积分法计算pi值

积分法计算pi值
积分法计算pi值

Pi值计算(积分法)

程序清单:

#include

#include

#include

static long num_step;

const int Threadnum=10;

double step,pi=0,sum=0.0;

CRITICAL_SECTION g;

DWORD WINAPI threadFunc(LPVOID pParam)

{

int num=*((int *)pParam);

double x,sum1=0;

step=1.0/(double)num_step;

for(int i=num;i

{

x=(i+0.5)*step;

sum1+=4.0/(1.0+x*x);

}

EnterCriticalSection(&g);

sum+=sum1;

LeaveCriticalSection(&g);

return 0;

}

void main()

{

cout<<"输入分的块数:";

cin>>num_step;

LARGE_INTEGER temp;

double dFreq; //系统时钟

QueryPerformanceFrequency(&temp);

dFreq=(double)temp.QuadPart;// 获得计数器的时钟频率LONGLONG Start,End;

QueryPerformanceCounter(&temp);

Start=temp.QuadPart;// 获得初始计数器数值

HANDLE hthread[Threadnum];

InitializeCriticalSection(&g);

for(int i=0;i

{

hthread[i]=CreateThread(NULL, 0, threadFunc, &i, 0, NULL);

}

WaitForMultipleObjects(Threadnum,hthread,TRUE,INFINITE);

DeleteCriticalSection(&g);

pi=step*sum;

QueryPerformanceCounter(&temp);

End=temp.QuadPart;// 获得结束时计数器数值

//将计数器值换算成时间,以毫秒为单位,精确到微秒

double time=(double)((End-Start)*1000/dFreq);

cout<<"线程数:"<

cout<<"pi值:"<

cout<<"时间:"<

}

程序设计思想:

线程同步处理:

设置临界区域

实验运行结果:

线程数目不变,改变分块数目:

分块数目为10000

分块数目为100000

分块数目为1000000

分块数目不变,改变线程数目:线程数目为10:

线程数目为100:

线程数目为1000:

实验结论:

线程数目不变,分块数目增加,pi值精度提高。

分块数目不变,线程数目增加,时间反而增加,效率降低。

基本积分公式

§5.3基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) ( 5.6 ) (2) ( 5.7 ) (3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 )

(10) ( 5.15 ) (11) ( 5.16 ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有.

是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数)

重积分的计算方法

重积分的计算方法 重积分包括二重积分和三重积分,它是定积分的推广;被积函数由一元函数f(x)推广为二元函数f(x,y),三元函数(fx,y,z);积分围由数轴上的区域推广为平面域(二重积分)和空间域(三重积分)。我个人在学习与复习多重积分这一块时,感到多重积分的计算比较繁琐,而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点,重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分,本人结合前人的经验,在这里介绍几种常用的重积分计算方法,以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。 一.二重积分的计算 1.常用方法 (1)化累次积分计算法 对于常用方法我们先看两个例子

对于重积分的计算主要采用累次积分法,即把一个二重积分表达为一个二次积分,通过两次定积分的计算求得二重积分值,分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下: 第一步:画出积分区域D的草图; 第二步:按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序,并确定积分的上、下限; 第三步:计算累次积分。 需要强调一点的是,累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简,有些题这两种次序的难易程度可以相差很大,甚至对一种次序可以“积出来”,而对另一种次序却“积不出来”。所以,适当选择积分次序是个很重要的工作。 选择积分次序的原则是:尽可能将区域少分块,以简化计算过程;第一次积分的上、下限表达式要简单,并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。 (2)变量替换法 着重看下面的例子:

在计算定积分时,求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积分时,求积的困难来自两个方面,除了被积函数的原因以外还在而且,有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。 利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化,以便于用基本求积公式。 于积分区域的多样性。为此,针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。 (3)极坐标变换公式(主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ)

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下: (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时,常用到如下一些结论: (1)若积分曲线L 关于y 轴对称,则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称,则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.

(2)若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称,则 ()()=??L L f x ds f y ds . (3)若积分曲面∑关于xOy 面对称,则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称,则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称,则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. (4)若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ,则 [ (,)(),()()β α αβ=

空间曲线积分的计算方法

空间曲线积分的计算方法 (1)曲线积分的计算例1 计算,其中为平面被三个坐标平面所截三角形的边界,若从轴正向看去,定向为逆时针方向.方法一根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程,即可将曲线方程代入被积函数.解法一:设,则,,,则.由曲线积分的定义,有.同理可得: .所以.方法二将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算 格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系.解法二:设,,则,是围成的区域.代入原积分由格林公式得原式.化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值,但比格林公式要复杂得多.用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件,其次可用对称性简化计算.方法三根据对称性求曲线积分. 轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时,积分的值不变.当被积函数和积分域都具有轮换对称性,这种情形称为双轮换对称性;当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性.双轮换对称性把原题变成了原题,所以对我们解题没有任何帮

