反证法在数学中的应用
论文
反证法在数学中的应用
开封县八里湾镇第一初级中学
杨继敏
反证法在数学中的应用
摘要反证法是数学教学中所涉及的基本论证方法，它为一些从正面入手，无法使已知条件和结论找出联系的问题，提供了一条解题途径，它通过给出合理的反设，来增加演绎推理的前提，从而使那种只依靠所给前提而变的山穷水尽的局面，有了柳暗花明又一村的境地，使学生看到增加演绎推理前提的方便功效。在过去的数学学习中，许多人拘泥于传统的推理方法，常常使问题复杂化，尽管最后能达到目的，但往往费时费力，因为数学的研究往往体现一种思维转换，我们可以用一种“换位”思想来处理我们日常遇到的数学问题。
【关键词：逆向思维；假设；归谬；数学逻辑推理；矛盾；结论。】
1. 引言
反证法是数学中一种重要的解题方法，对数学解题有着重要作用。其基本思想是通过求证对立面的不成立从而推出正面的正确。因为这种方法推理严密，说服性强，所以除了在数学中应用反证法，在实际生活中的应用也比较广泛。
在不同的数学情境下，反证法的前提假设不同。因此，在数学中应用反证法，一定要具体问题提出相应具体正确的假设。这就需要熟练掌握反证法的反设词，除此，还应熟记反证法的证题步骤——假设，归谬，结论。有关这个课题的研究，以及涉及到各种文章说明其步骤，适用范围，并附以大量例题。但对反证法在数学中的应用，文字讲解与反证法适宜的数学题型的归纳总结还欠缺。本文就基于这方面的考虑，根据反证法在数学中适宜的命题应用进行了详细的文字讲解及归纳总结。
2. 反证法初探
2.1 反证法的含义及逻辑依据
含义：所谓反证法就是从反面证明命题的正确性，即欲证明“p则q”,则从反面推导出“若p非q”不能成立，从而证明“若p则q”成立。它从否定结论出发，经过正确的严格推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而验证产生矛盾的
原因，推出原命题的结论不容否定的正确结论。
逻辑依据：反证法的证明方法之所以可靠，其逻辑依据就是逻辑学中的排中律。人们在实践中得出这样的规律：“a是b”和“a不是b”两个相反的判断中，总有一个是真的，一个是假的，不存在第三个判断。这就是逻辑思维规律中的排中律。通过一个例子，可以很好的说明。
例如：三角形中至少有一个角大于或等于60°
证明假定三个内角都小于60°，那么它们的和小于180°，这与“三角形内角和等于180°”的性质相矛盾。故假设错误，原结论成立。
在同一论证过程中，两个相互反对或者互相矛盾的判断，其中至少有一个是假的，根据事物发展规律，及其利用辩证唯物主义的观点可以说明另外一个是正确的。
2.2 反证法的种类
种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称归谬法。根据命题的反面情况不同，反证法分为简单归谬法和穷举归谬法两种。
简单归谬法：论题结论的反面只有一种情况，只要把这种情况推翻就可以达到目的了。例如：若x,y,z均为实数，且a=2x-2y+π/3,b=2y-2z+π/3，c =2z-2x+π/3, 则a，b，c中至少有一个大于零？它的反面就是a,b,c都不大于0。
穷举归谬法：论题结论的反面不至一种情况，要一一反驳，最后才能肯定原命题结论的正确。例如：求证：一个多边形最多只能有三个内角是锐角。它的反面就是有四个，五个，六个……内角为锐角。
2.3反证法的模式及基本步骤
模式：设待证命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A，B本身也都是数学判断。
步骤：用反证法证明数学命题的基本步骤是
第一，假设：作出与求证结论相反的假定。
第二，归谬：由假设出发，推出与公理，定义，定理或题设相矛盾的结果。
第三，结论：由于“矛盾”证明了假设不成立，从而肯定了原求证结论的正确。
值得注意的是假设要十分准确，若命题结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不
太容易作出假设，现在将常用的互为否定形式的词语列表：
2.4 运用反证法解决数学问题应注意的问题
第一，必须正确否定结论
正确否定结论是运用反证法的首要问题，如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是直角”。“至多有一个”是指：“只有一个”或者“一个也没有”，其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”即“至少两个角是直角”。
第二，必须明确推理特点
否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不可预测的，也没有一个固定的标准，有的甚至琢磨不定。一般情况下，我们总是在命题相关的领域里考虑。例如：平面几何问题往往联系到的公理，定义，定理等，这就是反证法的特点。因此在推理前不必要也不可能事先规定得出什么样的矛盾。只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理。矛盾一经出现，证明即告结束。
第三，了解矛盾种类
反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或者部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义，公理，定理，性质等）相矛盾，也可能与临时假
设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等。
2.5在数学中，如何培养反证法的能力
反证法与直接证法的区别是，反证法是人们难以接受的一个困难。根据逻辑原理明白了为什么推出矛盾，就能说明假设错误，原结论正确。这其中如何推出矛盾，如何做一个假设又是一个困难，这就要根据前面反证法的步骤进行假设。而且应该善于发现矛盾，这就要使得我们平时注意以下两个问题。
