利用空间向量求空间角和距离
利用空间向量求空间角和距离
A 级——夯基保分练
1.如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知M ,N 分别是BD 和AD 的中点,则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( )
A.30
30 B .3015
C.
3010
D.
1515
解析:选C 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则B 1(2,2,2),M (1,1,0),D 1(0,0,2),N (1,0,0),∴B 1M ―→
=(-1,-1,-2),D 1N ―→
=(1,0,-2),
∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为|B 1M ―→·D 1N ―→
|
|B 1M ―→|·|D 1N ―→|=
|-1+4|1+1+4×1+4=30
10
. 2.如图,已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD =AA 1=1,AB =3,E 为线段AB 上一点,且AE =1
3AB ,则DC 1与平面D 1EC 所成角的
正弦值为( )
A.33535
B .277
C.33
D.24
解析:选A 如图,以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0,3,1),D 1(0,0,1),E (1,1,0),C (0,3,0),
∴DC 1―→=(0,3,1),D 1E ―→=(1,1,-1),D 1C ―→
=(0,3,-1). 设平面D 1EC 的法向量为n =(x ,y ,z ),
则?????
n ·D 1E ―→=0,n ·
D 1C ―→=0,即?????
x +y -z =0,3y -z =0,取y =1,得n =(2,1,3).
∴cos DC 1―→,n
=DC 1―→·n |DC 1―→|·|n|
=33535, ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为335
35
.
3.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )
A.12 B .23
C.33
D.22
解析:选B 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ,设棱长为1,
则A 1(0,0,1),E ????1,0,1
2,D (0,1,0), ∴A 1D ―→
=(0,1,-1), A 1E ―→
=?
???1,0,-12, 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1=(1,y ,z ), 则????? n 1·A 1D ―→=0,n 1·
A 1E ―→=0,即?????
y -z =0,1-12z =0,
∴?
????
y =2,z =2,∴n 1=(1,2,2). 又平面ABCD 的一个法向量为n 2=(0,0,1), ∴cos 〈n 1,n 2〉=
23×1=2
3
. 即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为2
3
.
4.如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等,E ,F ,G 分别为AB ,AA 1,A 1C 1的中点,则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( )
A.35 B .56
C.3310
D.3610
解析:选A 设正三棱柱的棱长为2,取AC 的中点D ,连接DG ,DB ,分别以DA ,DB ,DG 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则B 1()0,3,2,F (1,0,1), E ???
?12,3
2,0,G (0,0,2), B 1F ―→=()1,-3,-1,EF ―→=???
?12,-3
2,1,GF ―→=(1,0,-1).
设平面GEF 的法向量n =(x ,y ,z ), 则????? EF ―→·
n =0,GF ―→·n =0,即?????
12x -32y +z =0,x -z =0,
取x =1,则z =1,y =3,
故n =()1,3,1为平面GEF 的一个法向量, 所以cos 〈n ,B 1F ―→〉=1-3-15×5=-35,
所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为3
5
.
5.(多选)(2019·浙江高考改编)设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱VA 上的点(不含端点).记直线PB 与直线AC 所成的角为α,直线PB 与平面ABC 所成的角为β,二面角P -AC -B 的平面角为 γ,则α,β,γ大小关系正确的是( )
A .α>β
B .α=β
C .γ>β
D.γ≥β
解析:选AC 过B 作直线l ∥AC ,过P 作底面ABC 的垂线PD ,D 为垂足,过D 作DF ⊥AB 于F ,作DE ⊥l 于E ,连接AD ,BD ,PF ,PE .
由题意可知,二面角P -AC -B 的大小与二面角P -AB -C 的大小相等, 结合空间角的定义知∠PBE =α,∠PBD =β,∠PFD =γ, 在Rt △PEB 与Rt △PDB 中,由PE >PD 得sin α>sin β, ∴α>β(α,β均为锐角).故A 正确,B 错误;
在Rt △PDB 与Rt △PDF 中,由PB >PF 得sin β<sin γ,
∴γ>β(β,γ均为锐角).故C 正确;由于不存在PB =PF 的可能,故D 错误. 6.(多选)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC =BC =AA 1=2,∠ACB =90°,D ,E ,F 分别为AC ,AA 1,AB 的中点.则下列结论正确的是( )
A .AC 1与EF 相交
B .B 1
C 1∥平面DEF
C .EF 与AC 1所成的角为90°
D .点B 1到平面DEF 的距离为322
解析:选BCD 对选项A ,由图知AC 1?平面ACC 1A 1,EF ∩平面ACC 1A 1=E ,且E ?AC 1.由异面直线的定义可知AC 1与EF 异面,故A 错误;对于选项B ,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,B 1C 1∥BC .
