辽宁省沈阳市2019届高三一模理科数学答案

12 20 5

2019年沈阳市高三第二次模拟考试数学(理科)

参考答案与评分标准

所以 BC — 62 - 4 2 2

(n)设 DC =x ，则 BD =2x ，所以 (3血)+(2x f -62

(3近、+x 2 _(4血)

x 第二车间=60 0.25 70 0.5 80 0.2 90 0.05=70.5 (min )

P(X =1^C C C±

C

6

P(X =2)二警

、选择题 DAABC

BDADB

DC

、填空题 13. 8 14.3

15.

12

5 2 3 16. n n

2

13 4 4

、解答题

4迈

17. 解: (I) 由正弦定理得：

6

所以 sin C =1,

2、2 si

nC

JT

C 一 ,

2

=2，所以

2 3.2x

2 3 2 2x

解得：x =但所以BC 二3DC 二..69 ..................................

3

18?解：(I )估计第一车间生产时间小于

75min 的工人人数为

6 , 200

60 (人) ...................................

20

估计第二车间生产时间小于

75min 的工人人数为

400 (0.025 0.05) 10 =300 (人) .........................

(II )第一车间生产时间平均值约为

- 60 疋 2+70 汉 4+80 汉 10+90 汉 4 / .、

78 (min ) ........ 12分

x 第一车间 20

第二车间生产时间平均值约为

x

第一车间

■x 第二车间,

???第二车间工人生产效率更高

(III )由题意得，第一车间被统计的生产时间小于 65min 的有2人，从中抽取 X 可取值为0, 1,

75min 的工人有 3人，随机变量 X 服从超几何分布，

6人，其中生产时间小于

2,

P(X =0)二晋 C 6

_4_ ~20 1

_5 10分

11分

1 3 x z

2 2 1x 亠0

2 2

X 的分布列为:

X

1

2

P

1 3 1 5

5

5

期

学 1 3 1 E(X) =0 — 1 — 2 1

5 5 5 19. (I )证明：在等腰梯形 :AB&E,AB=CE , ? ? AE=BC=AD=DE , ? △ ADE 为等边三角 12分

ABCD 中，连接BD ，交AE 于点0, 四边形ABCE 为平行四边形 形，???在等腰梯形ABCD 中

C = /A

D

E =, 3 2兀

DAB 二.ABC =— 3 ???在等腰 ADB 中，.ADB =. ABD =— 二 DBC 即 BD _ BC , 3 6 2

?- BD_AE , ....................................... 翻折后可得：OP _ AE, OB _ AE , OB 平面 POB , OP 「I OB =0 , AE _ 平面 POB , \'PB 平面 POB , . AE_PB ; ................... 4 分 (II )解：在平面 POB 内作PQ _0B ,垂足为Q , 2分 又；0 P 平面POB 7 AE _ 平面 P0B , . AE _ PQ , 0B 平面 ABCE , AE 平面 ABCE AE 「|OB =0 .PQ _平面ABCE , ?直线PB 与平面ABCE 夹角为? PBQ 二一, 4 又 TOP =0B , OP _0B , ? 0、Q 两点重合，即 0P _平面ABCE , 以0为原点，0E 为x 轴，0B 为y 轴，0P 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点 坐标为 J3 1 J3

P(0,0, ) , E(-,0,0) , C(1,〒0), 1 3 ,EC=(；, = ,0), 2 2

2 1 ?- PE =(—,0, - 2 设平面PCE 的一个法向量为 n

=(x,y,z),

则 PE nr 0, EC

n 1 =0

=0 _

，设 x = -、3，则 y--1 , z = 1 ,

20.解：(I)法一：设N(x, y) , M (X o, y°)(X。= 0)，: MB^ NB1 , MB? _ NB?,

.直线NB1 : y 3 = _-^x ①........................................................ 1分

y°+3

直线NB2: y_3 = _—x② ................................. 2 分

2 2

整理得点N的轨迹方程为：—— 1 ( x^O )

9 9

2

法二：设肌知力),M (x0, y0) (x0 =0) MB1 _ NB1, MB2 _ NB2, ■直线NB1 : y 3 = _亠x……①

y°+3

直线NB2: y - 3 = -~x0 x .............. ②

y°-3

由①，②解得：

x

y

0 -9 2 2

广―x ，又；7=1 ,

18 9 y = -y。

. x …x1 _ ,

2 ................................................................... 4分

?- n^C.3, -1,1),

由题意得平面PAE的一个法向量匕=(0,1,0),

易知二面角A-EP-C为钝角，所以cos:=逅.............

