数学建模竞赛获奖论文

制动器试验台的控制方法分析

摘 要

本文研究的是制动器试验台的控制方法问题，对制动器试验台的能量误差等问题进行了研究。

问题一，将制动时承受的载荷等效为重力，由能量守恒得到公式2

2

'11

22G

v v J g R ??= ???

，

得到等效的转动惯量为252.kg m 。

问题二，由圆环转动惯量公式2

2

1()2

J m R r =

+计算出三个飞轮的转动惯量分别是

2

30.kg m

、260.kg m 、2120.kg m ，所以可以组成八种机械惯量：210.kg m 、240.kg m 、2

70.kg m 、

2

100.kg m

、2130.kg m 、2160.kg m 、2190.kg m 、2220.kg m 。再根据电动机能补偿的惯量

范围得出电动机补偿的惯量为212.kg m ，218.kg m -。

问题三，由力矩平衡方程式M M M =+制动电机械和电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比的关系，得出驱动电流依赖于可观测量的数学模型为

()d I k J J M dt ω??

=+?-????

电机械机械。

在问题一和问题二的条件下，由I k J a k J t

ω?==

?得出驱

动电流为174.8252A 、262.2378A -。

问题四，评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，首先分析附表

中的数据求出f E 、0E ，然后利用级数求和的方法得到467

1

I i E J i ωω==?∑电，最后计算出路

试与试验台能量消耗的误差百分比为0.3582% 。

问题五，根据第三问的数学模型，运用递归法求出电流值

2

2

211()

[]2n n n n J I k M t

ωωω----=机械制动-，

并求出能量的误差百分比为10.28%，所以该控制方法不好。

问题六，第五问方案不足之处在于0M 的随意选取，使能量误差较大，建立灰度预测的模型，得到32()0.47385 3.003759.6525167.535I t t x x =--+，并用第四问的方法求得能量误差百分比达到0.4%。

最后，文章还对模型的优缺点进行了分析。

关键字：制动器；转动惯量；递归法；能量误差；灰度预测

一、问题重述

汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。

为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。

路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。例如，假设有4个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80 kg·m2，基础惯量为10 kg·m2，则可以组成10，20，30，…，160 kg·m2的16种数值的机械惯量。但对于等效的转动惯量为45.7 kg·m2的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验。这个问题的一种解决方法是：把机械惯量设定为40 kg·m2，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。

一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 A/N·m）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。

由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。

评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。

现在要求你们解答以下问题：

1. 设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转

动惯量。

2. 飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392

m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kg·m2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 [-30, 30] kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？3. 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。

在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动

5.0秒后车速为零，计算驱动电流。

4. 对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kg·m2，机械惯量为35 kg·m2，主轴初

转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。

5. 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时

扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。

6. 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算

机控制方法，并作评价。

二、问题假设

1、忽略外界环境对试验台的影响；

2、断电后电动机立即停止转动；

3、车辆制动时承受的载荷与重力相等；

4、不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。

三、符号说明

':

R单个车轮的滚动半径

R飞轮的外半径

:

:r飞轮的内半径

路试时的制动器在制动过程中的扭矩

:

M

制动

试验台上制动器制动时的扭矩（可观测的数据）

M

:

机械

电动机补偿的扭矩

:

M

电

制动时的转动惯量

J

:

制动

:J 机械 机械惯量

0:E 路试时的消耗能量 :f E 机械消耗的能量

:I E 电动机消耗的能量 :E 制动时消耗的总能量

:J 电 电动机的转动惯量 :I 驱动电流 :G 载荷

:t 某一观测时间段

四、模型的建立与求解

4.1 问题一

4.1.1 公式推导

物体相对某个系统（选定的某个参考系）运动的实际能量（势能实际意义是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）：

2

12k E m v

=

把v r ω=代入上式 (ω是角速度, r 是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r ,而再把不同质点积分化得到实际等效的r )，得到

2

1()

2k E m r ω=

由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m 和r 都是不变的，所以把关于m r 、的变量用一个变量J 代替,2J mr =，得到

2

12E J ω

=

。

其中J 就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。

4.1.2 模型求解

问题一求的是车轮制动时等效的转动惯量，在本题中将路试车辆的指定车轮在制动

时承受的载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量称为等效的转动惯量。所以根据能量守恒可得：

k E E

=

而飞轮和主轴等机构转动时具有的能量E 与转动惯量J 的关系式：

2

12E J ω

=

车轮的载荷G mg =（g 为重力加速度），得出求解等效的转动惯量的公式为：

2

2

'11

22G

v v J g R ??= ???