第一，必须掌握这一结构式和这一结构规范化的表述，一定抓住重点，尽量分散难点，化难为易。
第二，学会正确引入假设，进行逻辑推理，在命题中找关键词语“任何”、“存在”、“至少”、“唯一”……
以上两种能力我们在平时做数学题时应善于发现，认真体会与掌握，从而让反证法为我们解题带来方便。我将在下一章反证法在数学中的应用中举例说明。
3.反证法在数学中的应用
关于反证法在数学中的应用最早是在平面几何教材中出现的，但作为一种基本的解题方法，它在数学其它各部分内容，如：代数，立体几何，三角，概率及解析几何中都有应用。那么究竟哪类数学命题用反证法证明起来更加简单快捷呢？
为了充分了解反证法这种数学思维方式，我对常能用反证法证明的题目给予总结并用具体例子来证明。这些应用充分体现了反证法在数学解题中的一些技巧及其重要作用。
3.1 基本定理或者初始命题的证明
基本定理或初始命题的证明，从正面证明往往没有头绪，不知从何证起。但这类命题的假设非常好找而且有定理或初始命题的结论作为依据。运用反证法，我们只要将结论给予否定即可，从而推出原结论正确。
定理：坐标都是整数的点叫作整点。
例1.求证：平面上任意三个整点都不能组成正三角形
分析：这是一个初始命题证明的例子，从正面证明的话我们就应所有整点都不可以组成三角形，这就具有不可操作性，难度较大。但其假设为：平面上任意三个整点都能组成
三角形，我们只要找出一个例子推翻反设即可。因为我们有“坐标是整数的点叫做整点”作为依据，反证法证明起来就比较容易。
证明：如图
设平面上三个整点A,B,C 组成一个三角形，由于上下或左右平移整数个单位，整点仍变为整点，因此不妨设A 为原点，因 |AB|=R,BA 与x 轴正方向夹角为α，则AC 与x 轴正向夹角为（/3π+α）,B 的坐标为（a,b ），C 的坐标为（x,y ）
于是：
cos(/3)
(cos /2/2)
/22
sin(/3)
(sin /2/2)
/2x R R a y R R b απαααπαα=+===+=+=
因为a, b 均为整数，且至少一个不为零，所以x ，y 不可能为整数，它与已知条件矛盾。故任意一整点三角形都不可能是正三角。
例2. 在同一平面内有四条直线a ，b ，c ，d ，a 与b 相交，c 垂直于d ，d 垂直于b 。 求证：c 与d 也相交
证明 假设c 平行d ，因为c 垂直a ，所以d 垂直a 。又因为d 垂直b ，所以a 平行b ，这与已知a 与b 相交矛盾。故c 平行d 不成立，所以c 与d 也相交。
例3. （最小模原理）若区域D 内部恒为常数的解析函数)(z f ，在D 内的点z 0有)
(z f ≠0，则|)(z f |不可能是|)(z f |在D 内的最小值，试证之。
提示 反证法，应用最大模原理。
注 最小模原理的推论：
设（1）函数)(z f 在有界区域D 内解析，在有界闭区域D D D ?+=上连续；
（2）)(z f ≠0(D z ∈)；
（3）存在m ＞0，使|)(z f |≥m （D z ∈）,
则除为常数外，|)(z f |＞m (D z ∈).
证明：假设|)(0z f |是)(z f 在D 内的最小值
因0)(0≠z f ，则)(10z f 是)(10z f 在D 内的最大值，)(z f 是解析函数、 由最大模原理，)
(1z f 在D 内恒为常数，与题设矛盾 故|)(0z f |不可能是|)(z f |在D 内的最小值。
3.2 存在性问题的证明
在数学中，证明存在性问题时，因为这类命题牵涉到的情况分类比较多，以至于从正面论证的话，各种情况都必须讨论，其工程量非常浩大。但存在性问题的反面情况分类比较少，只要给予一一否定即可，这样工作量就显然减少。
例1. 已知△ABC 的三边满足b=(a+c)/2，求证：△ABC 中至少有两个角不超过60°
分析：从正面证明的话，结论可分为“两个角不超过60°”、“三个角不超过60°”论证起来要证明“两个”、“三个”角的度数，比较麻烦。但其反面情况为“一个角不超过60°”、“0各角不超过60°”，论证起来只需证明“一个”、“0个”角的度数。
证明：因为 ∠A+∠B+∠C=180°，所以，假设△ABC 中至多有两个角超过60° 即 所设等价于“△ABC 中有两个角超过60°”，不妨设∠A>60°，∠C>60°
则：cos ∠A <1/2, cos ∠C<1/2
由余弦定理得：
22222222222cos 2cos c a b ab C b a ba
a b a bc A b c bc =+->+-=+->+-
以上两式相加得：
22b ＜bc ba +
即b ＜2
1(c a +) 与已知矛盾，故假设错误
所以， △ABC 中，至少有两个角不超过60°。
例2. 已知a,b,c 是互不相等单位非零实数
求证：三个方程
22220,20,
20
ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=
至少有一个方程有两个相异的实根 证明：假设三个方程中都没有两个相异的实根
则：
得： 212223123
222222222440
440
440
2220()()()0b a c c a b a b c a a b b b b c c c a c a a b b c c a ?=-≤?=-≤?=-≤?+?+?-++-++-
+≤-+-+-≤
即得 a=b=c 与已知矛盾
所以假设不成立，原命题成立。
即方程中至少有一个方程有两个相异得实根
说明：遇到存在性问题，做出与命题结论相反的假设时要认真弄清题意，给出准确的反设次。例如：“至少有一个”，“至多有两个”……
3.3 无限性命题的证明
对于无限性命题，从正面去讨论一个无限对象具有某种性质，其工程量太庞大，以至于不能实施。当采用反证法时，就可以轻而易举的把无限转化为有限。有限性命题论证起来就容易的多。
例1.