∵D ,F 分别是AC ,AB 的中点, ∴FD ∥BC ,∴B 1C 1∥FD .
又∵B 1C 1?平面DEF ,DF ?平面DEF , ∴B 1C 1∥平面DEF .故B 正确;
对于选项C ,由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,
则C (0,0,0),A (2,0,0),B (0,2,0),A 1(2,0,2),B 1(0,2,2),C 1(0,0,2),D (1,0,0),E (2,0,1),F (1,1,0). ∴EF ―→=(-1,1,-1),AC 1―→
=(-2,0,2). ∵EF ―→·AC 1―→=2+0-2=0,∴EF ―→⊥AC 1―→, ∵EF 与AC 1所成的角为90°.故C 正确;
对于选项D ,设向量n =(x ,y ,z )是平面DEF 的一个法向量. ∵DE ―→=(1,0,1),DF ―→
=(0,1,0),
∴由????? n ⊥DE ―→,n ⊥DF ―→,即?????
n ·DE ―→=0,n ·
DF ―→=0,得?????
x +z =0,
y =0.
取x =1,则z =-1,∴n =(1,0,-1), 设点B 1到平面DEF 的距离为d . 又∵DB 1―→
=(-1,2,2),
∴d =|DB 1―→·n ||n |=|-1+0-2|2
=322,
∴点B 1到平面DEF 的距离为32
2,故D 正确.
故选B 、C 、D.
7.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1=2,二面角B -AA 1-C 1的大小为60°,点B 到平面ACC 1A 1的距离为3,点C 到平面ABB 1A 1的距离为23,则直线BC 1与直线AB 1所成角的正切值为________.
解析:由题意可知,∠BAC =60°,点B 到平面ACC 1A 1的距离为3,点C 到平面ABB 1A 1
的距离为23,由于侧面和底面垂直,由面面垂直的性质定理可得,B 到AC 的距离为3,C 到AB 的距离为23,所以在三角形ABC 中,AB =2,AC =4,BC =23,∠ABC =90°,
则AB 1―→·BC 1―→=(BB 1―→-BA ―→)·(BB 1―→+BC ―→)=4, |AB 1―→|=22,|BC 1―→
|=4,
cos AB 1―→,BC 1―→
=AB 1―→·BC 1―→|AB 1―→|·|BC 1―→|=422·4=24,
sin 〈AB 1―→,BC 1―→
〉=1-??
?
?242=144.
故tan
AB 1―→,BC 1―→
=7.
答案:7
8.如图,菱形ABCD 中,∠ABC =60°,AC 与BD 相交于点O ,AE ⊥平面ABCD ,CF ∥AE ,AB =2,CF =3.若直线OF 与平面BED 所成的角为45°,则AE =________.
解析:如图,以O 为坐标原点,以OA ,OB 所在直线分别为x 轴,y 轴,以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系.
设AE =a ,则B (0,3,0),D (0,-3,0),F (-1,0,3),E (1,0,a ),∴OF ―→
=(-1,0,3),DB ―→=(0,23,0),EB ―→
=(-1,3,-a ).设平面BED 的法向量为n =(x ,y ,z ),
则?????
n ·DB ―→=0,n ·EB ―→=0,
即???
23y =0,-x +3y -az =0,
则y =0,令z =1,得x =-a , ∴n =(-a,0,1),
∴cos 〈n ,OF ―→
〉=n ·OF ―→
|n ||OF ―→|=a +3a 2+1×10.
∵直线OF 与平面BED 所成角的大小为45°, ∴
|a +3|a 2+1×10
=22
,
解得a =2或a =-1
2(舍去),∴AE =2.
答案:2
9.如图,已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,且AC ⊥BD ,AC 与BD 交于O ,PO ⊥底面ABCD ,PO =2,AB =22,E ,F 分别是AB ,AP 的中点,则二面角F -OE -A 的余弦值为________.
