南京市2017届高三年级学情调研
南京市2017届高三年级学情调研
数 学 2016.09
注意事项：
1． 本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷
满分为160分，考试时间为120分钟．
2． 答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：
柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．
锥体的体积公式：V ＝1
3
Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1． 已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x 2－x ≤0}，则A ∩B ＝ ▲ ．{0，1} 2． 设复数z 满足(z ＋i)i ＝－3＋4i (i 为虚数单位)，则z
的模为 ▲ ．25 3． 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机
抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数
据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所
示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的汽车有 ▲ 辆．80
4． 若函数f (x )＝sin(ωx ＋π
6
) (ω＞0)的最小正周期为π，
则f (π3)的值是 ▲ ．12
5． 右图是一个算法的流程图，则输出k 的值是 ▲ ．5
6． 设向量a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ．若a ∥c ，则实
数x 的值是 ▲ ．4
7． 某单位要在4名员工(含甲、乙两人)中随机选2名到某、地出
差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是 ▲ ．5
6
8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 2
4＝1(a ＞0)的一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，则实数a 的值是 ▲ ．1 9． 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2
＝16相交于A ，B 两点，且ΔABC 为直角三角形，则实数a 的值是 ▲ ．－1 10．已知圆柱M 的底面半径为2，高为6；圆锥N 的底面直径和母
线长相等．若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 ▲ ．6
11．各项均为正数的等比数列{a n }，其前n 项和为S n ．若a 2－a 5＝－78，S 3＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝ ▲ ．3n －1
12．已知函数f (x )＝?
???
?12x －x 3，x ≤0，－2x ，x ＞0．当x ∈(－∞，m ]时，f (x )的取值范围为[－16，＋∞)，则
实数m 的取值范围是 ▲ ．[－2，8]
13.在ΔABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在AB 上，AD →＝13
AB →．若DB →·DC →
＝3，则AC 的长
是 ▲ ．10
14．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝(12)x ．若存在x 0∈[1
2
，
(第5题)
(第3题)
0.0.0.0.
1]，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．[22，52
2] 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝
角β的终边分别与单位圆交于点A ，B ．若点A 的横坐标．．．是31010，
点B 的纵坐标．．．是255． (1)求cos(α－β)的值； (2)求α＋β的值．
解：因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A 的横坐标是310
10，
所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝310
10
，
从而sin α＝1－cos 2α＝10
10
． …………………… 2分
因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是25
5
，
所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－5
5
． …………………… 4分
(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝31010×(－55)＋1010×255＝－2
10． ……… 8分
(2)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×(－55)＋31010×255＝2
2． ………… 11分
因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(π2，3π
2
)，
所以α＋β＝3π
4
． …………………… 14分
16．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1
的中点． (1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；
(2)若D 在边BC 上，AD ⊥DC 1，求证：MN ⊥AD ． 证明：(1)如图，连结A 1C ．
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形． 又因为N 为线段AC 1的中点， 所以A 1C 与AC 1相交于点N ，
即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点． ………… 2分
因为M 为线段A 1B 的中点，
所以MN ∥BC ． ……………… 4分 又MN ／?平面BB 1C 1C ，BC ?平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C ． …………………… 6分 (2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ．
又AD ?平面ABC ，所以CC 1⊥AD ． …………………… 8分
因为AD ⊥DC 1，DC 1?平面BB 1C 1C ，CC 1?平面BB 1C 1C ，CC 1∩DC 1＝C 1，
所以AD ⊥平面BB 1C 1C ． …………………… 10分 又BC ?平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC ． …………………… 12分 又由(1)知，MN ∥BC ，所以MN ⊥AD ． …………………… 14分
x
O
y
A
B
(第15题)
A B C D M N A 1 B 1 C 1
(第16题)
17．(本小题满分14分)如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB
为直径)，现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取
点D ，OD ＝80m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿
