指数与对数的意义详解

指数与对数

先复习国中学过的指数概念和指数律，包括 1. 0a >, n 是正整数，n a 的意义。 2. n m n m a a a +?=.

3. n

n m m a a a

-=, 0n m >>. 4. 赋予01a =, 以符合3. 5. 赋予1

k k

a a -=

, k 为正整数，以符合3. 6. 更广的指数律： ()n m nm a a =. ()n n n a b ab ?=.

7. n 是正整数，1n

a 的意义。 例如 :

2n =时，12

a ==.

3n =时，13a =

一般正整数，1n

a =8. n 是正整数，1n

a -的意义。

例如 : 12

a

-=

13

a

-

=

师(T) : 今天我们要上指数函数，在读指数之前，同学们可能听过马尔蕯斯(1766~1834)主张的人口学原理，他认为人口是以等比数列的方式增加的。

比方说，一年以后人口变成2倍，二年以后人口变成4倍，三年以后人口

变成8倍。

生(S) : 这不太可能吧！像台湾，就以2300万人口来说好了。一年后变成2倍就是4600万，二年后变成4倍就是9200万，三年后变成8倍就是18400

万。3年后有几乎2亿的人口，可能吗？

T : 这里说的变成2倍、4倍、8倍，只是强调人口的增加是一个等比数列的形式，倒没有说一定是一年变成2倍，这里要说的是在某一个时段(例如: 10年) 变成2倍，再过一个时段(10年) 又从2倍变成4倍。也就是说三个时段(30年) 之后，就会变成8倍。当然就历史来看人口的变化，马尔蕯斯的论点是不对的。不过我们不妨假想有某一种以等比数列的方式繁殖的细菌，这种细菌繁殖力超强，每一小时的“细菌口”会变成2倍。因此3小时后，就会变成8倍。

S : 那，半小时以后，会变成几倍呢?

T : 这个问题很好，如果我先告诉你的是: 细菌数在3小时以后会变成8倍，那么你觉得1小时以后会变成几倍呢?

S : 当然是2倍！

T : 对，如果用指数来表示，是不是说328

=, 或是说，人家问你: 38

x=, x是多少? 你的回答是2

x=. 是不是这样？

S : 了解！如果把半小时后细菌数目的倍数设成x, 那么因为已知1小时之后，细菌数会变成2倍，而1小时代表两个半小时的时段，所以22

x=. 这样想，

对吗？那x, 倍。

T : 没错，我们可以将半小时设为一个时段，而经过这一个时段，细菌数增加为

倍，因此一小时之后，也就是两个时段之后，2

=倍。如此说来，3小时以后，用刚才半小时的时段来看，会变成几倍呢？

S : 让我想想，三小时相当于6个半小时，因此细菌数应该变成6相乘，

2228

=??=，三小时以后仍然变成8倍。

T : 我们应该记成

1

663

2

(2)28 ===。

S : 所以无论是想成1小时后变成2倍，倍，3小时后都是变成8倍。前者是计算三个时段，每一个时段2倍，328

=; 后者是计算6

倍，68=。

T : 那我再问你 : 如果一小时变成2倍，那么20分钟，也就是1

3小时，应该变

成几倍呢 ？

S : 1小时是3个20分钟，如果经过20分钟，细菌数变成x 倍，就代表1小时后变成32x =倍。解x , 1/32x =。

T : ，近似值是1.414。请问，1/3

2的近似值是多少 ？

S : 1/32当然比1/22小，我觉得1/32至少大于1.2, 因为3(1.2) 1.728=, 不足2, 而

3(1.3) 2.197=, 超过2。所以1/32应该介于1.2和1.3之间，亦即

1/31.22 1.3<<.

T : 如果把15分钟看成一个时段，细菌数又应该变成几倍呢？

S : 1小时是4个15分钟，如果每15分钟，细菌数变成x 倍，4个15分钟后，细菌数应该变成4x 倍，方程式是

42x =,

亦即

1/42x =.