p
q
=
，p，q是无公约数的整数。
将
p
q
=
两边平方得22
2
p q
=，所以2p是偶数，因此p也须是偶数（因为奇数2k＋1的平方后是4k2＋4k＋1＝2(2k2＋2k)＋1仍旧是奇数）。所以我们可以设p是2a的样子，代入上式得(2a)2＝2q2，即4a2=2q2两边同时消掉2可得2a2＝q2，即q也是偶数。
由于p，q都是偶数，它们有一个公约数2，这和我们最初假设p，q无公约数产生矛
例2.求证0与1之间有无穷个有理数
证明：假设在0与1之间有理数只有（有限的）n个a1，a2，a3……a n根据有理数之积仍为有理数，于是得到与a1，a2，a3……a n都不相同的有理数p，使得P=a1，a2，a3……a n-1，a n
因为a1，a2
，a3
……a n-1，a n都为小于1的正有理数，所以0 故在0和1之间至少有n+1个有理数，这与假设矛盾。所以，原命题成立。 说明：对无限性命题进行证明时，通过反设为有限个后，要通过证明有限从其中找出来无限个结论从而否定假设错误，这是突破口。 3.4 唯一性命题的证明 唯一性命题虽然结论为有限的，而且只有一个，但证明时往往论据不是很充分，尤其体现在立体几何里面。运用反证法，我们一般反设结论有两个，然后通过已知条件与反设推出矛盾。 已知a与b是异面直线 求证：过a且平行于b的平面只有一个 证明 如图，假设过直线a且平行于b的平面有两个，分别为α和β 在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ 且γ与α和β分别交与过点A的直线c和d 因为b∥a,所以b∥c；同理因为b∥d，所以c∥d 这与c与d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论正确。 3.5 肯定性命题的证明 结论以“……总是……”，“……都……”，“……全……”等出现的，都是肯定性命题，遇到肯定性论断时，往往已知条件较少，对于证题就有一定的限制。这时我们就应考虑运用反证法，一经反设，已知条件便会增加，然后可以通过多个已知条件，推出否定结论，找到推理思路。 定理：两条平行线可以确定一个平面 定理：一条直线与直线外一点可以确定一个平面 例1已知：a//b，a?平面α=A，如图 求证：直线b和平面α不相交 分析：证明线与面相交，从正面出发的话，就必须证出线面有交点，但线面有交点很难证明，运用反证法，我们假设直线和平面不相交，即：直线在平面内或者直线与平面平行，我们只要将其分类否定就可以。 证明 直线b 和平面α不相交，即b 在平面α内或b//α (1) 若b ∈α 因为a//b 且a α? 所以a//α这与a α?=A 矛盾 (2) 如图，如果b//α，因为a//b ，所以a 和b 确定一个平面β 显然平面α与平面β相交，设αβ?=c ，因为b//α，所以b//c 又因为a//b ，所以a//c 且a α?,c ∈α，故a//α，这与a α?=A 矛盾 由(1)(2)知，假设不成立，所以直线b 与平面α相交 例2已知△ABC 的三边a,b,c 的倒数成等差数列 求证：∠B<90° 证明 假设∠ B<90°不成立，则∠B>90° 所以a,b,c 中b 边最大，1/a,1/b,1/c 中1/b 最小，1/b-1/a<0,1/c-1/b>0 所以1/b-1/a ≠1/c-1/b ，这和1/a,1/b,1/c 成等差数列矛盾，所以∠ B<90° 说明：在三角形中，最长的那个边对应的角也是三个角中最大的。 3.6 否定性命题的证明 命题的结论中涉及到否定论断时，因为再否定即为肯定，对于肯定的结论一般比较好处理，故宜用反证法。采用反证法可把否定性断言转化成某种肯定性断言，从而找到推理途径。因为我们掌握绝大部分概念，公理，定理，定理及公式都是肯定性断言，而运用肯 定性断言去推理一个命题要比运用否定性断言去推证一个命题更直观，容易。下面看一个具体例子。 例1求证：不存在7条棱的多面体 分析：不存在7条棱的多面体，正面证明时，我们总想用大量例子来说明没有7条棱的多面体。但大量举例最终还是有局限性，不能完全概括总结。这时就要考虑运用反证法将不存在转化为存在，然后加以否定。 证明假设存在7条棱的多面体，那么这个多面体每一个面只能是三角形 因为若有四边形或者边数更多的多边形，那么除了这些边最多还剩3条棱，就无法和4个以上的顶点连接了，又因为如果各个面都是三角形的多面体且有m个面，每个棱都是两个面得边，所以3/2m=7，即m=14/3，矛盾，所以不存在7条棱的多面体说明：m为多面体面得个数，所以m必须大于0。 3.7 所求命题为不等式 对于不等式的证明，一般情况都是通过直接证明而得出结论的，但有少数不等式题目，直接证明困难较大，难以推出结论。这种情况下，我们可以试试反证法。 要注意的是反设不等式时，切忌不可“多加”或“少取”哪个条件，例如：“a>b”其反设为“a≤b”，不可忘记“=”号；“a≠b”其反设为“a>b”或“a 例1已知：如图示△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D 求证：AD+BC>AC+AB 证明假设AD+BC 则有0 两边同时平方得： 2222 ++<++(1) h ah a b bc c 22 因为2 ABC S ?=ah=bc 且在△ABC 中，∠A ＝90°，所以222a b c =+ 则(1)式变为：22222h ah a a ah ++<+ (2) 由(2)得：20h <，矛盾，故假设错误，所以AD+BC>AB+AC 说明：本题实质实质证明逆否命题，逆否命题不成立，原命题正确，这是反证法应用范围得一种常见情况。 以上关于反证法在数学中的应用，我主要总结了七种适宜命题，对于这七类命题，反证法非常有效。 4. 总结 反证法这种方法思路非常清晰，即对所证命题得结论给出否定假设经过一系列得逻辑推理，推出一个与已知条件（或已知定理）相矛盾的结果从而说明假设是错误的，则原命题正确。 反证法是数学中一种重要的解题方法，是“数学中精良武器之一”，在许多方面有不可替代的作用，它以独特的证明方法和思维方式对培养我们逻辑思维能力和创造思维能力有着重大的意义。反证法在数学中不但可以单独使用也可以与其它方法综合使用，并且可以在一道题里面多次使用，我们要熟练运用使其为我们带来更大的利益。 参考文献 [1] 赵雄辉，证明的方法[M]，湖南：湖南人民出版社，2001 [2] 龙朝阳，反证法的理论基础与适用范围[J]，安顺师专学报，1999 [3] 陈国祥，适合用反证法证明的几类问题[J]，中学数学教学参考，1994 [4] 钟玉泉，复变函数论，高等教育出版社，2004 [5] 颜长安，反证法初探[J]，数学通讯， 2001 [6] 高珑珑，反证法例说[J]，中学数学月刊，1997 [7] 徐加生，例谈正难则反的解题策略[J]，数学教学研究，1999 [8] 王桥，威力无比的反证法[DB/OL]。 [9] 李云涛，浅谈反证法[DB/OL]。 [10] 叶永艺，正难则反，从反面考虑问题[DB/OL] 中学数学教学中的反证法 在生活中，我们都有这样的常识，去掉大米中的砂粒，有两种方法.一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地拣出来；一种是用间接的方法――淘洗法，把砂粒残留下来.这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的.有时用直接方法很困难，而用间接方法却容易得多.