(4-1) 代入数据6230G N =,'0.286R m =得到等效的转动惯量为252.kg m 。

4.2 问题二

4.2.1 公式推导

质点A 对轴l 的转动惯量J 是质点A 的质量m 和到转动轴l 的距离r 的平方的乘积，即2J mr =。

当讨论空间物体V 的转动惯量问题时，利用讨论质量、重心等相由的方法可得：设空间物体V 的密度函数为(,,)x y z ρ,它对x 轴的转动惯量为：

22

()(,,)x V

J y z x y z dxdydz

ρ=

+???

同样地

22

()(,,)y V

J z x x y z dxdydz

ρ=+???

22

()(,,)z V

J x y x y z dxdydz

ρ=

+???

对xy 平面的转动惯量为：

2

(,,)xy V

J z x y z dxdydz

ρ=

???

对yz 平面的转动惯量为：

2

(,,)yz V

J x

x y z dxdydz

ρ=

???

对zx 平面的转动惯量为：

2

(,,)zx V

J y

x y z dxdydz

ρ=

???

对原点的转动惯量为：

222

()(,,)o V

J x y z x y z dxdydz

ρ=

++???

不忽略厚度的圆环D 为2222r x y R ≤+≤，密度为ρ，厚度为h ，密度均匀的圆环D 对于垂直于圆环面而过圆环的中心的轴的转动惯量:

222

22

1()()2

V

J x y z dV m R r ρ=

++=

+??? （4-2）

其中m 为圆环的质量

4.2.2 模型求解

飞轮组由三个环形钢制飞轮组成，厚度h 分别为0.0392m 、0.0784m 、0.1568m ，由圆环质量公式22()m V R r h ρρπ==-得出三个飞轮的质量，代入式子（4-2）得

2

2

44

11()()2

2

J m R r R r h ρπ=

+=

- （4-3）

计算得出三个飞轮的转动惯量为230.kg m 、260.kg m 、2.kg m 120。

J J J =+基础机械飞轮，基础惯量为2

10.kg m ，所以可以组成的机械惯量见表1

表1 机械惯量组合

由表得出机械惯量组合有八种，分别是：210.kg m 、240.kg m 、270.kg m 、2100.kg m 、

2

130.kg m

、2160.kg m 、2190.kg m 、2220.kg m 。

由于等效的转动惯量不能精确地用机械惯量模拟试验，所以在制动的过程中让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则，而电动机能补偿的能量相对应的惯量的范围为[]230,30.kg m -,由问题

一中得到的等效的转动惯量为252.kg m ，所以电动机能够给机械惯量240.kg m 、270.kg m 进行补偿，又因为补偿惯量=等效的转动惯量-机械转动惯量，得出电动机补偿的惯量为

2

12.kg m

，218.kg m -。

4.3 问题三

4.3.1 建立模型

首先设计的路试时的制动器在制动过程中的扭矩是试验台上制动器制动时的扭矩与电动机补偿的扭矩的代数和，然后在这个扭矩下产生一个加速度，所以路试扭矩可以测量，那么这个加速度也就是可以计算的，然后计算需要补偿的那部分惯量在该加速度下产生多少的力矩，而这些力矩刚好就是需要电动机来提供的，这样才能达到模拟的目的。根据机械动力学原理，可建立如下力矩平衡方程式：

M M M =+制动电

机械

在大学物理学中扭矩公式：

*M J a

=（a 为角加速度）。

假设试验台的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，比例系数取为1.5/.A N m ，

则驱动电流I kM =电，其中 1.5/.k A N m =。根据以上公式得

()

I k M M =-制动机械

又 d M J a J dt

ω=?=?制动制动制动，其中J 制动为等效的转动惯量，是由能量守恒可计算的

已知的量，M 机械和

d d t

ω都为可观测量，所以驱动电流与可观测量的数学模型为

()()()d I k M M k J a M k J J M dt ω??

=-=?-=+?-????

