函数的基本性质
函数的基本性质
一．函数的单调性：
1. 定义：设D 为函数)(x f 定义域的子集。对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有
?
>--?>--?
<0)](()([0)
()()()(12121
21221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数
)(x f y =在D 上是增加的。对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有?
<--?<--?
>0)](()([0)
()()()(12121
21221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数
)(x f y =在D 上是减少的。
2. 图像特点：自左向右看图像是上升的。（图像在此区间上是增加的） 自左向右看图像是下降的。（图像在此区间上是减少的）
3.判断函数单调性的方法：
（1）图像法：作出函数图像，由图像直观判断求解，只能用于判断。（数形结合） 解题程序：解析式-----图像-----单调区间
（2）性质法：需要先记清基本初等函数的单调性。 高中基本初等函数：
一次函数：)0(≠+=k b kx y ，二次函数：)0(2≠++=a c bc ax y 反比例函数：)
0(≠=k x
k
y ，
简单幂函数：3,2,21
,
1,1)(-=∈=αααR x y 指数函数：)10(≠>=a a a y x
且，对数函数：)
10(log ≠>=a a x y a 且，
“对勾”函数：)0(>+
=a x
a x y
①a x f y +=)(与)(x f y =的单调性相同。
②当0>a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相同； 当0 ③在公共定义域内，增函数)(x f +增函数)(x g 是增函数， 减函数)(x f +减函数)(x g 是减函数； 增函数)(x f －减函数)(x g 是增函数，减函数)(x f －增函数)(x g 是减函数； ④两函数积的单调性：当)(x f ，)(x g 在公共区间上都是增（减）函数。 若0)(,0)(>>x g x f ，则)(x f )(x g 在此区间上是增（减）函数。 若0)(,0)(< (1 x f y = 与)(x f y =单调性相反。 （3）复合函数)]([x g f 单调性遵循“同增异减”法则。 （4）定义法： （5）导数法： 4.单调性的证明：利用定义证 目前证明函数单调性的唯一方法，包括抽象函数的单调性证明。 证明函数)(x f y =在D 上的单调性步骤： 任取D ,21∈x x ——作差（商）)()(12x f x f -——变形——定号——下结论 利用单调性定义证明函数单调性： （1）求证函数1)(+=x x f 在区间[)∞+， 0上的单调递增。 （2）求证函数x a x x f +=)(在区间[ ) +∞,a 上的单调递增。 注：1.单调性函数的局部性质。函数的单调区间是定义域的子集，所以求函数的单调区间必须先求函数的定义域。 2.单调区间的表示：端点值取舍，单调区间不能并。 3.注意区分“ f (x ) 在区间(a , b )上单调”与“ f (x ) 的单调区间是(a , b )”. 题型一：判断函数的单调性（求函数的单调区间）： （2014·北京）1.下列函数中，在区间),0(+∞上为增函数的是（ ） A.1+=x y B.1-=x y C.x y -=2 D.)1(log 5.0+=x y 2.求下列函数的单调区间： （1）]4,0[122∈++-=x x x y ， （2）11 2-+ =x y ， （3） x x e e y --= （4）,21241 2x x y x x y --+=-+= (5) x x x f 32)(2-=，x x x f +-= 11)(， （6） 1-x y = .32)(4)(,ln )(2++-=-==x x x f x x x f x x f ， 21)(-++=x x x f ， x x x f 2)(2-= （图像法） （7）2 23)(x x x f --=， x x y -=22 （2017·全国Ⅱ）)82(log )(22--=x x x f （复合函数单调性） 题型二：函数单调性的应用： 1.利用单调性比较大小： 设函数)(x f 在),(+∞-∞上是减函数，R b a ∈,，且0≤+b a ，则下列选项正确的是（ ） A.)()()()(b f a f b f a f +-≤+ B.)()()()(b f a f b f a f -+-≤+ C.)()()()(b f a f b f a f -+≥+ D.)()()()(b f a f b f a f -+-≥+ 2.利用单调性解不等式（函数型不等式求解）： （1）已知)(x f 是定义在]2,2[-上的增函数，使)1()12(->-a f a f 成立的实数a 的取值范围 （2）函数?????<-≥+=0,40,4)(2 2 x x x x x x x f ， 若)()2(2 a f a f >-，则a 的取值范围。 （3）若函数???≤>+=0,10 ,1)(2x x x x f ， 若)3()2(2- （4）已知R x x x x f ∈++= ,1 1 )(，则不等式)43()2(2-<-x f x x f 的解集是 画图像，利用函数图像，由单调性脱去”f ” 3.利用单调性求最值（值域） （1）（2016 ·北京）函数)2(1 )(≥-= x x x x f 的最大值 （2）（2013·重庆）)36()6)(3(≤≤-+-a a a 的最大值。 （3）（2015·山东）已知函数)1,0()(≠>+=a a b a x f x 的定义域和值域都是]0,1[-，则=+b a 。 （4）（2015·浙江）已知?? ? ??>-+≤=1 ,661 ,)(2x x x x x x f 则=-))2((f f ， )(x f 的最小值 （5）若函数b ax x x f ++=2)(在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M-m( ) A. 与a 有关，且与b 有关 B. 与a 有关，且与b 无关 B. 与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，且与b 有关 4.已知函数单调性，求参数取值范围。 （1）已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上是减函数，则a 的取值范围. 变式：函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 的减区间是]4,(-∞，则a 为。 注意区分“ f (x ) 在区间(a , b )上单调”与“ f (x ) 的单调区间是(a , b )”. 1.设f (x )=2ax 2+4(a -3)x +5的单调减区间是(-∞,3)，则a = 2.设f (x )=2ax 2+4(a -3)x +5在(-∞,3)上是减函数，则a 的取值范围是 . （2）若函数a x x f +=2)(的单调递增区间是),3[+∞，则a = （3）若ax x x f 2)(2+-=与1 )(+=x a x g 在区间]2,1[上都是减函数，则实数a 的取值范围 。 （4）已知函数)2(log ax y a -=在]1,0[上是减函数，则a 的取值范围是 。 （5）若函数???≥++<+-+=0,1)1(log 0 ,3)34()(2x x x a x a x x f a （0>a 且1≠a ）在R 上单调递减则 a 的取值范围 。 （6）设函数???>-≤+=1,11 ,-)(2x ax x ax x x f ，若存在,,,2121x x R x x ≠∈使得)()(21x f x f =成 立，则a 的取值范围 。 （分段函数的单调性应用） 二．函数的奇偶性 前提条件：定义域关于原点对称 1. 奇偶性的定义： 如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x =-，则称函数 ()f x 为偶函数；都有()()f x f x =--，则称函数()f x 为奇函数。 2.图像特征： 具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。 3.判断函数奇偶性的方法： （1）定义法： 定义域关于原点对称，定义域内任意的x ，都有)()()(x f y x f x f =?=-为偶函数；都有)()()(x f y x f x f =?-=-为奇函数。 （2）图像法： )(x f y =图像关于y 轴对称?)(x f y =为偶函数。 )(x f y =图像关于原点对称?)(x f y =为奇函数。 （3）性质法：在公共定义域内且定义域关于原点对称： ①偶+偶=偶，奇+奇=奇 ②偶-偶=偶，奇－奇=奇 ③偶×偶=偶，奇×奇=偶 偶×奇=奇 4.证明奇偶数的方法：定义法 步骤：（1）求函数定义域，看是否关于原点对称； (2)求)(x f -看与)(x f 的关系；（有时需要变形，化简) (3)下结论。 5.结论： （1）若奇函数)(x f 在0=x 处有定义，则0)0(=f . （2）若)(x f 为偶函数，则)()(x f x f =. （3）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 （4）奇函数在关于原点对称的区间上最值互为相反数； 偶函数在关于原点的对称的区间上有相同的最值。 注：1.奇偶性是函数的“整体”性质，研究的是函数图像在整个定义域上的对称性。2.若函数具有奇偶性，把定义域分成关于原点对称的两部分。只需研究函数其中一部分的图像和性质，即可得出整个定义域的图像和性质。 题型一：判断函数的奇偶性 （2015·广东）1.下列函数，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A.21x y += B.x x y 1+ = C.x x y 2 1 2+= D.x e x y += （2014·全国Ⅰ）若函数)(),(x g x f 的定义是R ，且)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A.)()(x g x f 是偶函数 B.)()(x g x f 是奇函数 C.)()(x g x f 是奇函数 D.)()(x g x f 是奇函数 3.判断下列函数的奇偶性 （1）11)(++-=x x x f （2）x x e e y -+=，x x e e y --=，x x x x e e e e y --+-= （3）x x x f +-=11lo g )(2 （4））（x x e e x y -+= （5）?????≥+-<+=0 ,0 ,)(2 2 x x x x x x x f 可以用定义判断，也可画图像 （6））（1log )(22++ =x x x f 注：掌握一些重要类型的奇偶函数。 题型二：函数奇偶性的应用： （一）求函数值 （2017全国Ⅱ.14）已知函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数，当)0,(-∞∈x 时， 232)(x x x f +=，则=)2(f （二）求解析式： 1.若)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0 2.设)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，它们的定义域均为{}1,±≠∈x R x x ，且 1 1 )()(-= +x x g x f ,则=)(x f ,=)(x g . 3.（2013·江苏）已知)(x f 是定义域R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为。 （三）已知奇偶数，求参数的值。 1.若函数) )(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则a=。 2.已知b a bx ax x f +-+=53)(2是偶函数，且定义域为],16[a a -则b a +=。 3.设函数))(()(R x ae e x x f x x ∈+=-是偶函数，则a=。 4.设函数1 )1()(23 2+++=x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则m M +=。 抽象函数单调性，奇偶性的综合问题： 1.已知函数)(x f 对任意R y x ∈,，，总有)()()(y x f y f x f +=+，且当0>x 时， 3 2)1(,0)(-= （1）求证：)(x f 是R 上是奇函数： （2）求证：)(x f 是R 上是减函数： （3)求)(x f 在[-3,3]上的最大值和最小值。 2.函数)(x f 的定义域D={}0|≠x x ，且满足对于任意D x x ∈21,，有 )()()(2121x f x f x x f +=? (1) 求)1(f 的值; (2) 判断)(x f 的奇偶性并证明； (3) 如果,3)62()13(,1)4(≤-++=x f x f f 且)(x f 在），（∞+0上是增函数，求x 的取值范围。 3.已知)(x f 对一切y x ,，满足)()()(,0)0(y f x f y x f f ?=+≠且当0 1)(>x f 。 求证：（1）当；时，1)(00<<>x f x （2）为减函数。在上R x f )( 4.已知]0,1[,),()(]1,1[)(-∈-=-b a x f x f x f 当上的函数，且是定义在时，且b a ≠ 2 1)41(,1)0(,0))](()([==>--f f b a b f a f 恒有。 的取值范围。 求若的取值范围恒成立，求实数对于）若（x x f m x m x f ,1)4 1 2(2)2(; ]1,1[32)(1>--∈+< 三、函数的对称性：（奇、偶函数的对称性可推广为更一般的函数对称性） （一）函数图像自身的对称性： 1.轴对称：函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称 ??? ??=+=?a x x x f x f 2 )()(2121? )()2()()()2()(x f x a f x a f x a f x a f x f -=+?-=+?-= 函数轴对称的结论： （1）、如果函数)(x f y =满足()()x f x f -=，则函)(x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。 （2）、如果函数)(x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线 a x =对称 （3）、如果函数)(x f y =满足)()2(x f x a f =-或 )()2(x f x a f -=+，则函数 )(x f y =的图象关于直线a x =对称 （4）、如果函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2 b a x += 对称。 2.中心对称： 函数)(x f y =的图像关于点),(b a 对称 ??? ????