T : 你能估计1/42吗 ？

S : 1/2

2

1.414=≈, 12

1/2

4(2)2=, 142是12

2的平方根，所以我相当确定

1

4

1.12 1.2<<, 因为2(1.1) 1.21=, 而2(1.2) 1.44=. 后者大于

.

T : 你看，121.42<, 131.32 1.2>>, 14

2 1.2<，从这里也可以看出

1110342

21222=<<<. 时段越短，倍数越小，但是都大于1.

S : 老师，如果继续下去，比方说，如果分别把10分钟、5分钟、2分钟、1分钟各看成一个时段，那每个时段细菌数的增长倍数是几倍？

比方说，以1分钟为一个增长时段来看，如果细菌数增长为x 倍，则因一小时是60分钟，所以602x =，亦即1/602x =。在上面的表中，你可以发现最右边这一行增长倍数之间的关系。你可以用任何时段作基准，例如你如果用5分钟作基准，并且假设每经过5分钟，细菌数变成u 倍，则10分钟之后会变成2

u 倍，而1分钟之后会变成15

u 倍。上面这个表是以60分钟或1小时为基准作的。因此，如果左边的时数以小时为单位计是h 小时的话，最右边这一行的增长倍数就是2h ，读作2的h 次方，h 可以是2, 3也可以是1/2, 1/3。h 甚至可以是负数或0. h 如果是0, 就代表开始的那一刻，细菌数是1倍，亦即

0221h ==.

S : 基准是可以换的。如果用1分钟为基准来观察，1分钟增长1/602倍，所以5分钟就会增长1/6051/12(2)2=倍，完全符合上表。 T : 是的，如果你愿意以1分钟为基准，你就可以求出经过7分钟以后细菌增长的倍数，应该是多少呢 ？ S : 1/6077/60(2)2=应该就是7分钟以后增长的倍数。这个数字看起来蛮难看的，而且说实话，我感觉不出来它的大小，只能说一定大于1，不过7分钟以小时为单位就是7/60小时，在表上代表7/60h =，增长的倍数是2h 。 T : 不知道你有没有注意这个细菌繁殖的模型是很特别的。它的特性是只要经过

1小时，就会增长2倍。不管是10点到11点还是第二天的下午3点到4点，

也就是说无论是经过1分钟，或是经过任何一个时段，只要经过的时段等长，增长的倍数都是一样的。所以若是先经过x 小时，再经过y 小时，增长的倍数和经过x y +小时一样，亦即

222x y x y +?=,

这就是指数律的基本意涵。不仅如此，这样的想法还可以倒叙，也就是说x 小时以前，是现在的2x -倍，正如x 小时以后，是现在的2x 倍，亦即有等比例的关系

2:11:2x x -=,

这也是指数的基本性质，或者说负指数的意义。我们可以把上表加上一些负的时间代表「之前」，上表右列依然是2h 的形式。

T : 你现在应该可以从上面这个表看出更多一点讯息，就以中间这行来说，以h 代表繁殖时所经过的小时数，而右边这一行，代表经过h 小时的繁殖以后，细菌所增长成的倍数，这个倍数与时段h 的关系是2h 。但是不要忘了这个模型的基本特征是，当1h =时，细菌将增长为2倍，我们可以用下图来表达2x y =，x 代表经历的时段h ，y 代表x 时段后，细菌将增长为2x 倍。

(函数图形()2x y f x ==还有一个上凹的特质，亦即1

()(()())22

x z f f x f z +≤+等号成立时，代表x z =。)

S : 当你对所有的时段x 都赋予2x 时，如果x 是刚才读的这种有理数，例如：1

n

,

我可以了解1/2

n

代表2的n 次方根；或是/m n , 我可以了解/2

m n

代表1(2)m

n ，

或是2m

的n 次方根，1(2)m n

. 如果x 不是有理数呢？

T : 你难道不觉得已经有这么多的有理数x , 若是能对这些x 将函数图形上

(,2)x x 点出，这么多的点，难道还不能描出一个函数图形吗？比方说，如果

将x 取成

12,,100100

, 即以分母为100的有理数，在0到1之间，就已经有

了100个点，即一位和二位小数从0.01到0.99, 在1到2之间有1.01到1.99, 或者你也可以想想，将x 取成分母为1000的有理数，亦即从0.001到0.999等等或是1.001到1.999等等。

