八年级下册期中数学试题及答案
八年级数学下册期中试卷
一.选择题（每小题3分，共30）
1．要使二次根式有意义，字母x的取值必须满足（）
A．x≥0 B．C．D．
2．下列运算错误的是（）
A． +=B．?=C．÷= D．（﹣）2=2
3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）
A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3
4．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）
A． cm2 B．2cm2C．3cm2 D．4cm2
5．若x=﹣3，则等于（）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
6．下列不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AD=BC
C．AB∥CD，AD∥BC D．∠A=∠C，∠B=∠D
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（）
A．4 B．3 C．5 D．4.5
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，BD=8cm，则CD的长度为（）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
9．若，则x的值等于（）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
10．给出下列命题：
①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；
②三角形的三边a、b、c满足a2+c2=b2，则∠C=90°；
③△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形；
④△ABC中，若 a：b：c=1：2：，则这个三角形是直角三角形．
其中，正确命题的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题3分，共计18分）
11．如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为．
12．已知a、b、c是△ABC的三边长且c=5，a、b满足关系式+（b﹣3）2=0，则△ABC 的形状为三角形．
13．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为．
14．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．
15．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 .
16．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．
三、解答题（共计72分）
17．（5分）计算：3﹣9﹣（2﹣）﹣|2﹣5|．
18．（6分）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： +﹣|a﹣b|．
19.（6分）．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8，求AC的长．
20．（7分）已知：如图，AB=3，AC=4，AB⊥AC，BD=12，CD=13，
（1）求BC的长度；（2）证明：BC⊥BD．
21（8分）．已知如图在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，求证：∠AED=∠CFB．
22（8分）．阅读下面材料，回答问题：
（1）在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： ===﹣
小李的化简如下： ===﹣
（注意：式子中括号后面的2为平方）
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
（2）请你利用上面所学的方法化简．
23（10分）．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C=90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m．
（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；
（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？
24.（10分）．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证：OE=OF；
（2）若BC=2，求AB的长．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=，∠C=30°．点D从点C出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）AC的长是，AB的长是．
（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF 与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．
（3）当t为何值，△BEF的面积是？
参考答案与试题解析
一.细心选一选．（每小题3分，共30分）
1．要使二次根式有意义，字母x的取值必须满足（）
A．x≥0 B．C．D．
【考点】二次根式有意义的条件．
【解答】解：由题意得：2x+3≥0，
解得：x≥﹣，
故选：D．
2．下列运算错误的是（）
A． +=B．?=C．÷=D．（﹣）2=2
【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项正确；
B、×=，计算正确，故本选项错误；
C、÷=，计算正确，故本选项错误；
D、（﹣）2=2，计算正确，故本选项错误；
故选A．
3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）
A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3
【考点】勾股定理的逆定理．
【解答】解：A、1.52+22=2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、12+（）2≠32，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选A．
4．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）
A． cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2
【考点】勾股定理；等边三角形的性质．
【解答】解：作出三角形的高，则高是=，所以三角形的面积是×2×=cm2；故选A．
5．若x=﹣3，则等于（）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【考点】二次根式的化简求值．
【解答】解：当x=﹣3时，1+x＜0，
=|1﹣（﹣1﹣x）|
=|2+x|=﹣2﹣x=1．故选B．
6．下列不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AD=BC C．AB∥CD，AD∥BC D．∠A=∠C，∠B=∠D
【考点】平行四边形的判定．
【解答】解：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断，平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判断；
平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴A能判定；
平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选B．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（）
A．4 B．3 C．5 D．4.5
【考点】勾股定理；三角形的面积．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高，
∵△DAB的面积为10，DA=5，
∴DA?BC=10，
∴BC=4，
∴CD===3．
故选B．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，BD=8cm，则CD的长度为
（）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
【考点】矩形的性质．
【解答】解：∵四边形ABD是矩形，
∴BD=AC，OA=OC，OB=OD，
∵BD=8cm，
∴OD=4cm，
∵∠DOC=∠AOB=60°，
∴△DOC是等边三角形，
∴CD=OD=4cm，
故选C．
9．若，则x的值等于（）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
【考点】二次根式的加减法．
【解答】解：原方程化为=10，
合并，得=10
=2，即2x=4，x=2．故选C．
10．给出下列命题：
①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；
②三角形的三边a、b、c满足a2+c2=b2，则∠C=90°；
③△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形；