=+=+?b x f x f a x x 2)()(2 212 1? b x f x a f b x a f x a f b x a f x f 2)()2(2)()(2)2()(=-++?=-++?=-+ 函数中心对称的结论： （1）、如果函数)(x f y =满足0)()()()(=+--=-x f x f x f x f 或，则函数)(x f y =的图象关于原点()0,0对称。 （2）、如果函数)(x f y =满足0)()()(-)(=-++-=+x a f x a f x a f x a f 或，则函数 )(x f y =的图象关于点()0,a 对称。 （3）、如果函数)(x f y =满足b x a f x a f 2)()(=-++，则函数)(x f y =的图象关 于点()b a ,对称。 （4）、若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件：c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y = 的图象关于点 ( ,)22a b c +对称。 （二）两个函数图像的对称: （1）)(x f y =?? ??→←轴对称 关于x )(x f y -= 如：x y a log =与x y a 1log = （2）)(x f y =???? →←轴对称 关于y )(x f y -= 如：x a y =与x a y )1(= （3）)(x f y =???? →←关于原点对称 )(x f y --= 如：x a y =与x a y )1(-=, x y a log =与)(log 1x y a -= （4）)1,0(≠>=a a a y x ???? →←=对称 关于x y )10(log ≠>=a a x y a 且 区别：1：函数y=f(x －a)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=0对称。 2：函数y=f(a+x)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=a 对称。 （1）.若函数)(2)(R a x f a x ∈=-满足)1()1(x f x f -=+， 且)(x f 在),[+∞m 上递增，则实数m 的最小值等于 . （2.）（2018全国新课标Ⅲ文）下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对 称的是（ ） A ．ln(1)y x =- B ．ln(2)y x =- C ．ln(1)y x =+ D ．ln(2)y x =+ 四．函数的周期性 1.周期性的定义： (1)周期函数：对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义 域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 (2)最小正周期：如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的 正数叫做最小正周期。如果非零常数T 是函数()f x 的周期，那么T -、nT （*n N ∈）也是函数()f x 的周期。 2.周期性的拓展： （1）如果()()f x a f x b +=+（a b ≠），那么()f x 是周期函数，其中一个周期 T a b =-。 （2） 如果()()f x a f x b +=-+（a b ≠），那么()f x 是周期函数，其中一个周期 2T a b =-。 （3）周期函数的一些隐含条件 ①()()f x a f x +=-；② 1()()f x a f x += ；③1()()f x a f x +=- ；（经常出现） ④ ()1 ()()1f x f x a f x ++= -；⑤ 1()()1()f x f x a f x -+= +；⑥()()f x a f x a +=- 则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期。 注：同号看周期，异号看对称。 3. 奇偶性、对称性与周期性的关系： （1）、若)(x f y =的图象有两条对称轴x a =和()x b a b =≠，则)(x f y = 必为 周期函数，且 2b a -是它的一个周期；即：若函数)(x f y =满足f(a －x)=f(a ＋x)及f(b －x)=f(b ＋x) (a ≠b,ab ≠0),则函数f(x)有周期2b a - 特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a. （2）、若)(x f y =的图象有两个对称中心(,0)a 和(,0)()b a b ≠，则)(x f y =是一个以 2b a -为周期的周期函数；即：若函数f(x)满足f(a －x)= － f(a ＋x)及 f(b －x)=－ f(b ＋x)，(a ≠b,ab ≠0),则函数有周期2b a -. 特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a 。 （3）、若)(x f y =的图象有一个对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b ≠，则 )(x f y =是一个以 4b a -为周期的周期函数。即：若函数)(x f y =满足f(a －x)= f(a ＋x)及f(b －x)=－ f(b ＋x)，(a ≠b,ab ≠0),则函数有周期 4b a - 注：周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的作用。 1.（新课标卷Ⅱ）偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则=-)1(f 。 2. 奇函数)(x f 的定义域R ，若)2(+x f 为偶函数，且，则 等于 （ ） A.-2 B.-1 C.0 D.1 3.)(x f 是定义域在R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤ 五．函数性质的综合运用： 1.（2018全国新课标Ⅲ文）已知函数())1f x x =+，()4f a =，则 ()f a -=________． 2.函数31 2 )(x e t te x f x x +---=是奇函数，则常数t 等于 。 3.（2018全国新课标Ⅱ文、理）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=（ ） A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 4.若函数)(),(x g x f 分别是R 上的奇函数，偶函数，且满足x e x g x f =-)()(，则有（ ） A.)0()3()2(g f f << B.)2()3()0(f f g << C.)3()0()2(f g f << D.)3()2()0(f f g << 5.已知函数x x e e x x x f 1 2)(3- +-=，其中e 是自然对数的底数，若0)2()1(2≤+-a f a f ，则实数a 的取值范围是 . 6.已知奇函数)(x f 在R 上是增函数，)()(x xf x g =.若)1.5log (2-=g a ， )2(8.0g b =，)3(g c =，则a 、b 、c 的大小关系为 。 7.