S : 但是数在线的点x ，当不只是有理数而已，我记得在读数系的时候，老师特

别提到数在线的点，除了分数 (有理数) ,

T : 我刚才提到分母为100或1000的有理数，其实是指十进制制中的有限小数。

这些小数够多，但是很有趣的是，他们并不包括循环小数，如1/3或1/7. 当

(十进制小数) 在数在线够密，并且是所有科学界或工程界所用的「数」，对一个物理学家或是工程师而言，度量是量出来的，精确性的要求就是看几位小数，例如：毫米是310-, 微米是610-, 奈米是910-. 回到你刚才提到的2x , x 非有理数怎么理解的问题，我

们以来说明，请看下面这个表。 122=

1.72 3.249009585

=

1.732 3.317278183= 1.7322 3.321880096= 1.73202 3.321880096

= 1.732052 3.321995226

= 1.7320502 3.321995226

= 1.73205082 3.321997068

=

224=

1.82 3.482202253= 1.742 3.340351678= 1.7332 3.324183446

= 1.73212 3.322110360

= 1.732062 3.322018252

= 1.7320512 3.321997529

=

1.73205092 3.321997298

=

我们可以看到的近似值是3.321997，比224=要小，但是比 1.52 2.828=要 大。

我想说的是对所有的变量x , 2x 都是有意义的，当x 是有理数时，2x 有非常 具体的意义。但是当x 是无理数时，2x 就只能以近似或逼近来表达。无论要 求多么严格的精准度，都是可以办到的，

上面对于的计算充分的说明了这 一点。但是我更要强调的是这个函数的意义以及它内在所具有的指数律，222x y x y +=?或者222u u v v -=?. 就学习时必须掌握的抽象层次来说，指数律是 最要紧的，而在计算时亦不可或缺。例如我刚才写下 1.52就是靠指数律

1.510.510.52222221.414

2.828+==?=≈?=.

又譬如

0.50.50.5

0.50.50.5122 1.414

2

0.70722222

-===≈=?.

换句话说，计算的时候，指数律是无所不在的。

S : 刚才老师花了不少时间解释，我想说的是以细菌繁殖的模型来说，经过1 小时，变成2倍。刚才讨论了很多

12小时，1

3

小时，甚至于-1小时细菌数的

小时，细菌会变成几倍呢？由于

1.732

≈, 所以前面的表，就说明如何透过 1.72, 1.732, 1.7322来了解.

是这样的意思吧！

T : 没错，只要你问出：x 小时后，细菌数会变成几倍？我们就必须规规矩矩来

回答2x 等于多少。在一开始的时候，1

=

2

x , 所以我们说1/22=2x 但是不

1.4142来说才比较有感觉。这就好像你先前说7/602这样的倍数，那是当时段经过7分钟以后，细菌的倍数。但是谁能很快回答7/602的近似值是多少呢？就指数律来说，是不在乎x 是不是无理数的。因为假设经过u 小时，系数是2u ，则将u 小时分成二个时段，u v -和v 小时，则当然有

222u u v v -=?.