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”当一些命题不易从正面直接证明时，就可考虑用反证法. 一、反证法的基本概念 1.反证法的定义 法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较简单的题目，在高中数学中的应用较为广泛，在解决一些较难问题的时候，反证法能体现其优越性. 2.反证法的基本思想 反证法的基本思想就是否定之否定，这种基本思想可以用下面的公式表示： “否定→推理→矛盾→肯定”，即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定. 3.反证法的逻辑依据 通过以上三个步骤，为什么能肯定原命题正确呢？其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于 1、用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是 Ａ．将结论与条件同时否定，推出矛盾 Ｂ．肯定条件，否定结论，推出矛盾 Ｃ．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用 Ｄ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件 2、否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时的正确反正假设为 A ．a 、b 、c 都是奇数 B ．a 、b 、c 或都是奇数或至少有两个偶数 C ．a 、b 、c 都是偶数 D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数 3、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的是 A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60° C ．假设三内角至多有一个大于60° D ．假设三内角至多有两个大于60° 4、设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中 A ．都不大于－2 B ．都不小于－2 C ．至少有一个不大于－2 D ．至少有一个不小于－2 5、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则 A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面 6、已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2 n ＋3)3x 2n ＋1 (n ＝1,2…)，试证“数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n 浅谈反证法 聂震 1310300235 摘要：反证法是数学中一种应用广泛的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题都是用反证法来证明的。反证法不仅可以单独使用，也可以结合其他方法一同使用，还可以在论证同一命题时多次使用。本文主要从什么是反证法、反证法的依据、为什么使用反证法、反证法解题步骤、适用题型及举例、如何做出正确反设六个方面浅谈反证法。 关键词：反证法归谬法矛盾假设 引言：有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。 反证法是一种应用广泛的数学证明方法，它的应用与发展历史悠久，早在古希腊，数学家就应用它证明了许多重要的数学命题，欧几里德的《几何原本》已经开始运用反证法。牛顿曾说过，反证法是“数学家最精当的武器之一”，它在许多方面都有着不可替代的作用。在现代数学中，反证法已经成为最常用最有效的解决问题的方法之一。 一．定义： 反证法（又称背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。 二．反证法的依据： 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。 在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是 初中几何反证法专题 学习要求 了解反证法的意义，懂得什么是反证法。 理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。 知识讲解 对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反 证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命 题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一 种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探 索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。 1．反证法的概念： 不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 2．反证法的基本思路： 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从 而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件 矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中 的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相 互矛盾（即自相矛盾）。 3．反证法的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。 例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。 （1） 证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。 ∵OA＝OB，M是AB中点 ∴OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边） 同理可得： OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM 本科生毕业论文 浅谈中学数学中的反证法 院系：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学 班级： 2008级数学与应用数学(2)班 学号： 200807110211 姓名：黎康乐 指导教师：陈志恩 完成时间： 2012年5月26日 浅谈中学数学中的反证法 摘要: 数学命题的证明分直接证法和间接证法两种．在间接证法中，最常见的是反证法．虽然平时我们接触了相关方面的知识，但比较零散，对其概念、应用步骤、使用范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性，哪些命题适宜用反证法很难给出确切的回答.