设函数2 11 )1ln()(x x x f +-+=，则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是（ ） A.)1,31( B.),1()31,(+∞-∞ C.)31,31(- D.) ,31 ()31,(+∞-∞ 8.已知定义R 上的函数)(x f ，若函数)2(+=x f y 为偶函数，且)(x f 对任意 ))(,2[,2121x x x x ≠+∞∈，都有0) ()(1 212<--x x x f x f ，若)13()(+≤a f a f ，则实数a 的 取值范围是（ ） A.]43,21[- B.]1,2[-- C.]21,(--∞ D.) ,43(+∞ 9.已知函数)(x f 是定义在区间]2,2[-上的偶函数，当]2,0[∈x 时，)(x f 是减函数，如果不等式)()1(m f m f <-成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.）2 1 ,1[- B.]2,1( C.)0,(-∞ D.)1,(-∞ 10.（2014·大纲卷Ⅱ）函数)(x f y =的图像与)(x g y =的图像关于直线0=+y x 对称，则)(x f y =的反函数是（ ） A.)(x g y = B.)(x g y -= C. )(x g y -= D.)(x g y --= 11.已知))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f -=-，若函数x x y 1 += 与)(x f y =图像的交点为),(,),,(),,(2211m m y x y x y x 则 = +∑=)(1 m i i i y x （ ） A.0 B.m C.2m D.4m 12.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)2(x f b x a f -=-， )0(8 8sin )(424≠+++=+x x b x x bx a x h ，设)(x h y =与)(x f y =的图像的交点坐标为 ),(,),,(),,(222211m m y x y x y x .若m y x i m i i 4)(21 =+∑=，则22b a +的最小值（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 基本初等函数及图形 (1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数） (2) 幂函数 μ x y =，μ是常数； (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称； 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 正切函数 x y tan =， 2π π+ ≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ， 余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ； 第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求： 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成 的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的 图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法. 1 第二讲 函数的性质（一） 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2 当x 1 五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如，， ，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的，且都经过（1,1）点。当 时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数： 的图形，如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2 图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数，定义域 ，值域；当时函数为单调增加 的；当时为单调减少的，曲线过点。高等 数学中常用的指数函数是时，即。以与 为例绘出图形，如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数 函数称为对数函数，其定义域 ，值域。当时单调增加，当 时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面 内。与互为反函数。当时的对数 函数称为自然对数，当时，称为常用对数。以为例绘出图形，如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ，它们都是周期函 数。对三角函数作简要的叙述： （１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。 图1-1-6正弦函数图形 图1-1-7余弦函数图形 （２）正切函数，定义域，值 域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为 ，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。 图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。 图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为 ，为无界函数，周期在定义域为奇函 数，图形如图1-1-11。 函数的基本性质 【巩固练习】 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =-数 C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3 ．函数y = ） A ．(]2,∞- B ．(]2,0 C ． [)+∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题： (1)函数f x ()的定义域(,0)(0,)-∞+∞，在0x <时是增函数，0x >也是增函数，则)(x f 在定义域上是增函数； (2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >； (3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞； (4) 1y x =+ 和y =表示相同函数。 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 7.函数x x x f -=2)(的单调递减区间是____________________。 