不但无关u 是否有理数，并且也无关v 等于多少，例如 :

1

2=?,

=?指数与对数(2) - 指对数的应用

存户将钱存入银行，有如银行向存户借钱，应该支付利息。利息与本金之比称为利率。早年景气好的时候，利率相对也高，年利率6%经常可见。亦即每存入100元，一年以后可以获利6元。获利6元之后，若是续存，本金已经变成106元，因此再过一年，便可获利6.36元，比前一年的利息多0.36元；这多出来的0.36元，其实正是来自前一年的6元利息再乘上6%。如此利上加利的计息方式，称为复利。不难看出，n 年之后，这100元会变成

100(10.06)n ?+

式中重要的是(10.06)n +这个倍数。

若取12n =, 略作计算，可以得出12(1.06), 刚好超过2. 亦即只要12年，本

利和就能变成2倍。一般人看到这么快就会变成2倍，不免怀疑，因为若以单利思考，100元的本金在12年后，6%的利率只能产生72元的利息。下文先说明在计算机未发明之前“手工业者”如何计算12(1.06)。我们先把12(1.06)想成是10x , 然后解x 。注意到此处的x 只是一个小数。对12(1.06)取以10为底的对数，立刻得出

12log(1.06)x =.

从任何一本高中数学课本所附的对数表可以查出

log(1.06)0.0253=,

因此，

12log(1.06)0.3036x ==,

所以基本上

120.3036(1.06)10=.

再查一次对数表得到

0.3010210=.

比较等号右边10的指数得出

12(1.06)2>,

并且看出12(1.06)只比2大一点点(因为指数0.3036略大于0.3010)。如果是当下现在，只要按几下计算机中所附的计算器，轻易可得

12(1.06) 2.012196

=.

这是不是让「手工业者」瞠目结舌，而觉得「弗如远甚」呢？

当然手工业者有他们的说法─他们步步为营小心计算，完全知道自己在干什么，不像用手直接按下12(1.06)就可以跑出2.012196。谁知道计算机内部真正的机制？ 谁能说这不是黑箱作业呢？

但是仔细深究，手工业者不也是要查表才知道log(1.06)0.0253=和0.3010102=吗？要如何才能靠手算得到，譬如说，log(1.06)呢？ 看起来「手工业者」和「手按者」之间似乎差别不大，不过如果真的差别不大的话，对数这个议题就不必摆在高中数学教材中了。这是因为学习对数在高中最主要的功能就是帮忙分析上述这一类的连乘积。包括下面这个典型的题目: 502在十进制系统中是几位数？

我们再来看看手工业者怎么处理这个问题吧！同样的，令

50210x =,

两边对10取对数，得到

50log 2x =.

查表，log 20.301=, 因此

15.05x =.

回到

5015.050.0515210101010x ===?,

由于(根据查表)0.0510不到1.13，因此502是一个16位数，最高位的数字是1。至于「手按者」要回答这个问题就更加快捷，他甚至可以把这16位数字全部写给你，而手工业者即使要回答502的10位数还得另外作计算，此时对数是派不上用场的。

结论是高中生辛辛苦苦花了这么多的时间学对数，到头来，碰到问题还是得靠计算机，一如许多学过的数学，谁都知道这辈子再也派不上用场，可是就好像国王的新衣一般，总觉得一定要披点什么，才有国王的架势。一旦考过大学，就赶快把「衣服」丢掉，一点也不心疼，因为事实是，从来就没穿上过。

指数与对数(3) - 换底公式

「戏法人人会变，自有巧妙不同。」如果把「戏法」改成「教法」，这句话也很贴切。下面想要谈的是「换底公式」。

如果有一个正数A , 我们要问A 是5的几次方？亦即

5(1)x A = 解x .

这要怎么解呢？x 在5的右上角，一般来说，我们要法子把x 「抽离」出来，看看能不能变成一个国中就学过的a bx =的形式。我们可以用对数来办到这一

点。对(1)两边取以10为底的对数，而得到

log log5A x =, 因此，解出log log5

A

x =

. 接着是查表，查log A , log5再相除。 好，我们是用10为底的对数表来帮忙求x , 如果，你手上有以C 为底的对数表，对(1)两边取log C 就会得到

log log 5C C A x =

或

log (2)log 5

C C A x =

但是不要忘了，根据(1)，其实x 就是5log A , 因此(2)就变成

5log log (3)log 5

C C A A =

最后，如果5是另一个正数B , 那么(3)就变成

log log log C B C A

A B =.

这样子教换底公式，是不是比较自然呢？