5

9分

11分

12分

①②得

x

-9 2 2

，又；釦弩1,

2小

y0 -9

2 2

x 二-2x

故X。」2%，代入逼卫=1得：,

y。二-％18 9 9 9

?2

2 2

.点N的轨迹方程为y 1 （X = 0） ................ 6分

9 9

2

(k =0)，则直线NB i : y = —^x -3① k 法三：设直线MB1: y =kx -3

直线MB1与椭圆C: x y

1的交

点

18 9

M的坐标为

2

(12k 6k-3、............................................... 2k21 2k21

则直线MB2的斜率为

MB26k2- 3

2k21

-3

12k

1

2k 2k21

.直线NB2: y =2kx 3……②

由①，②解得N点的坐标为（

6k

2k21

3-6k2、

2k21)'

6k

由2k21解得:

3—6k

点N的轨迹方程为:

2 2

丄￡

9 9

2

=1 (x = 0)

(II)法一：设N(X1,yJ , M(X o,y o)(X o=O)，由(I)法二得：为0

2

1 3

四边形MB2NB1 的面积S | B1B2K IX1 | ' |x o|^3 -|x o| ,……10分

2 2

2 2 27』2

.0 X o <18 , ■当X o =18时，S的最大值为......... 12分

法二：由（I）法三得：四边形MB Q NB^,的面积

???①当a 乞0时，f (x) ：：：0在(0,6)上恒成立,

??? f (x)在(0,6)上单调递减，无单调递增区间;

2

1

②当a 0，且 6，即0：：：a 时，f(x)：：：0在(0,6)上恒成立,

a 3

? f (x)在(0,6)上单调递减，无单调递增区间；

③当 a>0，且 2 <6，即 a)时，在 x€(0,Z )上，「(x)v0，在 x 壬(% 上，「(x)〉0 ,

a 3 a a

2 2

? f(x)在(0二)上单调递减,(-,6)上单调递增 ……3分 a a

1

综上，当a 时，f(x)在(0,6)上单调递减，无单调递增区间；

3

12 2

当a ?丄时，f (x)在(0,-)上单调递减，(2,6)上单调递增……4分

3 a a

2

(n)T x =2是f (x)的极值点， ?由(1)可知 2 , ? a =1

a

若这两条切线互相平行, 则

2

2

丄

2 2

丄，? .丄 丄 丄

X 1

x

X 22 X 2 X 1 X 2 2

1 1 1

1

1 1 1 1

1 1 ,且 0 ::: x 1 ::X

2 :: 6

<-

,-

< — <- x 2

2 x 1

6 2 x

X

4 X 1 3

?- xr (3,4)

两条切线在y 轴上的截距:

―扣旦也

1

|XN |)

=3 (

2k^1 Jk^L^|k^1

54 T 2|k|

|k|

10分

当且仅当

1 k|

冷时，S 取得最大值丁

12分

2 21.解：(I) f(x)二-刍

x a ax -2

2 , T x (0,6)

x x

设曲线在P 为「(咅)处的切线方程为

2 2 1 y-( In xj=(

2

—)(x-N ),

人

x x

曲线在Q x 2, f (x 2)处的切线方程为

2 2 1 y-( ln X 2) =( 2 Xxf

x 2 x 2 x 2

_ 2

?- g(x) (3 -In 2,0)

2

--3 -'鸟的取值范围是(—In 2,0) .......... .......................................... 12分

3

法三：??? x 1 = 2 x 1 x 2 ,

4

4

令 x =0，贝V b 1 In 人 _1，同理，b 2 In x 2「1 ....................

X 2 X

1

-b 2=4(- X 1 —)In 儿—In x 2=4( — -!^ln 丄 In (丄—丄) x 2 x 1 2

x 1 2 x 1 设 g(x)=8x —2—I nx In (^ _x) , x (丄,1) ............................................. 2 4 3 1 g (x) =8—— x 16x 2 -8x 1 (4x -1)2 门

2 2 0 2x -x 2x -x 1 1 ??? g(x)在区间(丄,丄)上单调递减， ........................... 4

3 2 ? g(x) (3 -In2,0) 2 即b, -鸟的取值范围是(__In2,0). ........................................................ 3 10分

12分

2x 1 为一2

??? b -b 2=4(1 ) Injq —In x 2 = — -2 In (空-1) x x 2 x , 2

8 x 令 g(x) In( 1) -2，其中 x (3,4) .............................................................. x 2 g (x) = -8

T

x

1 x —2

x 2 -8x 16

X 2(X -2)

(x -4)2

X 2(X -2)

?函数g(x)在区间(3,4)上单调递增, 10分

X 2 4(X 2 _xj 肿 x 1 x 2 x 2

g(x)

1

??? g (x) 0 ,A函数g(x)在区间(二,1)上单调递增，.................... 10分2

? g(x) (3 -In 2,0)

2 --b| —d的取值范围是(—- In 2,0) ........ 12分

3

l x =2 +tcos30

22.解：(I)直线I1的参数方程为.,

y =1 +tsi n30

f 巧

x =2」t

即2( t为参数) .............................. 2分,1

y=1 2t

设N 丁,M —，’ 0, ；-1 0

宀"2,即312，即「=4cos=,

V - 3 cos -

所以x2—4x + y2=0(x 式0 ). .................................................

所以AP||AQ =址2- -3 =3.

(n)将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中,

2

即t t -^0,t1,t2为方程的两个根，所以址2=-3 , .........................

X i

X i

X2 X1

In —

X1x2X2 X2

X

2

设g(X)

= E「—(1,1)

1 X X

2 2 2

10分-4

(1 X)2X(1 X)2