解析:以O 为坐标原点,OB ,OC ,OP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ,
由题知,OA =OB =2,
则A (0,-2,0),B (2,0,0),P (0,0,2),E (1,-1,0),F (0,-1,1),OE ―→
=(1,-1,0),OF ―→
=(0,-1,1),
设平面OEF 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则?????
m ·OE ―→=0,m ·
OF ―→=0,即?????
x -y =0-y +z =0.
令x =1,可得m =(1,1,1).
易知平面OAE 的一个法向量为n =(0,0,1), 则cos 〈m ,n 〉=m·n |m||n|=33.
由图知二面角F -OE -A 为锐角, 所以二面角F -OE -A 的余弦值为33
. 答案:
33
10.(一题两空)如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,侧面P AD ⊥底面ABCD ,侧棱P A =PD =2,P A ⊥PD ,底面ABCD 为直角梯形,其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AB =BC =1,O 为AD 的中点.
(1)则直线PB 与平面POC 所成角的余弦值为________; (2)则B 点到平面PCD 的距离为________. 解析:(1)在△P AD 中,P A =PD ,O 为AD 的中点, ∴PO ⊥AD .
又∵侧面P AD ⊥底面ABCD ,平面P AD ∩平面ABCD =AD ,PO ?平面P AD ,∴PO ⊥平面ABCD .
在△P AD 中,P A ⊥PD ,P A =PD =2,∴AD =2. 在直角梯形ABCD 中,O 为AD 的中点,∴OA =BC =1,
∴OC ⊥AD .
以O 为坐标原点,OC 所在直线为x 轴,OD 所在直线为y 轴,OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则P (0,0,1),A (0,-1,0),B (1,-1,0),C (1,0,0),D (0,1,0),∴PB ―→
=(1,-1,-1).
∵OA ⊥OP ,OA ⊥OC ,OP ∩OC =O ,∴OA ⊥平面POC . ∴OA ―→
=(0,-1,0)为平面POC 的法向量, cos 〈PB ―→,OA ―→
〉=PB ―→·OA ―→|PB ―→||OA ―→|=33,
∴PB 与平面POC 所成角的余弦值为6
3
. (2)∵PB ―→
=(1,-1,-1),
设平面PCD 的法向量为u =(x ,y ,z ), 则?????
u ·CP ―→=-x +z =0,u ·PD ―→=y -z =0.
取z =1,得u =(1,1,1).
则B 点到平面PCD 的距离d =|PB ―→
·u ||u |=3
3.
答案:(1)
63 (2)3
3
11.(2019·全国卷Ⅱ)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形,点E 在棱AA 1上,BE ⊥EC 1.
(1)证明:BE ⊥平面EB 1C 1;
(2)若AE =A 1E ,求二面角B -EC -C 1的正弦值.
解:(1)证明:由已知得,B 1C 1⊥平面ABB 1A 1,BE ?平面ABB 1A 1, 故B 1C 1⊥BE .
又BE ⊥EC 1,B 1C 1∩EC 1=C 1, 所以BE ⊥平面EB 1C 1.
(2)由(1)知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ,所以∠AEB =45°,故AE =AB ,AA 1=2AB .
以D 为坐标原点,DA ―→的方向为x 轴正方向,|DA ―→
|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ,
则C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),E (1,0,1),CB ―→=(1,0,0),CE ―→
=(1,-1,1),CC 1=(0,0,2). 设平面EBC 的法向量为n =(x 1,y 1,z 1), 则?????
CB ―→·n =0,CE ―→·
n =0,即?????
x 1=0,x 1-y 1+z 1=0,
所以可取n =(0,-1,-1).
设平面ECC 1的法向量为m =(x 2,y 2,z 2),则 ???
CC 1·m =0,CE ―→·
m =0,即?????
2z 2=0,
x 2-y 2+z 2=0, 所以可取m =(1,1,0). 于是cos n ,m
=n ·m |n ||m |=-12
. 所以二面角B -EC -C 1的正弦值为
3
2
. 12.[创新题型]如图,四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形,且PD ⊥AB . (1)从下列两个条件中任选一个条件证明:AB ⊥平面P AD . ①O 是AD 的中点,且BO =CO ;②AC =BD .
(2)在(1)条件下,若AD =2AB =4,P A =PD ,点M 在侧棱PD 上,且PD =3MD ,二面角P -BC -D 的大小为π
4,求直线BP 与平面
MAC 所成角的正弦值.