本课题通过查阅资料和自己在学习数学过程中的发现就中学数学中反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类及步骤，解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾、以及哪些类型的问题适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳．并总结出在学习反证法的过程中应注意的三个方面，通过对以上提出的所有问题进行系统归纳，这有利于帮助学生系统的学习反证法，提高学生利用反证法进行解题的技巧从而达到预期效果. 关键词:反证法假设矛盾结论 Abstract:The mathematical proof points directly proofs proposition and indirect proof two. In indirect proof, the most common is required. Although peacetime we contact with the related knowledge, but is scattered, of the concept, application procedures, the scope of use of not understanding of the system, and the mathematical proposition the diversity and complexity, which is suitable for proposition is very difficult to give the exact with reduction to answer. This subject will be required in the middle school mathematics concept, apagoge is logical basis, types and steps, problem solving process of how a hypothesis of contradictions, and looking for what types of questions appropriate counter-evidence method from the proof of the set out on the induction. And summed up in the process of learning be should be paid attention in the three aspects, through all the questions put to the above system induce, this will help the students to learn the required system, improve the students use to problem solving skills required to achieve the expected effect. Key words:Counter-evidence method hypothesis contradiction conclusion 65yttrgoi 用反证法证明几何专题 对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。 一、反证法的概念： （又称归谬法、背理法）是一种论证方式，不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 二、反证法的基本思路： 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个 矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。 三、反证法的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 四、适用范围 “反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。 五、反证法在平面几何中的应用 例1．已知：AB 、CD 是⊙O 内非直径的两弦（如图1），求证AB 与CD 不能互相平分。 （1） 证明：假设AB 与CD 互相平分于点M 、则由已知条件AB 、CD 均非⊙O 直径， 可判定M 不是圆心O ，连结OA 、OB 、OM 。 ∵OA ＝OB ，M 是AB 中点 ∴OM ⊥AB （等腰三角形底边上的中线垂直于底边） 同理可得：OM ⊥CD ，从而过点M 有两条直线AB 、CD 都垂直于OM 这与已知的定理相矛盾。故AB 与CD 不能互相平分。 归缪法 穷举法 论文 反证法在数学中的应用 开封县八里湾镇第一初级中学 杨继敏 反证法在数学中的应用 摘要反证法是数学教学中所涉及的基本论证方法,它为一些从正面入手,无法使已知条件和结论找出联系的问题，提供了一条解题途径，它通过给出合理的反设,来增加演绎推理的前提，从而使那种只依靠所给前提而变的山穷水尽的局面,有了柳暗花明又一村的境地,使学生看到增加演绎推理前提的方便功效。在过去的数学学习中,许多人拘泥于传统的推理方法，常常使问题复杂化,尽管最后能达到目的，但往往费时费力,因为数学的研究往往体现一种思维转换，我们可以用一种“换位”思想来处理我们日常遇到的数学问题。 【关键词: 逆向思维;假设；归谬;数学逻辑推理；矛盾；结论。】 １．引言 反证法是数学中一种重要的解题方法，对数学解题有着重要作用。其基本思想是通过求证对立面的不成立从而推出正面的正确。因为这种方法推理严密，说服性强，所以除了在数学中应用反证法,在实际生活中的应用也比较广泛。 在不同的数学情境下,反证法的前提假设不同。因此，在数学中应用反证法,一定要具体问题提出相应具体正确的假设。这就需要熟练掌握反证法的反设词，除此,还应熟记反证法的证题步骤——假设，归谬，结论。有关这个课题的研究,以及涉及到各种文章说明其步骤，适用范围，并附以大量例题。但对反证法在数学中的应用,文字讲解与反证法适宜的数学题型的归纳总结还欠缺。本文就基于这方面的考虑,根据反证法在数学中适宜的命题应用进行了详细的文字讲解及归纳总结。 2. 反证法初探 ２.1 反证法的含义及逻辑依据 含义:所谓反证法就是从反面证明命题的正确性，即欲证明“p则q”,则从反面推导出“若p非q”不能成立,从而证明“若p则ｑ”成立。它从否定结论出发,经过正确的严格推理,得到与已知（假设)或已成立的数学命题相矛盾的结果,从而验证产生矛盾的原因，推出原命题的结论不容否定的正确结论。 浅谈中学数学中的反证法 摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。反证法不仅是一种论证方法，还是一种思维方式，对培养和提高学生的逻辑思维能力和创造性思维能力也有极其重要的作用，还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍反证法在中学数学中的应用并举例分析以及说明应用反证法要注意的问题。 