助.我们主要在讨论单轮换对称的情形.解法三:由题目特征可知该积分及曲线都具有轮换对称性,因此由对称性知原式.同样由对称性知原式.方法四根据公式求曲线积分 公式建立了空间曲线积分和曲面积分之间的联系,从而将曲线积分和曲面积分有机联系起来. 解法四: 设,方向为上侧,曲面上一点的外法线向量的方向余弦为由公式化为第一型曲面积分得原式.为解法一中所设的点组成的三角形.另解: 根据上面解法中所设,并设为在面上的投影.用公式化为第二型曲面积分得原式 .用公式将曲线积分化为曲面积分时,若曲面为平面化为第一型曲面积分较简单.

微积分计算公式

§3-6 常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵1 1 d (1)1 x x x c μ μμμ+≠-= ++? 特别, 2 1 1d x c x x =- +?, 3 223 x x c = +? , x c =? ⑶ 1 d ln ||x x c x =+? ⑷d ln x x a a x c a = +?, 特别, e d e x x x c =+? ⑸sin d cos x x x c =-+? ⑹cos d sin x x x c =+? ⑺ 2 2 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+?? ⑻ 2 2 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+?? ⑼arcsin (0)x x c a a =+>?,特别,arcsin x x c =+? ⑽2 2 1 1d arctan (0)x x c a a a a x = +>+?,特别, 21 d arctan 1x x c x =++? ⑾2 2 1 1d ln (0)2a x x c a a a x a x += +>--? 或 2 2 1 1d ln (0)2x a x c a a x a x a -= +>+-? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+? ⒀cot d ln sin x x x c =+? ⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+? = =?+?? ? ? ⒂πln sec tan 1 sec d d ln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =?? ?++ ?????? ?

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 作者:钟家伟 指导老师:张伟伟 摘要:本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算,重点是利用对称 性,参数方程,格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词:第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系,重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景,平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法,利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时, 求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变,而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P

二重积分的计算方法(1)

1 利用直角坐标系计算 1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分,可以直接化成二次积分来解决.在直角坐标系下,被积分函数(,)f x y 在积分区域D 上连续时,若D 为x 型区域(如图1),即 {}12(,)()(),D x y x x x a x b ??=≤≤≤≤,其中12(),()x x ??在[,]a b 上连续,则有 21() () (,)(,)b x a x D f x y d dx f x y dy ??σ=?? ?? ; (1) 若D 为y 型区域(如图2),即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤,其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续,则有 21() () (,)(,)d y c y D f x y d dy f x y dx ψψσ=?? ?? .[1] (2) 例1 计算2 2D y dxdy x ?? ,其中D 是由2x =,y x =,及1xy =所围成. 分析 积分区域如图3所示,为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ?? ≤≤≤≤????.确定了积分区域然后可以 利用公式(1)进行求解. 解 积分区域为x 型区域 ()1D=,12,x y x y x x ?? ≤≤≤≤???? 则 2 2 21221x x D y y dxdy dx dy x x =???? y y=x xy=1 D2 D1 x O 2 1 1 2 图3 图1

32 121 3x x y dx x ??= ???? 2 51 133x dx x ?? =- ???? 221412761264x x ??=+= ??? 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算 当被积函数的原函数比较容易求出,但积分区域并 不是简单的x 型或y 型区域,不能直接使用公式(1)或者(2)进行计 算,这是可以将复 杂的积分区域划分为若干x 型或y 型区域,然后利用公式 1 2 3 (,)(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? (3) 进行计算, 例2 计算二重积分D d σ??,其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域. 分析:积分区域D 如图5所示,区域D 既不是x 型区域也不 是y 型区域,但是将可D 划分为 ()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤?? ??=≤≤≤≤-均为x 型区 域,进而通过公式 (3)和(1)可进行计算. 解 D 划分为 ()1,01,22x D x y x y x ??=≤≤≤≤???? , (){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤- 则 1 2 D D D d d d σσσ=+??????12230 12 2 x x x x dx dy dx dy -=+?? ?? 1 20112322x x dx x dx ? ???=-+-- ? ???? ??? 1 2 22013333442x x x ??? ?=+-=??????? ? 1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算 3D o x y 1 D 2D 图 4 y x O x=2y y=2x x+y=3 图5

定积分计算公式和性质

第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续,并且设x 为上的任一点, 于是, 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限,又是积分变量,由于定积分与积分变量无关,故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动,则对 于每一个取定的x 值,定积分有一个确定值与之对应,所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数,我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看,也很显然。因为X 是上一个动点, 从而以线段 为底的曲边梯形的面积,必然随着底数 端点的变化而变化,所以阴影部分的面积是端点x 的函数(见图5-10) 图 5-10

