11,3n n n c n ， ∵3≥n 时，()()
032528
3245241>--=---=
-+n n n n c c n n ，∴3≥n 时，数
列{}n c 递增，
∵0314<-
=a ，由505
241≥?>--n n ，可知054
又∵3,5,3321-==-=c c c ，即0,03221
解法二：由题设???
??≥--=-=2,5
24
11
,3n n n c n ， 2
≥n 时
，
令
422
927252303272529201==?<<<
又∵5,321=-=c c ，∴1=n 时也有021
综上得 数列{}n c 共有3个变号数，即变号数为3。
7．已知复数i a a a a a z 4
15
262
22
--++--=， （1）当()2,2-∈a 时，求i a a a z 4
15
22
2--+-的取值范围； （2）是否存在实数a ，使得02
： （ 1 ） ∵ () 2,2-∈a ，∴ ??? ??∈+??? ??--=++-=--=--+-425,0425216641522 222 2a a a a a i a a a z 。 （2）（理）∵02 ()()Φ∈??????≠+-+-=--+=+-=--a a a a a a a a a a a a 022534 1520 2362 22 8．已知 ()()a x x x a x f ,2,2,2 13 2-∈- =为正常数。 （1）可以证明：定理“若a 、+ ∈R b ，则ab b a ≥+2 （当且仅当b a =时取等号） ”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）； （2）若()0>x f 在()2,0上恒成立，且函数()x f 的最大值大于1，求实数a 的取值范围，并由此猜测()x f y =的单调性（无需证明）； （3）对满足（2）的条件的一个常数a ，设1x x =时，()x f 取得最大值。试构造一个定义在 {} N k k x x x D ∈-≠->=,24,2且上的函数()x g ，使当()2,2-∈x 时， ()()x f x g =，当D x ∈时，()x g 取得最大值的自变量的值构成以1x 为首项的等差数 列。 解：（1）若a 、b 、+ ∈R c ，则3 3 abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）。 （2）()021212232 >??? ? ?-=- =x a x x x a x f 在()2,0上恒成立，即2221x a >在()2,0上恒成立， ∵()2,02 12 ∈x ，∴22≥a ，即2≥a ， 又 ∵ ()[]323 22222222222 32321212121???? ??=????? ?????????? ??-+??? ??-+≤??? ??-??? ??-=a x a x a x x a x a x x f ∴ 2 222 1x a x - =， 即 a x 3 6= 时， 262646362919623 3 3max >???? ? ??==>?>=a a a f ， 又∵a x 3 6 = ()2,0∈，∴()6,0∈a 。 综上，得[ ) 6,2∈a 。 易知，()x f 是奇函数，∵a x 36= 时，函数有最大值，∴a x 3 6-=时，函数有最小值。 故猜测：??????????? ??--∈2,3636,2a a x 时，()x f 单调递减；??? ???-∈a a x 36,36时， ()x f 单调递增。 （3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可。 如 对 ()N k k k x ∈+-∈,24,24， () 2,24-∈-k x ，此时 ()()()k x f k x g x g 44-=-=， 即 ()()()()N k k k x k x k x a x g ∈+-∈---=,24,24,42 1432 。 9．已知函数()x b b ax x f 22242-+-=，()()2 1a x x g ---=，()R b a ∈, （Ⅰ）当0=b 时，若()x f 在[)+∞,2上单调递增，求a 的取值范围； （Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对()b a ,：当a 是整数时，存在0x ，使得()0x f 是() x f 的最大值，()0x g 是()x g 的最小值； （Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对()b a ,，试构造一个定义在{2|->=x x D ，且 }N k k x ∈-≠,22上的函数()x h ，使当()0,2-∈x 时，()()x f x h =，当D x ∈时，()x h 取得最大值的自变量的值构成以0x 为首项的等差数列。 解：（Ⅰ）当0=b 时，()x ax x f 42 -=， 若0=a ，()x x f 4-=，则()x f 在[)+∞,2上单调递减，不符题意。 故0≠a ，要使()x f 在[)+∞,2上单调递增，必须满足?????≤>2240a a ，∴1≥a 。 （Ⅱ）若0=a ，()x b b x f 2242-+-=，则()x f 无最大值，故0≠a ，∴()x f 为二次函数， 要使()x f 有最大值，必须满足? ? ? ≥-+<02402 b b a ，即0 b b x x 2 024-+= =时，()x f 有最大值。 又()x g 取最小值时，a x x ==0，依题意，有 Z a a b b ∈=-+2 24，则 ()2 221524--=-+=b b b a ， ∵0 <502 ，得1-=a ，此时1 -=b 或3=b 。 ∴满足条件的实数对()b a ,是()()3,1,1,1---。 （Ⅲ）当实数对()b a ,是()()3,1,1,1---时，()x x x f 22 --= 依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。 如对()k k x 2,22-∈，()0,22,-∈-∈k x N k ， 此时，()()()()()k x k x k x f k x h x h 222222 ----=-=-=， 故()()()()N k k k x k x k x x h ∈-∈----=,2,22,2222 。 10. 已知在数列}{n a 中，11=a ，122-=n n qa a ，d a a n n +=+212(q 、d ∈R ,q ≠0)。 （1）若q =2，d =-1，求3a 、4a ，并猜测2006a ； （2）若}{12-n a 是等比数列，且}{2n a 是等比数列，求q 、d 满足的条件； （3）一个质点从原点出发，依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，第n 次 运动的位移是n a ，质点到达点n P 。设点n P 4的横坐标为n x 4，若d =0，若324lim =∞ →n n x ， 求q 。 