④△ABC中，若 a：b：c=1：2：，则这个三角形是直角三角形．
其中，正确命题的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】命题与定理．
【解答】解：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5或，故本选项错误；
②三角形的三边a、b、c满足a2+c2=b2，则∠B=90°，故本选项错误；
③△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形，故本选项正确；
④△ABC中，若 a：b：c=1：2：，则这个三角形是直角三直角三角形，故本选项正确．其中，正确命题的个数为2个；
故选B．
二、填空题（每小题3分，共计18分）
11．如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为 3 ．
【考点】平行四边形的判定；三角形中位线定理．
【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC三边的中点
∴DE∥AF，DF∥EC，DF∥BE且DE=AF，DF=EC，DF=BE
∴四边形ADEF、DECF、DFEB分别为平行四边形
故答案为3．
12．已知a、b、c是△ABC的三边长且c=5，a、b满足关系式+（b﹣3）2=0，则△ABC 的形状为直角三角形．
【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【解答】解：∵ +（b﹣3）2=0，
∴a﹣4=0，b﹣3=0，
解得：a=4，b=3，
∵c=5，
∴a2+b2=c2，
∴∠C=90°，
即△ABC是直角三角形，
故答案为：直角．
13．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为4.8cm ．
【考点】勾股定理．
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，
∴斜边为=10（cm），
设斜边上的高为h，
则直角三角形的面积为×6×8=×10h，
解得：h=4.8cm，
这个直角三角形斜边上的高为4.8cm．
故答案为：4.8cm．
14．若代数式有意义，则实数x的取值范围是
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥0且x≠1．
15．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行
【考点】勾股定理的应用．
【解答】解：如图，设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，
在Rt△AEC中，AC==10m，
故选B．
16．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为或3 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5﹣3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
三、解答题（共计72分）
17．（5分）计算：3﹣9﹣（2﹣）﹣|2﹣5|．
【考点】二次根式的混合运算．
【解答】解：原式=12﹣3﹣2+9+2﹣5
=9+4．
18．（6分）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： +﹣|a﹣b|．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【解答】解：∵a＜﹣1，b＞1，a＜b
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴原式=|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
=﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）
=﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b
=﹣2
19（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8，求AC的长．
【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．
【解答】解：如右图所示，
在RT△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
又∵AB=8，
∴BC=4，
∴AC==4．
20．（7分）已知：如图，AB=3，AC=4，AB⊥AC，BD=12，CD=13，
（1）求BC的长度；（2）证明：BC⊥BD．
【考点】勾股定理．
【解答】解：（1）∵AB=3，AC=4，AB⊥AC，
∴BC=．
（2）∵BD=12，CD=13，BC2+BD2=52+122=132=CD2，
∴∠CBD=90°．
∴BC⊥BD．
21（8分）已知如图在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，求证：∠AED=∠CFB．
【考点】平行四边形的性质．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC．AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCF，
在△ADE与△BCF中，，
∴△ADE≌△BCF，
∴∠AED=∠CFB．
22．（8分）阅读下面材料，回答问题：
（1）在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： ===﹣
小李的化简如下： ===﹣
（注意：式子中括号后面的2为平方）
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
（2）请你利用上面所学的方法化简．
【考点】二次根式的混合运算．
【解答】解：（1）小李化简正确，小张的化简结果错误．
因为=|﹣|=﹣；
（2）原式===﹣1．
23.（10分）如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C=90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m．
（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；
（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？
【考点】勾股定理
【解答】（1）∵∠C=90°，AB=2.5，BC=0.7
∴AC=22
2.50.7
-=2.4（米），
-=22
AB BC
答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；
（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，
∴A′C=AC﹣A′A=2.4﹣0.9=1.5（m），
在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2+B′C2=A′B′2，
即1.52+B′C2=2.52，∴B′C=2（m）
∴BB′=CB′﹣BC=2﹣0.7=1.3（m），
答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证：OE=OF；
（2）若BC=2，求AB的长．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（2）解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∵BC=2，
∴AC=2BC=4，
∴AB===6．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=，∠C=30°．点D从点C出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）AC的长是10 ，AB的长是 5 ．
（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF 与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．
（3）当t为何值，△BEF的面积是？
【考点】平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理
【解答】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AC=2AB，
根据勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2，
∴3AB2=75，
∴AB=5，AC=10；
（2）EF与AD平行且相等．
证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∴四边形AEFD为平行四边形．
∴EF与AD平行且相等．
（3）解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°，
∴DF=CD，
∴CF=t，
又∵BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5﹣t，∴，
即：，
解得：t=3，t=7（不合题意舍去），
∴t=3．
故当t=3时，△BEF的面积为2．
故答案为：5，10；平行且相等；；3．