定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的,有时甚至无法计算。因此,必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道:如果物体以速度作直线运动,那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面,如果物体经过的路程s 是时间t 的函数,那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是(见图5-11) 即 由导数的物理意义可知:即 是 一个原函数,因此,为了求出定积分,应先求出被积函数 的原函数 , 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义,便可得出计算定积分的一般 方法: 设函数在闭区间上连续, 是 的一个原函数, 即 ,则 图 5-11

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便,将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系,提供了计算定积分有效而简便的方法,从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续,利用前面学过的知识,可以 得到定积分以下几个简单性质: 图 5-12

归纳二重积分的计算方法

归纳二重积分的计算方法 摘 要 :本文总结出了求二重积分的几种方法,比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 :函数极限;计算方法;洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活,本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正 数ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??.

1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在1 2 D D 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ??()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分 (),d c f x y dy ? 存在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ??也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ?? ()() () 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分.

积分基本公式

2.基本积分公式表 (1)∫0d x=C (2)=ln|x|+C (3)(m≠-1,x>0) (4)(a>0,a≠1) (5) (6)∫cos x d x=sin x+C (7)∫sin x d x=-cos x+C (8)∫sec2x d x=tan x+C (9)∫csc2x d x=-cot x+C (10)∫sec x tan x d x=sec x+C (11)∫csc x cot x d x=-csc x+C (12)=arcsin x+C (13)=arctan x+C 注.(1)不是在m=-1的特例. (2)=ln|x|+C,ln后面真数x要加绝对值,原因是(ln|x|)' =1/x. 事实上,对x>0,(ln|x|)' =1/x;若x<0,则 (ln|x|)' =(ln(-x))' =. (3)要特别注意与的区别:前者是幂函数的积分,后者是指数函数的积分. 下面我们要学习不定积分的计算方法,首先是四则运算.

6. 复合函数的导数与微分 大量初等函数含有复合函数的成分,它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义. 定理.(链锁法则)设z=f(y),y=?(x)分别在点y0=?(x0)与x0可导,则复合函数z=f[?(x)]在x0可导,且 或(f o?)' (x0)=f '(y0)??'(x0). 证.对应于自变量x0处的改变量?x,有中间变量y在y0=?(x0)处的改变量?y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量?z,(注意?y可能为0).现 ?z=f'(y0)??y+v,?y='?(x0)?x+u, 且令,则v=?αy,(注意,当?y=0时,v=?αy仍成立).y在x 0可导又蕴含y在x0连续,即?y=0.于是 =f '(y0)?? '(x0)+0??'(x0)=f'(y0)??'(x0) 为理解与记忆链锁法则,我们作几点说明: (1) 略去法则中的x=x0与y=y0,法则成为公式 , 其右端似乎约去d y后即得左端,事实上,由前面定理的证明可知,这里并不是一个简单的约分过程. (2) 计算复合函数的过程:x→?y →?z 复合函数求导的过程:z→?y →?x :各导数相乘 例2.3.15求y=sin5x的导数. 解.令u=5x,则y=sin u.于是

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要:本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种:(1)定义法、(2)牛顿—莱布尼茨公式、(3)定积分的分部积分法、(4)定积分的换元积分法. 关键词:定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期,出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程,则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么,究竟什么是定积分呢?我们给定积分下一个定义:设函数()f x 在[],a b 有定义,任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=,有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑,若当()0l T →时,积分和(,)T σξ存在有限极限,设 ()0 ()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑,且数I 与分法T 无关,也与k ξ在[] 1,k k x x -的取法无关,即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?

第一类曲线积分的计算

第一类曲线积分的计算 1、定义 定义1 :设L 为平面上可求长度的曲线段,)y ,x (f 为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ,它把L 分成n 个可求长度的小曲线段)n ,,2,1i (L i ,i L 的弧长记为i s ,分割T 的细度为i n i 1s max T ,在i L 上任取一点(i , ).n ,,2,1i )(i 若存在极限J s ),(f lim i i n 1 i i 0T 且J 的值与分割T 及点),(i i 的取法无关,则称此极限为)y ,x (f 在L 上的第一型曲线积分,记作 .ds )y ,x (f L (1) 定义2: 若L 为空间可求长曲线段,)y ,x (f 为定义在L 上的函数,则可类似地 定义)z ,y ,x (f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为J s ),,(f lim i i i n 1 i i 0T , (此处i s 为i L 的弧长,i n i 1s max T , J 为一常数),并且记作 L .ds )z ,y ,x (f (2) 2、物理意义 (1)设某物体的密度函数f (P )是定义在 上的连续函数.当 是直线段时,应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题.首先对 作分割,把 分成n 个可求长度的小曲线段i (i=1,2,…,n),并在每一个i 上任取一点P i 由于f (P )为 上的连续函数,故当i 的弧长都很小时,每一小段i 的质量可近似地等于f (P i ) i ,其中 i 为小曲线段i 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和式 i n 1 i i )P (f