解：（1）∵22,11,2,1342321===-===a a a a a a ， (2') ∴猜测: 22006=a . (4') （2）（理）由122-=n n qa a ，d a a n n +=+212 得d qa a n n +=-+1212， 当0=d 时，1212-+=n n qa a ，显然}{12-n a 是等比数列， 当0≠d 时，因为11=a ，只有112=-n a 时，}{12-n a 才是等比数列 ∴d qa a n n +=-+1212?1=+d q ，即0,0≠=q d ，或1=+d q 由122-=n n qa a ，d a a n n +=+212 得qd qa a n n +=-222(n ≥2), 当1=q 时，d a a n n +=-222(n ≥2)，显然}{2n a 是等差数列， 当1≠q 时，q qa a ==12，只有q a n =2时，}{2n a 才是等差数列， 1)(222=+?+=+d q d a q a n n ，即1=q ，或1=+d q 综上，q 、d 满足的条件是1=+d q （3）∵1212-+=n n qa a ，∴1 12--=n n q a (12') ∴3 283141,1q q q x q a a x -+-=-=-=,…, ∴122 23241---++-+-=n n n q q q q q x Λ. ∵3 211 4lim ==+∞ →q n n x ，∴21=q 11．已知函数)()(1x f x f =，)()(1 12x f x f -=，???=-+为偶数。 为奇数； n ,-f f n x f x f n n n 1)](x [),()(111 （1）若函数x x f =)(1，求函数)(3x f 、)(4x f 的解析式； （2）若函数],1[,)(log )(21a x x x f ∈=，函数)()(43x f x f y ?=的定义域是[1,2]， 求a 的值； （3）设)(x f 是定义在R 上的周期为4的奇函数，且函数)(x f 的图像关于直线a x = 对称。当]1,0[∈x 时，x x f =)(，求正数a 的最小值及函数)(x f 在[-2,2]上 的解析式。 解：（1）∵ ),0[,)(1+∞∈= x x x f ， (1') ∴ ),0[,)()(21 12+∞∈==-x x x f x f ； ),1[,1])1[()]1([)(21213+∞∈-=-=-=x x x f x f f x f ； ),0[,1)()(1 34+∞∈+==-x x x f x f . （2）∵ ],1[,log )(21a x x x f ∈=，∴]log ,0[,2)()(21 12a x x f x f x ∈==-, ]log 1,1[,1)2(log )]1([)(212213a x x x f f x f x +∈-==-=-, ]log ,0[,1)()(21 34a x x x f x f ∈+==-， ∴ ]log ,1[,1)()(2243a x x x f x f y ∈-=?=. 由题设，得42log 2=?=a a . （3）∵)(x f 是定义在R 上的奇函数，∴)()(x f x f -=- ① ∵函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，∴)2()(x a f x f -= ② 在②式中以x -替换x ，得 )2()(x a f x f +=- ③ 由①式和③式，得 )()2(x f x a f -=+ ④ 在④式中以a x 2+替换x ，得 )2()4(x a f x a f +-=+ ⑤ 由④式和⑤式，得 )()4(x f x a f =+ (14') ∵)(x f 是定义在R 上的周期为4的奇函数，∴正数a 的最小值是1. ∴当x ∈[0,1]时，x x f = )(，∴当x ∈[-1,0]时，x -∈[0,1]， )()(x f x x f -=-= -，即x x f --=)(. ∵函数)(x f 的图象关于直线1=x 对称， ∴当x ∈(1,2]时，2-x ∈[0,1)，x x f x f -=-=2)2()( 当x ∈[-2,-1)当，x -∈(1,2]，)(2)(x f x x f -=+= -，即x x f +-=2)(. ∴??? ? ? ??--∈+--∈--∈∈-=)1,2[,2)0,1[,]1,0[,]2,1(,2)(x x x x x x x x x f . 12. 已知等差数列{}n a 的首项为p ，公差为)0(>d d .对于不同 的自然数n ，直线n a x =与x 轴和指数函数x x f )2 1()(=的图像分别交于点n n B A 与（如图所示），记n B 的坐标为),(n n b a ，直角梯形1221B B A A 、2332B B A A 的面积分别为1s 和2s ，一般地记直角梯形n n n n B B A A 11++的面积为n s . （1） 求证数列{}n s 是公比绝对值小于1的等比数列； （2） 设{}n a 的公差1=d ，是否存在这样的正整数n ，构 成以21,,++n n n b b b 为边长的三角形？并请说明理由； （3） （理）设{}n a 的公差)0(>d d 为已知常数，是否存 在这样的实数p 使得（1）中无穷等比数列{}n s 各项的和S>2010？并请说明理由. （文）设{}n a 的公差1=d ，是否存在这样的实数p 使得（1）中无穷等比数列{}n s 各项的和S>2010？如果存在，给出一个符合条件的p 值；如果不存在，请说明理由. 解．（1）d n p a n )1(-+=，d n p n b )1()2 1 (-+= ])2 1 ()21[()21(2])21()21[(2)1()1(nd d n p nd p d n p n d d s +??=+= -+-+，对于任意自然数n ， nd d n d n nd n n s s )2 1()21()21 ()2 1()1()1(1++=-++=d d d )21(12)21(1=++，所以数列{}n s 是等比数列且公比d q )21(=，因为0>d ，所以1 （写成nd a d d n a nd a n d d s )21()21()21(])21()21[(21)1(111??+?=+= +-++，得公比d q )2 1 (=也可） （2）2)1(1-=-+-=n n a n ，2)2 1 (-=n n b ，对每个正整数n ，21++>>n n n b b b ……6分 若以21,,++n n n b b b 为边长能构成一个三角形，则n n n b b b >+++12，即21)2 1()21()21(-->+n n n ， 1+2>4，这是不可能的 ……9分 所以对每一个正整数n ，以21,,++n n n b b b 为边长不能构成三角形 （3）（理）由（1）知，10< p d d s 2 2 )21(1 1?+= + 所以) 12(2) 12(111-+=-=+d p d d q s S 若) 12(20102)12(22010) 12(2 )12(1 -??+< >-+= +d d p d p d d d S ，则 两边取对数，知只要p a =1取值为小于) 12(20102) 12(log 2-??+d d d 的实数，就有S>2010 说明：如果分别给出1a 与d 的具体值，说明清楚问题，也参照前面的评分标准酌情给分，但不得超过该部分分值的一半。 （文）p s +=212 3 ，21=q 所以q s S -=11123 +=p 如果存在p 使得2010231 >= +p S ，即1340 1 402032=< p 两边取对数得：1340log 2- 因此符合条件的p 值存在，4.101340log 2≈，可取p= -11等 说明：通过具体的p 值，验证2010231 >=+p S 也可。 13．函数f (x )= b ax x +(a ，b 是非零实常数)，满足f (2)=1，且方程f (x )=x 有且仅有一个解。 (1)求a 、b 的值； (2)是否存在实常数m ，使得对定义域中任意的x ，f (x )+f (m –x )=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A (–3,1)到此函数图象上任意一点P 的距离|AP |的最小值。 解：(1)由f (2)=1得2a+b =2，又x =0一定是方程b ax x +=x 的解， 所以 b ax +1 =1无解或有解为0， 若无解，则ax+b=1无解，得a =0，矛盾， 若有解为0，则b=1，所以a =2 1。 (2)f (x )= 2 2+x x ，设存在常数m ，使得对定义域中任意的x ，f (x )+f (m –x )=4恒成立， 取x=0，则f (0)+f (m –0)=4，即22+m m =4，m= –4(必要性) 又m= –4时，f (x )+f (–4–x )=2 4) 4(222+----++x x x x =……=4成立(充分性) 所以存在常数m= –4，使得对定义域中任意的x ，f (x )+f (m –x )=4恒成立， (3)|AP |2=(x+3)2+( 22+-x x )2 ，设x+2=t ，t ≠0， 则|AP |2=(t+1)2+(t t 4-)2=t 2+2t +2–t 8+216t =(t 2+216t )+2(t –t 4)+2=(t –t 4)2+2(t –t 4 )+10 =( t –t 4 +1)2+9， 所以当t – t 4 +1=0时即t=2171±-，也就是x=2175±-时， |AP | min = 3 14.已知元素为实数的集合S 满足下列条件：①1、0S ?；②若a S ∈，则 1 1S a ∈- ()1若{}2,2S -?，求使元素个数最少的集合S ； ()2在上一小题求得的集合S 中，任取3个不同元素,,a b c ，求使1abc =-的概率。 ()3（本小题选理科的学生做，选文科的学生不做） 若非空集合S 为有限集，则你对集合S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确。 解 ()()1111121211211212 S S S S ∈? =-∈?=∈?=∈----； ()11131 221312321132 S S S S -∈?=∈?=∈?=-∈---- ∴使{}2,2S -?的元素个数最少的集合S 为1132,1,,2,,232? ?--??? ? ()2设,,a b c 是1132,1, ,2,,232S ?? =--???? 中三个不同元素，且使1abc =-，由于S 中仅有2个负数，故只有如下两种可能：()()113 211,21232 ?-? =--??=- ∴所相对的概率为3621 10 P C = = ()3非空有限集S 的元素个数是3的倍数 证明如下： 设,a S ∈则0,1a ≠且 1111111111a a S S S a S a a a a a -∈? ∈?=∈?=∈----- ()* 由于()21 1011a a a a a =?-+=≠-，但210a a -+=无实数根 故 11a a ≠-同理111 ,1a a a a a a --≠≠- 11,,1a a S a a -? ?∴???-?? 若存在b S ∈，而11, ,1a b a a a -? ????-?? ，则 11,,1b b S b b -?????-?? 且1111, ,,,11a b a b a a b b --? ????=?????--???? （若11, ,1b b b b -????-??中有元素∈11,,1a a a a -? ???-?? ，则利用前述的()*式可知b ∈11,,1a a a a -? ???-?? ） 于是1111, ,,,,11a b a b S a a b b --? ????--?? 上述推理还可继续，由于S 为有限集，故上述推理有限步可中止 ∴S 的元素个数为3的倍数。 15.已知二次函数 )0()(2≠+=a b a bx ax x f 为常数且、满足条件： )5(+-x f =)3(-x f ，且方程)(x f =x 有等根。 (1)求)(x f 的解析式； (2)是否存在实数m 、n(m .解: (1)由条件易得211221(1)0b a a b b ??-==- ???????=?=-=?? ,∴21()2f x x x =-+……7分 (2)假设存在这样的m 、n 满足条件,由于22111()(1)222 f x x x x =- +=--+ 所以3n ≤12 即n ≤1 6 <1,故二次函数f (x )在区间[m ,n ]上是增函数, 从而有 ()34,0 4,0()34,0 f m m m m n m n f n n n ==-???<∴=-=? ?==-??Q 16 ．已知函数12 ()(,0)4f t at t R a a =-+ ∈<的最大值为正实数，集合 }0| {<-=x a x x A ，集合}|{22b x x B <=。 （1）求A 和B ； （2）定义A 与B 的差集：A x x B A ∈=-|{且}B x ?。 设a ，b ，x 均为整数，且A x ∈。)(E P 为x 取自B A -的概率，)(F P 为x 取自B A I 的概率，写出a 与b 的二组值，使32)(=E P ，31 )(=F P 。 （3）若函数)(t f 中，a ，b 是（2）中a 较大的一组，试写出)(t f 在区间 [n ,n]上 的最大值函数()g n 的表达式。 （1）∵)()(412 R t t b at t f a ∈+ -=，配方得a b a b t a t f 4122)()(-+- =，由0 1041>?>-b a b 。 ∴}0|{<<=x a x A ，}|{b x b x B <<-=。 （2）要使3 2 )(= E P ，3 1)(=F P 。可以使①A 中有3个元素，B A -中有2个元素， B A I 中有1个元素。则2,4=-=b a 。 ②A 中有6个元素，B A -中有4个元素， B A I 中有2个元素。则3,7=-=b a （3）由（2 ）知21()4([])16 f t t t n n =---∈- ()g n = 21 161 1621 164,,0 4,0 n n n n n ---<≤≤-+> 17．给出函数封闭的定义：若对于定义域D 内的任一个自变量x 0，都有函数值f(x 0)D ∈， 则 称函数y=f(x)在D 上封闭。 （1）若定义域D 1=（0，1），判断下列函数中哪些在D 1上封闭，且给出推理过程 f 1(x)=2x-1，f 2(x)=121221+--x x ，f 3(x)=2x -1，f 4(x)=cosx.； （2）若定义域D 2=（1，2），是否存在实数a 使函数f(x)=25+-x a x 在D 2上封闭，若存在， 求出a 的值，并给出证明，若不存在，说明理由。 