解:(1)证明:选择条件②
∵四边形ABCD 为平行四边形,且AC =BD , ∴四边形ABCD 为矩形,AB ⊥AD .
又∵AB ⊥PD ,且AD ∩PD =D ,故AB ⊥平面P AD . 选择条件①
在平行四边形ABCD 中,设N 是BC 的中点,连接ON ,如图,因为O 是AD 的中点,所以AB ∥ON .
又BO =CO ,所以ON ⊥BC .
所以AB ⊥BC ,又在平行四边形ABCD 中,BC ∥AD ,所以AB ⊥AD .
又AB ⊥PD ,且PD ∩AD =D ,AD ?平面P AD ,PD ?平面P AD ,故AB ⊥平面P AD . (2)由(1)知AB ⊥平面P AD ,又AB ?平面ABCD , 于是平面P AD ⊥平面ABCD ,连接PO ,PN ,
由P A =PD ,可得PO ⊥AD ,则PO ⊥BC ,又ON ⊥BC ,PO ∩NO =O ,所以BC ⊥平面PNO ,所以PN ⊥BC ,
故二面角P -BC -D 的平面角为∠PNO ,则∠PNO =π4
.
由此得PO =AB =2.
以O 为坐标原点,ON ,OD ,OP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则A (0,-2,0),B (2,-2,0),C (2,2,0),P (0,0,2),由PD =3MD 可得M ???
?0,43,23, 所以AC ―→=(2,4,0),AM ―→=????0,103,23,BP ―→
=(-2,2,2). 设平面MAC 的法向量为n =(x ,y ,z ),
由?????
n ·AC ―→=0,n ·
AM ―→=0?????? 2x +4y =0,10y +2z =0,令y =1,得????
?
x =-2,z =-5,
所以n =(-2,1,-5)为平面MAC 的一个法向量. 设直线BP 与平面MAC 所成的角为θ, 则sin θ=????????BP ―→·n |BP
―→|·|n |=|4+2-10|23·30=1015, 故直线BP 与平面MAC 所成角的正弦值为
10
15
. B 级——提能综合练
13.(2018·全国卷Ⅱ改编)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =1,AA 1=3,则异
面直线AD 1与DB 1夹角的余弦值为( )
A.15 B .56
C.55
D.
22
解析:选C 法一:以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (1,0,0),D 1(0,0,3),B 1(1,1,3),
所以AD 1―→=(-1,0,3),DB 1―→
=(1,1,3),设异面直线AD 1与DB 1的夹角为α,则cos α=cos 〈AD 1―→,DB 1―→〉=??
??
??
-1+3
1+3·1+1+3=55.
法二:如图,连接A 1D 交AD 1于点E .
取A 1B 1中点F ,连接EF ,则EF 綊1
2B 1D ,连接D 1F ,在△D 1FE 中,
∠D 1EF 为异面直线AD 1与DB 1的夹角.
由已知EF =12DB 1=1212+12+(3)2=5
2,
D 1
E =1
2
AD 1=1,D 1F =
12+????122=52,
所以cos ∠D 1EF =EF 2+ED 21-D 1F
2
2EF ·ED 1=55
.
14.如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为________.
解析:如图,过E 作EE 1⊥B 1C 1于E 1,连接D 1E 1,过P 作PQ ⊥D 1E 1于Q ,在同一个平面EE 1D 1内,EE 1⊥E 1D 1,PQ ⊥D 1E 1,所以PQ ∥EE 1,又因为CC 1∥EE 1,所以CC 1∥PQ ,因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以点P 到CC 1的距离就是QC 1的长度,所以当且仅当C 1Q ⊥D 1E 1时,所求的距离最小值为C 1Q =C 1D 1·C 1E 1D 1E 1=2×15=2
5
5.
答案:25
5
15.已知在四棱锥P -ABCD 中,平面PDC ⊥平面ABCD ,AD ⊥DC ,AB ∥CD ,AB =2,DC =4,E 为PC 的中点,PD =PC ,BC
=2 2.
(1)求证:BE ∥平面P AD ;
(2)若PB 与平面ABCD 所成角为45°,点P 在平面ABCD 上的射影为O ,问:BC 上是否存在一点F ,使平面POF 与平面P AB 所成的角为60°?若存在,试求点F 的位置;若不存在,请说明理由.