一、一次函数与二次函数 （一）一次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递 增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，2max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 三、指数函数 （1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数 指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 （高中数学必修1）函数的基本性质 [B 组] 一、选择题 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数2 2)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =- C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2 ()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3 ．函数y = ） A ．( ]2,∞- B ．(]2,0 C ．[ )+∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2 212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数； (2)若函数2 ()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3) 2 23y x x =--的 递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+ 和y = 表示相等函数。 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 二、填空题 1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ， 那么0x <时，()f x = . 3．若函数2 ()1 x a f x x bx += ++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8， 最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________。 5．若函数2 ()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。 三、解答题 1．判断下列函数的奇偶性 （1）()f x = （2）[][]()0,6,22,6f x x =∈-- 2．已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立，证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数； （2）函数()y f x =是奇函数。 3．设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1 ()()1 f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式. 4．设a 为实数，函数1||)(2 +-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值。 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 函数专题1、函数的基本性质 复习提问： 1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。 2、如何求一个函数的定义域（特别是抽象函数的定义域问题） 3、如何求一个函数的解析式。（常见方法有哪些） 4、如何求函数的值域。（常见题型对应的常见方法） 5、函数单调性的判断，证明和应用（单调性的应用中参数问题） 6、函数的对称性（包括奇偶性）、周期性的应用 7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题 知识分类 一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）= x x | |，g （x ）=? ??<-≥;01,01x x （3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n － 1（n ∈N *）； （4）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2； （5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1. 二、函数的定义域（请牢记：凡是说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围） 1、求下列函数的定义域： (1)ｙ＝－221x ＋１(2)ｙ＝422--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x (5)ｙ＝ 3 1 42-+ -x x (8)ｙ＝3-ax （ａ为常数） 2、（1）已知f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域； （2）已知f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域； 3、若函数)(x f y =的定义域为[ 1，1]，求函数 )41(+=x f y ) 41 (-?x f 的定义域 5、已知函数682-+-= k x kx y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。 三、函数的解析式 求函数解析式常用的几种方法：待定系数法、换元法（代换法）、解方程法、 1、换元（或代换）法： 1、已知,1 1)1(2 2x x x x x f ++=+求)(x f . 基本初等函数 1?函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则 2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性复习的时候一定要从这四个方面去研究函数。 3.每个函数的图像很重要 O.幕函数（a为实数） 定义域：随a的不同而不同，但无论a取什么值，x A a在「’内总有定义值域：随a的不同而不同有界性: 单调性：若a>0,函数在；…内单调增加；若a<0,函数在人-内单调减少。 奇偶性: - 「要知道这些函数那 些事奇函数，那些是偶函数 周期性： 0.指数函数 八 定义域：.，■‘ I 有界性: 单调性： 若a>1函数单调增加；若0 O.对数函数"司唯口几3>0卫圧1) 1、定义域：：? r值域：'」‘) 有界性： 单调性：a>1时，函数单调增加；0 ?. 三角函数强调：图像 （―巩+ 正弦函数: j/ = sin 定义域： （-0D,十8） 有界性：[-1,1]有界函数 单调性：（-T/2,T/2）单调递增 奇偶性：奇函数 周期性：以心巧为周期的周期函数; 值域：[-1,1] 余弦函数：兀（一叫十 00） 定义域：I ■" 1值域：[-1,1] 有界性：[-1,1]有界函数 单调性： 奇偶性：偶函数 周期性：（腕） 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 例题：y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： b 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三 象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当00时，函数图象与x 轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为（ ）；当0a 时；当0 第二章函数概念与基本初等函数 I 一. 