解：（1）∵f 1( 2 1 )=0?(0,1)，∴f(x)在D 1上不封闭；(2') ∵f 2(x)=-(x+ 2 1)2 +89 在(0,1)上是减函数，∴0＜f 2(1)＜f 2(x)＜f 2(0)=1， ∴f 2(x)∈(0,1)?f 2(x)在D 1上封闭；(4') ∵f 3(x)=2x -1在(0,1)上是增函数，∴0=f 3(0)＜f 3(x)＜f 3(1)=1， ∴f 3(x)∈(0,1)?f 3(x)在D 1上封闭；(6') ∵f 4(x)=cosx 在(0,1)上是减函数，∴cos1=f 4(1)＜f 4(x)＜f 4(0)=1， ∴f 4(x)∈(cos1,1)?(0,1)?f 4(x)在D 1上封闭；(8') （2）f(x)=5-210 ++x a ，假设f(x)在D 2上封闭，对a+10讨论如下： 若a+10＞0,则f(x)在(1,2)上为增函数，故应有???≥≤??? ?≤≥2 22 )2(1)1(a a f f ?a=2 (10') 若a+10＝0，则f(x)=5，此与f(x)∈(1,2)不合，(12') 若a+10＜0，则f(x)在(1,2)上为减函数，故应有?? ?-≤-≥??? ?≥≤6 11 )2(2)1(a a f f ,无解,(14') 综上可得，a=2时f(x)在D 2上封闭. 18．（1）已知数列}{n a 的通项公式：)(132 32N n a n n n ∈-+?= ，试求}{n a 最大项的值； （2）记2 -+=n n n a p a b ，且满足（1），若})({31n b 成等比数列，求p 的值； （3）（理）如果2,1,1 111≠->++=+C C C p C C n n n ，且p 是满足（2）的正常数，试证： 对于任意 自然数n ，或者都满足2,2212<>-n n C C ；或者都满足2,2212><-n n C C 。 （文）若}{n b 是满足（2）的数列，且})({31 n b 成等比数列， 试求满足不等式：2004)1(321≥?-++-+-n n b b b b Λ的自然数n 的最小值。 解 （1）1 341 34)13(22--+-+ == n n n n a ，∴221 341 341=≤ = ---n n a ，则4≤n a 。即}{n a 的最大项的值为4。 （2）欲使})({31 n b 成等比数列，只需}{n b 成等比数列。 ∵4 24 22 3p n p a p a n n n b -+-++ ?= = ，∴只需 04 2=+p 或 04 2=-p 即可。解得2=p 或2-=p 。 （3）（理）2=p ，111 211+++++==n n n C C C n C ， ∵11->C ，∴1->n C 。又21≠C ，∴2,,22≠≠n C C Λ。 ∵ 0)2()2(1 ) 2()21(1221212<= --+-----n n C C n n C C ，∴ 2 ,2212<>-n n C C ；或 2,2212><-n n C C 。 （文）∵2-=p 不合题意，∴n n b p 32=?=，据题意， 4019)3(20041) 3(1])3(1[3-≤-?≥+-----n n ， 8min =n 。 19、已知数列{}n a 中，12212121,,n n n n a a qa a a d -+===+（,q d R ∈） (1)若2,1q d ==-，求342006,,a a a 并猜测； (2)若{}{}212n n a a -成等比数列，成等差数列，求q, d 满足得条件； (3)一个质点从原点出发，依次安向右，向上，向左，向下的方向交替运动，第n 次运动的 位移是n a ，质点到达点n P ，设点4n P 的横坐标为4n x ，若42 0,lim 3 n x d x →∞ == ，求q 。 解： (1) 3420061,2,2a a a === (2)2121n n a qa d +-=+, 当d ＝0，显然成立； 当d ≠0，1211,1n a a -==，则1q d +=； ()222n n a q a d -=+ 当1q =，显然成立； 当1q ≠，,1n a q q d =+=只有则 (3)2323 211n n n x q q q q q --=-+-++- (4211) lim 312 n x x q q →∞ = =?=+ 20、已知函数()()()()()()()()11211 111,, ,1,n n n n f x f x f x f x f x f x n f x f f x n --++====-????为奇数 为偶数 (1)( )1f x ，求()()34,f x f x 的解析式； (2)若函数()[]12log ,1,f x x x a =∈，函数()()34y f x f x =是[]1,2，求a ； (3)()f x 是定义在R 上的函数，且其为奇函数，其图像关于直线x a =对称 当[]( )0,1,x f x ∈=，求最小正数a 及函数()f x 在[]2,2-上的解析式 解： (1)()()341(1),1,(0)f x x x f x x x =-≥=+≥ (2) a ＝4（可知2log 2a =） (3) a ＝1（略） ( )[]0,1f x x =∈； ( )[1,0)f x x =∈-； ( )(1,2]f x x =∈； ( )[2,1)f x x =∈--。 21．若函数()f x 对定义域中任一x 均满足()(2)2f x f a x b +-=，则函数()y f x =的图像关于点(,)a b 对称。 （1）已知函数2()x mx m f x x ++=的图像关于点(0,1)对称，求实数m 的值； （2）已知函数()g x 在(,0)(0,)-∞+∞U 上的图像关于点(0,1)对称，且当(0,)x ∈+∞ 时，2 ()1g x x ax =++，求函数()g x 在(,0)x ∈-∞上的解析式； （3）在（1）、（2）的条件下，若对实数0x <及0t >，恒有()()g x f t <，求实数a 的取值范围。 解：（1）由题设可得()()2f x f x +-=，解得1m =； （2）当0x <时，2 ()2()1g x g x x ax =--=-++； （3）由（1）得 1 ()1(0)f t t t t =++>， 其最小值为(1)3f =， 2 2 2()1()124 a a g x x ax x =-++=--++， 当02 a <，即0a <时，2max ()134a g x =+< ，得(,0)a ∈-， ① ②当 02 a ≥， 即0a ≥时，max ()13g x <<，得[0,)a ∈+∞，由①、 ②得()a ∈-+∞。 22. 已知函数12 ()log (1)f x x =+，当点00()P x y ，在()y f x =的图像上移动时， 点001 ( )2 x t Q y t R -+∈，（） 在函数()y g x =的图像上移动． （1） 若点P 坐标为（1-1，），点Q 也在()y f x =的图像上，求t 的值； （2） 求函数()y g x =的解析式； （3） 当0t >时，试探求一个函数()h x 使得()()()f x g x h x ++在限定定义域为 [0 1)，时有最小值而没有最大值． 