化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ．
(1)写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值
范围；
(2)试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．
解：(1)因为扇形AOC 的半径为40m ，∠AOC ＝x rad ，
所以扇形AOC 的面积S 扇形AOC ＝x ·OA 2
2
＝800x ，0＜x ＜π． …………………… 2分
在ΔCOD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ，
所以ΔCOD 的面积S △COD ＝1
2
·OC ·OD ·sin ∠COD ＝1600sin(π－x )＝1600sin x ． …… 4分
从而S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π． …………………… 6分 (2)由(1)知，S (x )＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π．
S ′(x )＝1600cos x ＋800＝1600(cos x ＋1
2
)． …………………… 8分
由S ′(x )＝0，解得x ＝2π
3
．
从而当0＜x ＜2π3时，S ′(x )＞0；当2π
3
＜x ＜π时，S ′(x )＜0．
因此S (x )在区间(0，2π3)上单调递增；在区间(2π
3
，π)上单调递减． ……………… 11分
所以当x ＝2π
3
，S (x )取得最大值．
答：当∠AOC 为2π
3
时，改建后的绿化区域面积S 最大． …………………… 14分
18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、
右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →
． (1)若点P 的坐标为(1，3
2
)，且ΔPQF 2的周长为8，求椭圆
C 的方程；
(2)若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈[12，2
2
]，求
实数λ的取值范围． 解：(1)因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点， 所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而ΔPQF 2的周长为4a ．
由题意，得4a ＝8，解得a ＝2． …………………… 2分
因为点P 的坐标为(1，32)，所以1a 2＋9
4b
2＝1，
解得b 2＝3．
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1． …………………… 5分
(2)方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．
因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 02b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2
a
)． …………………… 7分
因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝(－2c ，－b 2a
)，F 1Q →
＝(x 1＋c ，y 1)．
(第17题)
(第18题
)
由PF 1→＝λF 1Q →
，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a
＝λy 1，
解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ，所以Q (－λ＋2λc ，－b 2
λa
)． …………………… 11分
因为点Q 在椭圆上，所以(λ＋2λ)2e 2＋b 2
λ2a
2＝1，
即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1， 因为λ＋1≠0，
所以(λ＋3)e 2
＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2
－3． …………………… 14分
因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即7
3
≤λ≤5．
所以λ的取值范围为[7
3
，5]． …………………… 16分
方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．
因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 02b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2
a
)． …………………… 7分
因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 2
2ac
(x ＋c )．
由?
??y ＝b
22ac
(x ＋c )，x 2a 2＋y
2b 2
＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0．
因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P (c ，b 2
a
)．设Q (x 1，y 1)，
则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c
4c 2＋b 2
． …………………… 11分
因为PF 1→＝λF 1Q →，
所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2
＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝＝3e 2＋11－e 2＝4
1－e 2
－3． …………………… 14分 因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即7
3
≤λ≤5．
所以λ的取值范围为[7
3
，5]． …………………… 16分
19．(本小题满分16分)已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝
15，S 4＝16．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1
a n ·a n +1
．
①求数列{ b n }的通项公式；
②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0．
由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得???(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，
4a 1＋6d ＝16，
解得???a 1＝1，d ＝2，或???a 1＝7，d ＝－2．
(舍去)
所以a n ＝2n －1． …………………… 4分
(2)①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1
a n ·a n +1
，
所以b 1＝a 1＝1，
b n +1－b n ＝1a n ·a n +1＝1(2n －1)·(2n ＋1)＝12(12n －1－1
2n ＋1)， …………………… 6分
即b 2－b 1＝12(1－1
3)，
b 3－b 2＝12(13－1
5)，
……
b n －b n －1＝12(12n －3－1
2n －1
)，(n ≥2)