解:(1)证明:取PD 的中点H ,连接AH ,EH ,则EH ∥CD ,EH =1
2
CD ,
又AB ∥CD ,AB =1
2CD =2,
∴EH ∥AB ,且EH =AB ,
∴四边形ABEH 为平行四边形,故BE ∥HA .又BE ?平面P AD ,HA ?平面P AD ,∴BE ∥平面P AD .
(2)存在,点F 为BC 的中点.理由:∵平面PDC ⊥平面ABCD ,PD =PC ,作PO ⊥DC ,交DC 于点O ,连接OB ,可知O 为点P 在平面ABCD 上的射影,则∠PBO =45°.由题可知OB ,OC ,OP 两两垂直,以O 为坐标原点,分别以OB ,OC ,OP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ,
由题知OC =2,BC =22,∴OB =2,
由∠PBO =45°,可知OP =OB =2,∴P (0,0,2),A (2,-2,0),B (2,0,0),C (0,2,0). 设F (x ,y ,z ),BF ―→=λBC ―→
,则(x -2,y ,z )=λ(-2,2,0),解得x =2-2λ,y =2λ,z =0,可知F (2-2λ,2λ,0),
设平面P AB 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1), ∵P A ―→=(2,-2,-2),AB ―→
=(0,2,0), ∴?????
m ·P A ―→=0,m ·AB ―→=0,
得?????
2x 1-2y 1-2z 1=0,2y 1=0,
令z 1=1,得m =(1,0,1).
设平面POF 的一个法向量为n =(x 2,y 2,z 2), ∵OP ―→=(0,0,2),OF ―→
=(2-2λ,2λ,0), ∴?????
n ·OP ―→=0,n ·
OF ―→=0,得?????
2z 2=0,(2-2λ)x 2+2λy 2=0,
令y 2=1,得n =???
?λλ-1,1,0.
∴cos 60°=|m ·n ||m ||n |=???
?
λλ-11+1·???
?λ
λ-12+1
,
解得λ=1
2
,
可知当F 为BC 的中点时,两平面所成的角为60°.
C 级——拔高创新练
16.已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是直角梯形,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AB =3,BC =2AD =2,E 为CD 的中点,PB ⊥AE .
(1)证明:平面PBD ⊥平面ABCD ;
(2)若PB =PD ,PC 与平面ABCD 所成的角为π
4
,试问“在侧面PCD 内是
否存在一点N ,使得BN ⊥平面PCD ?”若存在,求出点N 到平面ABCD 的距离;若不存在,请说明理由.
解:(1)证明:由四边形ABCD 是直角梯形,AB =3,BC =2AD =2,AB ⊥BC ,可得DC =2,∠BCD =π
3
,从而△BCD 是等边三角形,BD =2,BD 平分∠ADC .
∵E 为CD 的中点,∴DE =AD =1,∴BD ⊥AE , 又∵PB ⊥AE ,PB ∩BD =B ,∴AE ⊥平面PBD . 又∵AE ?平面ABCD , ∴平面PBD ⊥平面ABCD .
(2)在平面PBD 内作PO ⊥BD 于O ,连接OC ,
又∵平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD ∩平面ABCD =BD , ∴PO ⊥平面ABCD .
∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角,则∠PCO =π
4
,
∴由题意得OP =OC =3,∵PB =PD ,PO ⊥BD ,∴O 为BD 的中点,∴OC ⊥BD . 以OB ,OC ,OP 所在的直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则B (1,0,0),C (0,3,0),D (-1,0,0),P (0,0,3),
假设在侧面PCD 内存在点N ,使得BN ⊥平面PCD 成立, 设PN ―→=λPD ―→+μPC ―→
(λ,μ≥0,λ+μ≤1),
由题意得N (-λ,3μ,-3(λ+μ-1)), BN ―→
=(-λ-1,3μ,-3(λ+μ-1)), PC ―→=(0,3,-3),PD ―→
=(-1,0,-3), 由?????
BN ―→·PC ―→=0,BN ―→·
PD ―→=0得?????
3μ+3(λ+μ-1)=0,λ+1+3(λ+μ-1)=0,
解得λ=15,μ=25,满足题意,∴N 点到平面ABCD 的距离为-3(λ+μ-1)=235
.