解：（1）当点P 坐标为（1-1，） ，点Q 的坐标为11( 1)2t -+-，，…………2分 ∵点Q 也在()y f x =的图像上，∴12 1log (11)2 t -=- +，即0t =．……5分 （根据函数()y f x =的单调性求得0t =，请相应给分） （2）设( )Q x y ， 在()y g x =的图像上 则00 12x t x y y -+??=?=??，即{ 0021 x x t y y =+-= ……………………………………8分 而00()P x y ，在()y f x =的图像上，∴0102 log (1)y x =+ 代入得，12 ()log (2)y g x x t ==+为所求．…………………………………11分 （3）12 1()log 2x h x x t -=+；或12 32()log 2x h x x t -=+ 等． …………………15分 如：当1 2 1()log 2x h x x t -=+时， ()()()f x g x h x ++1112 2 2 1log (1)log (2)log 2x x x t x t -=+++++122log (1)x =- ∵21x -在[0 1)，单调递减， ∴2 011x <-≤ 故 12 2log (1)0x -≥， 即()()()f x g x h x ++有最小值0，但没有最大值．………………………18分 （其他答案请相应给分） （参考思路）在探求()h x 时，要考虑以下因素：①()h x 在[0 1)，上必须有意义（否则不能参加与()()f x g x +的和运算）；②由于()f x 和()g x 都是以 12 为底的对数，所以构造的函数 ()h x 可以是以12 为底的对数， 这样与()f x 和()g x 进行的运算转化为真数的乘积运算；③以12 为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；④为方便起见，可以考虑通过乘积消去()g x ；⑤乘积的结果可以是x 的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线12 x = 的左侧（否则真数会有最小值，对数就有最大值了） ，考虑到该二 次函数的图像与x 轴已有了一个公共点( 1 0)-，，故对称轴又应该是y 轴或在y 轴的右侧（否则该二次函数的值在[0 1)，上的值不能恒为正数），即若抛物线与x 轴的另一个公共点是( 0)a ，，则12a ≤<，且抛物线开口向下． 23．已知函数)(x f 是定义在[]2,2-上的奇函数，当)0,2[-∈x 时，3 2 1)(x tx x f - =（t 为常数）。 （1）求函数)(x f 的解析式； （2）当]6,2[∈t 时，求)(x f 在[]0,2-上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想) (x f 在[]2,0上的单调递增区间（不必证明）； （3）当9≥t 时，证明：函数)(x f y =的图象上至少有一个点落在直线14=y 上。 解：（1）(]2,0∈x 时，[)0,2-∈-x ， 则 332 1 )(21)()(x tx x x t x f +-=-- -=- ∵函数)(x f 是定义在[]2,2-上的奇函数，即()()x f x f -=- ∴()321x tx x f +-=-，即 32 1 )(x tx x f -=，又可知 ()00=f ∴函数)(x f 的解析式为 3 2 1)(x tx x f -= ，[]2,2-∈x （2）()??? ??- =221x t x x f ，∵]6,2[∈t ，[]0,2-∈x ，∴02 1 2≥-x t ∵ ()[] 27832121213 3 222 2222 t x t x t x x t x x f =????? ? ??-+-+≤?? ? ??-= ∴2 2 2 1x t x - =，即 36,322t x t x - ==[])0,23 6(-∈- t 时，t t f 9 6 2min - = 。 猜想)(x f 在[]2,0上的单调递增区间为?? ????36, 0t 。 （3） 9 ≥t 时，任取 2 221≤<≤-x x ， ∵ ()()()() 0212221212121 ? ???++--=-x x x x t x x x f x f ∴()x f 在[]2,2-上单调递增，即()()()[]2,2f f x f -∈，即 ()[]42,24--∈t t x f ∵9≥t ，∴1442,1424≥--≤-t t ，∴[]42,2414--∈t t ∴当9≥t 时，函数)(x f y =的图象上至少有一个点落在直线14=y 上。 24． 对数列{}n a ，规定{}n a ?为数列{}n a 的一阶差分数列，其中)(1N n a a a n n n ∈-=?+。 对自然数k ，规定 {} n k a ?为 {} n a 的k 阶差分数列，其中 )(1111n k n k n k n k a a a a --+-??=?-?=?。 1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为. 13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ） a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 第三节：均值不等式 1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D 2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋ ＋的最大值为 A.9 B.23 C.3 2 D.2 答案：D 3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABC A B C ?∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ?的周长的取值范围是__________. 答案：](32， 4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 答案：C 5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足, 若存在两项 的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ．9 答案：A 6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y +的最小值是. 答案：4 7. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a =+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 114 4,a m n =+则3 2 539 4 (),()b f b 处的切线斜率的最小值 是（ ） A.2 1 答案：A 8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足 恒成立，则 的最大值为. 答案：1 9. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目 标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 答案：A 10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?= ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++ 的最小值是（ ） A ．2 B ．．4 D ．答案：B 11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y x m m x y 8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．42m m ≥≤或－ B ．24m m ≥≤或－ C ．24m －＜＜ D ．42m －＜＜ 答案：D 12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ． 答案： ,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? 1a 2 b 不等式训练1 A 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．若02522 >-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 2 1（x ＋11+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 43≤x ≤2} B ．{x|4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值 21和最大值1 B ．最大值1和最小值4 3 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组? ??->-≥32x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为____________________。 3．不等式0212<-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,122N n n n n n n g n n ∈= --=-+?,用不等号 连结起来为____________. 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例：求函数224y x =+的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x = -.；3．203 x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。 第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为 均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥. 高中数学不等式练习题 一．选择题（共16小题） 1．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（） A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+ C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜ 2．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（） A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 3．若x，y满足，则x+2y的最大值为（） A．1 B．3 C．5 D．9 4．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 5．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6 6．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（） A．0 B．1 C．2 D．3 7．设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3] 8．已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．0 C．D．3 9．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3 10．若a，b∈R，且ab＞0，则+的最小值是（） A．1 B．C．2 D．2 11．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（） A．c a＞c b B．a c＜b c C．D．log a c＞log b c 12．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（） A．2 B．2 C．4 D．2 13．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（） A．6 B．C．D． 14．已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（） A．35 B．105 C．140 D．210 15．设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（） A．2 B．4 C．8 D．16 16．已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=的最小值为（）A．B．C．D． 二．解答题（共10小题） 17．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同． （Ⅰ）求m﹣n； （Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值． 18．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B．（1）求A∩B； 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 一元二次不等式及其解法 1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1 精品文档 高中数学不等式练习题 一．选择题（共16小题） 1．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（） +ab）＜log（a+a+b））B＜A．a+．＜＜log（22＜+b））＜a（）＜D．loga+C．a+＜log（a+b22xyz，则（=3=5x、y、z为正数，且2）2．设 A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 满足，则x+2y的最大值为（x，y）3．