累加得：b n －b 1＝12(1－1
2n －1)＝n －12n －1， …………………… 9分
所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －2
2n －1
．
b 1＝1也符合上式．
故b n ＝3n －2
2n －1
，n ∈N*． …………………… 11分
②假设存在正整数m 、n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列， 则b 2＋b n ＝2b m ．
又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－1
4m －2，
所以43＋(32－14n －2)＝2(32－14m －2)，即12m －1＝16＋14n －2
，
化简得：2m ＝7n －2n ＋1＝7－9
n ＋1
． …………………… 14分
当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2，(舍去)； 当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．
所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列． …………………… 16分
20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋ln x ，a ，b ∈R ．
(1)当a ＝b ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)当b ＝2a ＋1时，讨论函数f (x )的单调性；
(3)当a ＝1，b ＞3时，记函数f (x )的导函数f ′(x )的两个零点是x 1和x 2 (x 1＜x 2)．求证：f (x 1)
－f (x 2)＞3
4－ln2．
解：(1)因为a ＝b ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋ln x ，
从而f ′(x )＝2x －1＋1
x
．
因为f (1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －0＝2(x －1)，
即2x －y －2＝0． …………………… 3分 (2)因为b ＝2a ＋1，所以f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，
从而f ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＋1x ＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)
x
，x ＞0． ……… 5分
当a ≤0时，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，
所以，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减． ……………… 7分
当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，或x ＞12a ；由f ′(x )＜0，得1＜x ＜1
2a
，
所以f (x )在区间(0，1)和区间(12a ，＋∞)上单调递增，在区间(1，1
2a
)上单调递减．
当a ＝1
2时，因为f ′(x )≥0(当且仅当x ＝1时取等号)，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．
当a ＞12时，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜12a ，或x ＞1；由f ′(x )＜0，得1
2a
＜x ＜1，
所以f (x )在区间(0，12a )和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(1
2a
，1)上单调递减． 10分
(3)方法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2
－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝2x 2－bx ＋1x (x ＞0)．
由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，故x 1x 2＝1
2
．
记g (x )＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝3－b
2
＜0，g (1)＝3－b ＜0，
所以x 1∈(0，1
2
)，x 2∈(1，＋∞)，且bx i ＝2x i 2＋1(i ＝1，2)． …………………… 12分
f (x 1)－f (x 2)＝(x 12－x 22)－(bx 1－bx 2)＋ln x 1x 2＝－(x 12－x 22)＋ln x 1
x 2
．
因为x 1x 2＝12，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 22－1
4x 2
2－ln(2x 22)，x 2∈(1，＋∞)．……………… 14分
令t ＝2x 22∈(2，＋∞)，φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)＝t 2－1
2t
－ln t ．
因为φ′(t )＝(t －1)
2
2t 2
≥0，所以φ(t )在区间(2，＋∞)单调递增，
所以φ(t )＞φ(2)＝34－ln2，即f (x 1)－f (x 2)＞3
4
－ln2． …………………… 16分
方法二：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2
－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝2x 2－bx ＋1x
(x ＞0)．
由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根．
记g (x )＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝3－b
2
＜0，g (1)＝3－b ＜0，
所以x 1∈(0，1
2
)，x 2∈(1，＋∞)，且f (x )在[x 1，x 2]上为减函数．…………………… 12分
所以f (x 1)－f (x 2)＞f (12)－f (1)＝(14－b 2＋ln 12)－(1－b )＝－34＋b
2
－ln2．
因为b ＞3，故f (x 1)－f (x 2)＞－34＋b 2－ln2＞3
4
－ln2． …………………… 16分
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数学附加题 2016.09
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲
如图，AB 为圆O 的一条弦，C 为圆O 外一点．CA ，CB 分别交圆O 于D ，E 两点．若AB ＝AC ，EF ⊥AC 于点F ，求证：F 为线段DC 的中点．
证明：因为点A 、D 、E 、B 在圆O 上，即四边形ADEB 是圆内接
四边形，
所以∠B ＝∠EDC ． ……………………… 3分 因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ． …………………… 5分 所以∠C ＝∠EDC ，从而ED ＝EC ．…………………… 7分 又因为EF ⊥DC 于点F ，所以F 为线段DC 中点．… 10分 B ．选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A ＝????
??2 －21 －3，B ＝??????