关键词：反证法；中学数学；应用； On the Proof by Contradiction in Middle School Mathematics Abstract：Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonable method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students' logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students' thinking of solving problems, so that students can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction. Keywords：proof by contradiction; Middle school mathematics; Application; 4.6 反证法 ◆基础练习 1．“a 8．如图，已知AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠E=360°． 9．请举一个在日常生活中应用反证法的实际例子． ◆综合提高 10．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，?应先假设这个三角形中（ ） A ．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C ．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60° 11．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应假设______________． 12．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补． 132是一个无理数．（说明：任何一个有理数均可表示成 b a 的形式，且a ，b 互质） 14、试写出下列命题的反面： （1）a 大于2 _____________;（2）a⊥b _______________. 15、用反证法证明“若22a b ≠，则a b ≠”的第一步是______________. 16、填空：在△ABC 中，若∠C 是直角，那么∠B 一定是锐角. 证明：假设结论不成立的，则∠B 是__________或_________. ①当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾； ②当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾. 反证法 从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。它是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证 明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。 例1.[05.北京]设()f x 是定义在[0,1]上的函数，若存在'(0,1),x ∈使得()f x 在[0,']x 上单调递增，在[',1]x 上单调递减，则称()f x 为[0,1]上的单峰函数，'x 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间。 对任意的[0,1]上单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法。求证：对任意的1212,(0,1),,x x x x ∈<若12()()f x f x ≥，则2(0,)x 为含 中考数学解题方法反证法专题 在初中数学题目的求解过程中，当直接证明一个命题比较复杂麻烦，甚至不能证明时，我们可以采用反证法.反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬 反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）. 用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大于/不大于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n-1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个. 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知 条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾. 至于什么问题宜用反证法？这是很难确切回答的问题.下面我们就结合实例归纳几种常使用反证法的 情况. 一、基本定理或初始命题的证明 在数学中，许多基本定理是使用反证法来证明的，例如“过直线外一点只有该直线的一条平行线”，“过平面外一点只有平面的一条垂线”.因为在证明这种基本定理时，由于除已经学过的公理及其推论外，在此之前所导出的定理不多或者与此命题相关的定理不多. 例1在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直.求证：a与b平行. 证明假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”. 不妨设直线a，b的交点为M，a，b与c的交点分别为P，Q，如图1所示，则∠PMQ>0°. 这样，△MPQ的内角和=∠PMQ+∠MPQ+∠PQM=∠PMQ+90°+90°>180°. 这与定理“三角形的内角和等于180°”相矛盾.说明假设不成立. 浅谈中学数学中的反证法 数学与计算机科学学院数学与应用数学 105012011138 黄义瑜 【摘要】反证法一种间接的数学证明方法，也是一种重要的数学思想.他首先假设某命题不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证.证明的一般步骤为反设、归谬、结论.虽然在中学数学的课本中所占篇目较少，但应用广泛，能锻炼学生的逆向思维.论文中将阐述反证法的概念、证明步骤、思维方式以及适用题型.深刻理解反证法的实质，切实掌握它的解题要领，能提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力. 【关键词】反证法命题中学数学高考高等数学 有个著名的“道旁苦李”的故事：传说，王戎从小就非常聪明.有一天，他和小伙伴们出去游玩，发现路边有几株李树，树上结满了李子，而且看上去一个个都熟透了.小伙伴们一哄而上，摘了尝了之后才发现李子是苦的.只有王戎没动，王戎说：“如果李子不苦的话，早就被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”这个故事中王戎从反面论述了李子为什么不甜，不好吃.这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法. 1 反证法的由来 反证法是数学中的一种证明方法，它是与直接证法相对的间接证法的一种.法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.反证法作为一种最重要的数学证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用.欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论，“最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法. 2 反证法的概念 反证法是一种反面的角度思考问题的证明方法，是数学中常用的间接证明方法之一，属于“间接证明”的一类.即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得. 法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体来说就是，假设命题的结论不成立，在已知条件和“否定命题结论”的新条件下，通过逻辑推理，得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论矛盾或自相矛盾，从而断定命题结论的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法. 浅谈中学数学中的反证法 摘要小结在解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾,哪些类型的问题适用于反证法,以及在学习反证法的过程中应注意的两方面。 关键词反证法命题反设归谬结论 ０引言 反证法是数学的一种极其重要的方法，特别是遇到的一些直接证明难于入手，甚至无法入手的问题，反证法可使证明变得轻而易举。它和分析法、综合法一样，有着悠久的历史，应用也相当广泛。 在中学数学中，反证法是一个难点。在学习反证法之前，学生在学习平行线、相交线、三角形等各章中，证题用的都是直接证法，突然学习反证法，与已有的证题习惯不同，所以学生初学反证法，会有排斥的心理。加之，现在课本要求不高，例题很少，学生与老师不重视，知识不巩固，使学生无法深刻理解反证法的作用。但是，中学生好奇心强，对新鲜事物兴趣浓，抓住这一特点，从浅显的、学生熟知的事实入手说明“反证法”，再引导其抽象概括，就能收到很好的教学效果。论文中通过几个例子表现反证法的思维方式，说明反证法在解题中的重要作用，并总结哪些类型的问题适用于反证法。深刻理解反证法的实质，切实掌握它的解题要领，能提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力。 １反证法的由来 反证法是数学中的一种证明方法，它是与直接证法相对的间接证法的一种。法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。反证法作为一种最重要的数学证明方法，在数学命题的证明中被广 泛应用。欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论，“最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法。 ２什么是反证法 反证法是从原命题结论的反面出发，通过正确的逻辑推理过程，导致矛盾的结果，从而肯定原命题结论正确的证明方法。它是反设后通过归谬使命题得到证明的方法，所以，反证法又称“归谬法”。英国数学家哈代对于这种证法给过一个很有意思的评论，在棋类比赛中，经常采用一种策略，叫“弃子取势”，即牺牲一些棋子以换取优势。哈代指出，归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略，棋手可以牺牲的是几个棋子，而数学家可以牺牲整盘棋。反证法就是作为一种可以想象的最了不起的策略而产生的。 ３反证法的一般步骤 应用反证法证题，首先应分清命题的条件和结论，再按“反设→归谬→结论”三步进行： 3.1反设 作出与原命题结论相反的假设。反设是应用反证法的第一步，也是关键的一步。反设的结论将是下一步归谬的一个已知条件。反设是否正确、全面，直接影响下一步的证明。作为反设其含义是：假设所要证明的命题的结论不成立，而讨论的反面成立故应准确找到命题的结论，抓住关键的字句进行分析、引导、示范、训练，体会怎样对命题的结论进行正确、全面的否定。在训练时，主要做以下工作：（1）正确分清题设和结论。（2）对结论实施正确否定。一般而言，一种情形是直接在结论前加“不”或去掉“不”。例如：是→不是，有→没有，能→不 高中数学反证法综合测试题(含答案) 选修2-2 2.2.2 反证法 一、选择题 1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是() A．有一个解 B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解 [答案] C [解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C. 2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为() A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数 [答案] B [解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数； ④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数页 1 第 或至少有两个偶数”．故应选B. 3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是() A．假设三内角都不大于60 B．假设三内角都大于60 C．假设三内角至多有一个大于60 D．假设三内角至多有两个大于60 [答案] B [解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60”．故应选B. 4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a、b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数 [答案] B [解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数． 浅谈反证法在数学中的应用 摘要 反证法在数学中是一种极其重要的证明方法，被称为“数学家最精良的武器之一”。它与一般证明方法不同，反证法可分为归谬反证法和穷举反证法两种。只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单，易证，它在数学证题中确有独到之处。本文主要介绍了反证法的基本概念、步骤、依据及分类。对于反证法的应用需注意事项和解题步骤做一些论述。 