制动制动电机械机械机械机械

（4-4）

4.3.2 模型求解

题中假设制动减速度为常数，那么就是路试时的制动器在制动过程中扭矩恒定，所以根据公式I kM kJa ==电，电流也就是恒定了，根据题中给出的条件初始速度和时间可以计算出来减速度2

'

1*9.7125/d v a rad s

dt

t

t R

ωω??=

≈==??。

J

为电动机补偿的惯量，由问题二可知电动机补偿的惯量为212.kg m ，218.kg m -，

代入I kJa =中计算出当电动机补偿的惯量为212.kg m 时，驱动电流为174.8252A ；当电

动机补偿的惯量为218.kg m -时，驱动电流为262.2378A -。

4.4 问题四

4.4.1 问题分析

题目中指出，评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，故只需分析所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。 而路试时的制动器在制动过程中消耗的能量0E 可由附录计算出，实验台上制动器在制动过程中消耗的能量E 等于电动机消耗能量I E 加上飞轮制动时消耗的能量f E ，f E 也可由附录计算出，即f I E E E =+，然后用

100%

E E E -?评价该方法的好坏。

4.4.2 方法评价

国家标准规定能量误差及车轮的能量间差不得超过±5%。

在计算能量消耗中，等效的转动惯量2048.J kg m =，机械惯量235.J kg m =，主轴的初转速051453.826ω=转/分钟=rad/s ，末速度257ω=转/分钟=36.913rad/s 。 路试时的制动器在制动过程中消耗的能量：

2

2

0001()52150.198()

2E J ωω=

-=焦

机械制动时消耗的能量：

2

2

01()38026.186()

2

f E J ωω=

-=焦

电动机补偿的能量I E 即是每段时间所做的功：

467

1

=I i d E M M d J

ad J

d J d J i dt

ω

θθθθωωωω

==?=

=

=≈?∑????电电电

电

电电

计算出I

E =14625.88(焦)，所以

100%

E E E -?=0. 3582%。根据国家标准规定能量误差

百分远小于5%，所以该方法很好。

4.5 问题五

4.5.1问题分析

工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10ms 为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。根据题意，按照第三问导出的数

学模型()()()d I k M M k J a M k J J M dt ω??

=-=?-=+?-????

制动制动电机械机械机械

机械，并运用迭代的方法来求出电流值。通过对能量的误差分析来评价该计算机控制方法（同问题四的

评价方法）。

4.5.2模型建立与求解

由于瞬时转速与/或瞬时扭矩是可以观测到的，因而可将电流转化成瞬时转速与/或瞬时扭矩来表示。根据力矩平衡原理（制动时力矩=主轴的力矩+电动机的力矩）有

M M M =+制动电

机械

分析三个时间段：第K 段，第1K -段，第2K -段，三段间有两个时间间隔。从2K -到1K -为A ；从1K -到K 为B 。并且假定制动器的阻力距M 制动是不变的，第2K -段末主轴的瞬时角速度为1ω，第1K -段末主轴的瞬时角速度为2ω。则有

12M M t J ωω-?=-制动电

机械

（4-6）

其中M 电是第1K -段电动机的瞬时扭矩，得出A 过程的制动扭矩

12M J M t

ωω-=+制动电

机械（）

（4-7）

将M 制动应用于B 过程，设第K 段末主轴的瞬时角速度为3ω（它是未知的）,我们的理想化方程是

23

M t J ωω-?=制动制动

（4-8）

其中J 制动是路试时的等效转动惯量

综合式子（4-7）和（4-8）得出角速度的计算式

1232()M t J J ωωωω+-=-

电机械

制动

（4-9）

我们在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作的目的是补偿由于

机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。 由能量关系 第1K -段末 2

12

12

Q J ω=

?机械

第K 段末 2

23

12

Q J ω=

?机械

则 123(Q Q M M M t θω-=?=?制动电-) （4-10） 从而得出

2

2

233()

2J M M t

ωωω-=机械电制动- （4-11）

它就是第K 段的电动机产生的扭矩，由此得第三段的电流为

2

2

233()

[]2J I kM k M t

ωωω-==机械电制动-

（4-12） 在第1,2,3K K K +++ 时间段时，循环方式计算瞬时角速度i ω，从而计算出下一时间段的电流。

上述整个过程的已知量是瞬时转速1ω、2ω，第1K -段电动机的瞬时扭矩M 电。

4.5.3 对方法的评价

假设所设计的路试等效的转动惯量为48 kg·m 2，机械惯量为35 kg·m 2，时间步长为10 ms ，主轴在t=0秒时的角速度为1ω =83.86051rad/s ,t=0.01秒时的角速度为2ω= 53.80396rad/s ,初始的电动机的扭矩为40 N.m 。