1 00 －1，设M ＝AB ．
(1)求矩阵M ；
(2)求矩阵M 的特征值．
解：(1)M ＝AB ＝??????2 －21 －3??????1 00 －1＝????
??
2 21 3． ……………………… 5分
(2)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝????
??
λ－2 －2 －1 λ－3＝(λ－2)(λ－3)－2
令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，
所以矩阵M 的特征值为1或4． ……………………… 10分
C ．选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π
6
)＝m ．若直线l
与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值． 解：曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，
化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ．
即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆． ……………………… 3分
直线l 的极坐标方程是ρsin(θ＋π6)＝m ，即12ρcos θ＋3
2
ρsin θ＝m ，
化为直角坐标方程为x ＋3y －2m ＝0． ……………………… 6分 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，
所以|1－2m |2＝1，解得m ＝－12或m ＝32
．
所以，所求实数m 的值为－12或3
2
．
……………………… 10分
(第21题A)
D ．选修4－5：不等式选讲
解不等式|x －1|＋2|x |≤4x ．
解：原不等式等价于???x ≤0，1－x －2x ≤4x ，或???0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x ，或???x ＞1，
x －1＋2x ≤4x ．
…… 6分
解???x ≤0，1－x －2x ≤4x ，得x ∈?； 解???0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x ，得13≤x ≤1； 解???x ＞1，x －1＋2x ≤4x ，
得x ＞1． 所以原不等式的解集为[1
3
，＋∞)． ……………………… 10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分)如图，在底面为正方形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，
PD ＝DC ，点E 是线段PC 的中点．
(1)求异面直线AP 与BE 所成角的大小； (2)若点F 在线段PB 上，使得二面角F －DE －B 的正弦值为33，求PF PB 的值． 解：(1)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD
⊥底面ABCD ，所以DA 、DC 、DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，
DP →
}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz ．
因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，
则D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)，B (2，2，0)． 因为E 是PC 的中点，所以E (0，1，1)．
所以AP →＝(－2，0，2)，BE →
＝(－2，－1，1)，
所以cos ?AP →，BE →
?＝AP →·BE →|AP →|·|BE →|＝32，
从而?AP →，BE →?＝π
6
．
因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6
． … 4分 (2)由(1)可知，DE →＝(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，PB →
＝(2，2，－2)． 设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF →＝DP →＋PF →
＝(2λ，2λ，2－2λ)．
设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的一个法向量，
则?
????m ·DF →＝0，m ·DE →＝0，即???λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0，
取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1．
所以m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量． ……………………… 6分 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的一个法向量，
A
C D F P
E (第22题)
(第22题)
则?????n ·DB →＝0，n ·
DE →＝0，即???2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，
取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1．
所以n ＝(1，－1，1)为平面BDE 的一个法向量． ………………………… 8分
因为二面角F －DE －B 的正弦值为33，所以二面角F －DE －B 的余弦的绝对值为6
3
，
即|cos ?m ，n ?|＝6
3
，
所以|m ·n ||m |·|n |＝63，|4λ－1|3·(2λ－1)2＋2λ2＝6
3
，
化简得，4λ2＝1，因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，
所以λ＝12，即PF PB ＝1
2． ………………………… 10分
23．(本小题满分10分)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行
到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为2
5
，乙每次投篮命中
的概率为2
3
，且各次投篮互不影响．现由甲先投．
(1)求甲获胜的概率；
(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的分布列与期望．
解：(1)设甲第i 次投中获胜的事件为A i (i ＝1，2，3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥．
甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3．
P (A 1)＝25；P (A 2)＝35×13×25＝225；P (A 3)＝(35)2×(13)2×25＝2
125
．
所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62
125
．
答：甲获胜的概率为62
125
． ……………………… 4分
(2)X 所有可能取的值为1，2，3．
则P (X ＝1)＝25＋35×23＝45；P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425；P (X ＝3)＝(35)2×(13)2×1＝1
25
．
即X
8分
所以X 的数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝31
25
． …………………… 10分