若 D．9A．1 B．3 C．5 满足约束条件yx，4的最小值是（）．设，则z=2x+y A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 满足约束条件，yx）5．已知，则z=x+2y的最大值是（ A．0 B．2 C．5 D．6 满足约束条件，则z=x+y的最大值为（．设x，y）6 A．0 B．1 C．2 D．3 满足约束条件y．设x），7z=x则﹣y的取值范围是（ A．[﹣3，0]，D ．[03] B．[﹣3，2]]，[C．02 满足约束条件﹣，则z=xyy．已知变量x，的最小值为（）8 ．D．0 B．﹣A3 ．C3 精品文档． 精品文档 满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（9．若变量x，y） ．﹣DC．﹣3A．1 B．﹣1 +的最小值是（，且ab＞0），则10．若a，b∈R 2．．2 BD．CA．1 11．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（） ccab．D．logc＞B．alog＜bcA．c ＞cC ba yx，则lg8，lg2=lg2+12．已知x ＞0，y＞0的最小值是（） 2D．2 C．BA．2 ．4 ，则的最小值是（ +b=3）＞0，b＞2，且a13．设a ．．．CDA．6 B 2222﹣xy的最小值是（xy=315，则x+．已知14x，y∈R，xy+y）+ A．35 B．105 C．140 D．210 +≥m1恒成立，则，不等式m的最．设正实数x，y满足x＞，y＞15）大值为（ 16D．2 B．．4 C．8 高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分) 1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ (理)已知a <0，-1> B ．2ab ab a >> C ．2ab ab a >> D ．2 ab a ab >> 2．“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A ．R B ．φ C ．),(+∞a b D ．(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ．),(a b --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．{|03}x x ≤< B ．{|22}x x -<< C ．{|13}x x -<< D ．{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．． 的是( ) A ． 11a b < B ．2b ab < C ．2>+b a a b D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是( ) A ．y x ＋x y B ．4 5 22++x x C ．tan x ＋cot x D ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( ) A ．02>x 与0>x B ．01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 2 1>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( ) A ．}8|{a a C ．}8|{≥a a D ．}8|{≤a a 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??= 高一数学不等式练习题 1、不等式1 1 2x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．()0,∞-?(2,)+∞ 2、不等式2 01x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．(12]-， 3、已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（ ） （A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3} 4 ) A. D. 5、不等式203x x ->+的解集是（ ） (A)(-3,2) (B)(2,+∞) (C) (-∞,-3)∪(2,+∞) (D) (-∞,-2)∪(3,+∞) 6、若不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ???，成立，则a 的最小值为（ ） Ａ．0 Ｂ．2- Ｃ．5 2- Ｄ．3- 7、设x 、y 为正数，则有(x+y)(1 x ＋4 y )的最小值为（ ） A ．15 B ．12 C ．9 D ．6 8、.若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 9、下面给出的四个点中，位于???>+-<-+01, 01y x y x 表示的平面区域内的点是（ ） （A ）(0,2) (B)(-2,0) (C)(0,-2) (D)(2,0) 10、已知函数()???≥ -<+-=01 1x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（ ） (A) {}121|-≤≤-x x (B) { }1|≤x x (C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x 均值不等式题型归纳 一、拼凑求最值 1．函数y ＝x ·(3－2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________． 2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4 有( ) A ．最大值54 B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值1 3．当x >1时，不等式x ＋1x －1 ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 二、“1”的代换 1．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245 B ．285 C ．5 D ．6 三、实际应用 1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓 储时间为x 8 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 2．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元． 3．一批救灾物资随17列火车以v km/h 的速度匀速直达400km 以外的灾区，为了安全起见， 两列火车的间距不得小于(v 20 )2km ，则这批物资全部运送到灾区最少需__________h. 4．