根据式子（4-6）可得M 制动=238 N.m ，再由式子（4-7）可以求出3ω= 20.0496ω-，同理可得4ω=30.0496ω- …… 以此类推，得出

n n-12-0.0496=-0.0496n-2ωωω=（） （4-13）

为了能够较为精确的对该控制方法进行评价，令4-13中n=467，则467ω=30.736 rad/s ，

所以

2

2

0004671() 46948.74972E J ωω=-=（焦） 2

2

04671

()34233.46332()

2

f E J ωω=

-=焦

由公式12M J M t

ωω-=+制动

电

机械（）递推可知不管那段时间段M 电都会得到一个定

值，即不会随时间的变化而变化，由（4-13）()53.80 4.958333t t ω=-，而

4.67

40*53.80

4.958333)E t d t =

-?

电（得出7887.1E =电

焦。

所以

100%

E E E -?=10.28%>5%,该方法不好。

4.6 问题六

第五问方案不足之处在于0M 的随意选取，使能量误差较大。因此，为了缩小误差我们设计了灰度预测模型。

灰度预测是指利用 GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件的未来时间分布情况做出研究等等。

本题中，根据前一个时间段观测到的瞬时转速与瞬时扭矩，采用问题四观测到的前

三个转速数据0(1)w =53.8607，0

(2)w =53.8015, 0(3)w =53.7423建立灰度预测模型预测得

到在4.67s 内按0.01ms 分成的467段的转速数据。

原始数据序列：0(1)w ，0(2)w ，0(3)w ，…，0()w n ，它们满足0()w k ≥0，k =1，2，…，

n ，利用此数据序列建立GM （1，1）模型。

1、 作一阶累加，得到数据序列，

1

1

()()k

m w k w

m ==

∑ k =1,2,…,n

2、 确定数据矩阵B ，n Y

11111*[(1)(2)]121*[(2)(3)]12

w w B w w ??

-+??

=?

???-+????

00(2)(3)n w Y w ??

=????

3、求参数α，u

1(*)**T T

n

B B B Y u α-??=????

4、建立生产数据序列模型。

1

0*(1)(1)*k u u w k w e ααα??+=-+

????

k =1,2,…,n

5、建立原始数据序列模型 00()()w k w k =

1

1

1

*(1)

()()(1)(1)*((1))*k u

w k w k w k e w e

ααα

--=--=--

k

=2,3,…，n

()w k ,k

=1,2, …，n 是原始数据序列0()w k ,k =1,2, …，n 的拟合值，0

()w k ,k >n

是原始数据序列的预测值。

由以上5步预测出转速数据（部分见表2）

表2：灰度预测出的转速数据

根据扭矩与转速的关系： *

*

dw w M J J dt

t

?==?

根据表2可预测出电动机的扭矩的数据如表3；

表3：灰度预测出的电动机的扭矩数据

用excel画出电动机扭矩与时间的函数图形如图一

图一 电动机扭矩与时间函数

其函数表达式为320.3159 2.0025 6.436111.69M t x x =--+电(t) 又根据题意可知I kM =电，其中k =1.5 A/N·m，所以

3

2

()0.47385 3.003759.6525167.535

I t t x x =--+

最后可根据预测出来的数据，通过和问题四相同的方法算出相应的能量，并可以算出在该方法中0

100%

E E E -?=0.4%。因此该模型较好的改进了问题五的方法。

五、模型的评价

5.1模型的优点：

1、各个问题都用严谨的数学推理求解的，结果可信度较高；

2、将数学方法与物理知识相结合，使解题过程相对较方便；

3、问题五采用递归算法，减小了运算规模，加快了运算速度；

4、问题六用灰度预测模型预测的准确度较高。

5.2模型的缺点：

1、模型计算时为了便于计算采取了四舍五入的方法，可能有误差；

2、在问题四中计算电动机补偿的能量I E 时将定积分转化为差值求和的方法可能会产生误差；

3、模型中将连续的区间转化为离散点来计算，增大了误差；

4、限于时间的影响，没有对灰度预测的准确度进行检验。

参考文献

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