关键词：反证法；归谬；矛盾；假设；结论 Abstract Contradiction in mathematics is an extremely important method of proof, known as "mathematician one of the most sophisticated weapons." It is different with the general method of proof, proof by contradiction can be classified into two kinds of absurd contradiction and exhaustive reductio ad absurdum. Simply grab the essentials, reductio ad absurdum can make a number of difficult problems becomes simple direct proof, easy to prove, it is proof in mathematics problem in that there are unique. This paper describes the concept of reductio ad absurdum, steps, basis and classifications.The reductio ad absurdum of the application notes and problem-solving steps required to do some exposition. 毕业论文 学生姓名XXX学号1610010XXX 学院数学科学学院 专业数学与应用数学 题目浅谈中学数学中的反证法 XXX 副教授/博士 指导教师 2014年5月 摘要: 反证法是从反面的角度来思考问题的证明方法.在此文章中主要阐明了反证法的概念、证明的一般步骤、反证法的种类及其在中学数学中的应用. 关键词：反证法，适用范围，假设 Abstract: Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view. In this article, we mainly dicuessed the definition of proof by contradiction and the general steps of it. Furthermore, we applied it in Mathematics in middle school. Key word: Proof by contradiction, scope of application , hypothesis 目录 1引言 (4) 2反证法的概述 (4) 3 反证法的适用范围 (5) 4运用反证法应该注意的问题 (10) 总结 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13) 1 引言 1589年，意大利的科学家伽利略登上了比萨斜塔，同时丢了两个不同质量的铁球.用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的论断.而在此之前伽利略做了如下的推理论证： 假设假设亚里士多德的断言是正确的.设物体比物体的重量重很多，则应比先 a b a b 落地.现在把物体和绑在一起成为物体，则=+.一方面，由于比要重，它应该 a b c c a b c a a a b a b b a 比先落地.另一方面，由于比落得快，、一起的时候，应该是“拉了的后腿” a c a c a a 迫使的下落速度减慢，所以，物体应该比后落地.这样一来，应比先落地又应比 后落地，这样产生了矛盾，所以假设是不成立的.因此亚里士多德的断言是错误的. 伽利略的论证是有力的，逻辑性极强的，而伽利略的这种方法就是我们现在将要介绍的反证法.反证法在初中高中数学学习中有很多的运用，乃至大学或者更高的学习中都会用到反证法.它不仅是一种解题方法，更是一种锻炼学生逆向思维的手段.本文重点总结了反证法的概念，反证法的一般步骤，以及反证法的种类和适用范围等方面，同时指出了使用反证法时应该注意的问题. 2 反证法的概述 2.1 反证法的概念 反证法就是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发.根据命题的条件和已知的真命题，经过推理论证得出与已知事实（条件，公理，定义，定理，法则，公式等）相矛盾的结果.这样就证明了结论的否定是不成立的，从而间接的肯定了原命题的结论成立.”这种证明方法叫做反证法. 还有人将反证法总结为证明逆否命题的方法.他们认为证明原命题的真假，就是证明原命题的逆否命题是否成立.若一个命题为“若则”,当为真，则（其中 A B A B ??? ?B A ?B A B 表示命题的否定）为真，当为假，则为假. B ??? ?B A 2.2 运用反证法的步骤 运用反证法证题一般分为三个步骤： 1）假设原命题不成立； 2）从这个结论出发，经过推理论证得出矛盾； 3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确. 即先提出假设，然后推出矛盾，最后肯定结论. 24.2课题：反证法 【学习目标】 1、知识与能力：通过实例，体会反证法的含义；培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。 2、过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题. 3、情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流。：培养他们勇于探索和创新精神以及优化他们的个性品质； 【学习重难点】 1、学习重点： ①理解反证法的概念， ②体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤， ③用反证法证明简单的命题。 2、学习难点： 理解“反证法”证明得出“矛盾的所在 【教学过程】 导入：《路边苦李》 王戎怎么知道树上的李子不好吃？ 1、播放动画，学生观看的同时思考 2、教师引导【见后面】。 一、引发思考的三个问题 1、一个三角形中不能有两个直角。为什么？ 证明：假设△ABC中有两个直角 不妨设∠A=∠B=90° 那么∠A+∠B+∠C=180°+∠C＞180° 这与三角形的内角和定理相矛盾 ∴假设不成立 ∴△ABC中不能有两个直角 2、两条直线相交只有一个交点。为什么？ 假设有不止一个交点，则至少有两个交点 这样，过两点就可以做两条直线 这个过两点有且只有一条直线的公理矛盾 所以假设错误 所以两条直线相交有且只有一个交点。 3、若｜a︱﹤a + 2，那么a﹥- 1。为什么？ 惯性思想： 假设a 不是大于–1，就有a = -1和a ﹤-1两种情况， ( 1 ) 假设a = -1，则 1 ﹤ -1 + 2，→ 1﹤1。【与“基本事实”矛盾】( 2 ) 假设a ﹤-1，则–a ﹤a + 2，→ -2a ﹤2 → a ﹥- 1【与“已知”矛盾】 综述，若｜a︱﹤ a + 2，那么 a﹥- 1。 二、生活中的命题 1、你睡着了吗？ 室友甲：喂！你睡着了吗？ 室友乙：嗯，我睡着了！ 命题：“室友乙睡着了”是真命题对吗？ 2、警察正在调查一件盗窃案，他们捉到一个嫌疑犯，把他带到了审问室。但这个嫌疑犯却用笔在纸上写说他是聋哑人，于是警察便用写字的方式询问他。 询问到最后，还是没有什么结果。 就在没有办法的时候，警察无意中说了一句话,意外的戳穿了这个嫌疑犯一开始撒下的谎言。 ①猜猜看，警察说了什么？ ②可以得出什么命题？ 三、怎样思考下列命题地正确性 1、若一个整数的平方是偶数，则这个数一定也是偶数。 假设不是偶数,则是奇数,设个奇数是 2n+1, 则它的平方为 (2n+1)2= 4n2+4n+1=4（n2+n）+1 因为4（n2+n）是偶数，所以4（n2+n）+1是奇数， 这与(2n+1)2为偶数相矛盾 所以这个数必然是偶数。中学数学教学中的反证法-精选教育文档
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