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求： (1)仓库面积S 的取值范围是多少？ (2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？ 不等式综合练习题 常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥≥+ ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时取=；) （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 常用的放缩技巧有：(1)21111111 1(1)(1)1n n n n n n n n n -=<<=-++-- <<= 1、对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 1 1,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ 2、已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 3、设0,10>≠>t a a 且，比较2 1log log 21+t t a a 和的大小 4、设2a >，1 2 p a a =+ -，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 5、比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 6、下列命题中正确的是 A 、1y x x =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2 C 、4 23(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =-->的最小值是2- 7、若21x y +=，则24x y +的最小值是______ 8、正数,x y 满足21x y +=，则 y x 1 1+的最小值为______ 9、如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________ 10、（1）已知c b a >>，求证：2 22222ca bc ab a c c b b a ++>++ ； (2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++； （3）已知,,,a b x y R +∈，且 11,x y a b >>，求证：x y x a y b >++； (4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证： lg lg lg lg lg lg 222 a b b c c a a b c +++++>++； （5）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22 ()c a abc a b c +≥++； (6)若* n N ∈(1)n +< n ； (7)已知||||a b ≠，求证：|||||||| |||| a b a b a b a b -+≤-+； （8）求证：222111 1223n ++++<。 11、解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。 12、不等式(0x -的解集是____ 均值不等式复习（学案） 基础知识回顾 1．均值不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)均值不等式成立的条件：_______________. (2)等号成立的条件：当且仅当____________时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤? ????a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4) a 2＋ b 22≥? ?? ??a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 注意：使用均值不等式求最值，前提是“一正、二定、三相等” 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，均值不等式可叙述为两个正数的 算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用均值不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1) 如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，__________有最_____值是_____(简记：积定和 最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当_____时，____有最______值是_______.(简记：和定积最大) 双基自测 1．函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2 ＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1 b 有最大值4 B ．ab 有最小值1 4 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2 ＋b 2 有最小值 22 4.若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是( ) A ．18 B. 6 C. 32 D. 432 5.若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 . 6.若+ ∈R y x ,,且12=+y x ，则 y x 1 1+的最小值为 . 典型例题 类型一 利用均值不等式求最值 1．若函数f (x )＝x ＋1 x －2 (x ＞2)的最小值为____________. 2．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 高中均值 不等式讲解及习题 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时 取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅 当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） ;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的 和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；高中数学不等式练习题
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