课标要求：函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重 要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f（x）的含义；了解函数构成的 三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2.了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景. 理解指数函数的概念和意义，掌握f（x）=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f（x）=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a>0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1（x）的意义. 1 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数y = x,y= x3,y=x-1,y = x2的图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3.函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法. 4.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维 [课题]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22） 计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容]： 学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。 1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。 第1课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（1） 【教学目标】 1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 会用定义证明函数的单调性 【教学重难点】 教学重点: 理解函数的单调性的含义及其几何意义. 教学难点: 用定义证明函数的单调性. 【教学过程】 一、引入课题 1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 2． ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x 2 ○ 1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 基本初等函数图像及性 质大全(初中高中) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 一、一次函数与二次函数 （二）二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 顶点坐标 2 4 , 24 b a c b a a ? ? - - ? ? ? 值域 2 4 , 4 ac b a ?? - +∞ ? ?? 2 4 , 4 ac b a ?? - -∞ ? ?? 单调区间 , 2 b a ?? -∞- ? ?? 递减 , 2 b a ?? -+∞ ? ?? 递增 , 2 b a ?? -∞- ? ?? 递增 , 2 b a ?? -+∞ ? ?? 递减 ①.二次函数2 ()(0) f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为, 2 x a =- 顶点坐标是 2 4 (,) 24 b a c b a a - - ②当0 a>时，抛物线开口向上，函数在(,] 2 b a -∞-上递减，在[,) 2 b a -+∞上递增，当2 b x a =-时， 2 min 4 () 4 ac b f x a - =；当0 a<时，抛物线开口向下，函数在(,] 2 b a -∞-上 递增，在[,) 2 b a -+∞上递减，当 2 b x a =-时， 2 max 4 () 4 ac b f x a - =． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数． 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <， 满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ； 满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ； 满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 [,)a b ，(,]a b ； 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． 基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 函数的四大基本性质知总结 基础知识： 1【奇偶性】 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数； 如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶 函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性. 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ①即定义域关于原点对称。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f (－x )与f (x )的关系； ③作出相应结论： （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称； 一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对 称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 1. 以下函数：（1）)0(1≠=x x y ；（2）14+=x y ；（3）x y 2=； （4）x y 2log =；（5）)1(log 22++=x x y ，(6)2 21)(2-+-=x x x f ； 其中奇函数是 ，偶函数是 ，非奇非偶函数是 。 2.已知函数)(x f =11++-x x ,那么)(x f 是( ) A.奇函数而非偶函数 B. 偶函数而非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数 2.【单调性】 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 16类基本初等函数的图形及性质(考研数学基础)_完美版
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