二重积分的计算方法

第二节 二重积分的计算法 教学目的:熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点:利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点:化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容: 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ; 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面 为顶的曲顶柱体的体积. f x y d D (,)σ?? f x y (,)≥0D a x b x y x ≤≤≤≤??12()()?1()x ?2()x [,]a b f x y d D (,)σ?? D z f x y =(,)

在区间上任意取定一个点,作平行于 面的平面,这平 面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为 一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得 截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X 的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对 , 后对的二次积分也常记作 [,]a b x 0yoz x x =0[(),()]??1020x x z f x y =(,)0A x f x y dy x x ()(,)()() 0010 20= ??? [,]a b x yoz A x f x y dy x x ()(,)()()= ???1 2V A x a dx f x y dy dx b x x a b ==????? ? ?????()(,)()() ?? 12dx dy y x f d y x f b a x x D ??????? ? ??????=)(2)(1),(),(??σx ),(y x f y ),(y x f )(1x ?)(2x ?x x a b y x

二重积分的计算法教案

教 案 参赛教师: 职称: 助教 所在院系: 数学与统计学院 所授课程: 高等数学 20XX年5月 第十章重积分 第二节二重积分的计算法 (第1课时) 教学目的:理解二重积分计算公式导出的方法,理解公式中符号的意义;熟练掌握X-型区域与Y-型区域上的积分公式,并能根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分.重点:X-型区域上二重积分的积分公式;根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分. 难点:选择合适的方法计算二重积分. 教学方法:直观教学,启发式讲授. 教学过程: 一、利用直角坐标系计算二重积分 1.积分区域D的分类

(1)积分区域D 为X-型区域 图1 图2 图1,图2表示的区域都是X-型区域. X-型区域的特点:穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 的边界的交点个数不超过两个. 用不等式组表示为 ).()(21x y x b x a D ??≤≤≤≤,: (2)积分区域D 为Y-型区域 图3 图3,图4表示的都是Y-型区域. Y-型区域的特点:穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 边界交点的个数不多于两个. 当积分区域为Y-型区域时,即 12:,()() D c y d y x y ψψ≤≤≤≤ 2.二重积分计算公式 (1)积分区域D 为X-型区域时 (,)D f x y d σ ??的计算公式. 当0),(≥y x f 时,由二重积分的几何意义 (,)D f x y d σ ??的值等于以D 为底,以(,)z f x y =为顶的 曲顶柱体(图5)的体积V . 即 ??=D d y x f V σ ),(. 过x 轴上 x 点作平行于yOz 的平面 x π, 0a x b ≤≤ . 图5 x π截V 得一以1020[(),()]x x ??长为底,0(,)z f x y =为曲边的曲边梯形, 其面积为 2010() 00() ()(,)x x A x f x y dy ??=? . y x O ) (2y d c

重积分运算的常用解法

积分运算的常用方法 Warren K 引言: 本学期课程的一大重点在于重积分的运算、利用重积分解决实际问题的微元法以及线面积分及其应用。这里根据自己学习的一些心得以及课本和参考书籍上的知识,归纳总结一些积分运算的常用方法。 一、 二重积分 (1)、化为累次积分 公式 ? ? ? ? ?? ==b a x y x y d c y x y x s dxdy y x f dxdy y x f ds y x f ) (2) (1) (2) (1) (),(),(),( 例1:计算??) (s xyds ,其中S 为抛物线x y =2与直线2-=x y 所围成的区域. 解 将S 视为y 型区域,先对x 后对y 积分,得 855])2[(5.02 1 4 22 1 2 ) (2=-+==?????--+dy y y y xydx dy xyds y s y 如果用直线 把此区域(S )分成两部分,那么(S )可以看作是两个x 型区域的并。先对y 后对x 积分得 ??????--+=41 2 1 ) (x x x x s xydy dx xydy dx xyds 由上式可以得出同样的结果,但这种方法显然要麻烦一些。从这也可以看到,计算二重积分时,选取适当的积分顺序是一个值得注意的问题。如果积分顺序选择不当,不仅可能引起计算上的麻烦,而且可能

导致积分无法算出。 (2)、化为极坐标 若积分域(S )与被积函数f(x,y)用极坐标表示更为简便,则应考虑将其化为极坐标的二重积分来计算。为此,建立极坐标系,令极点与xOy 直角坐标系的原点重合,x 轴取为极轴。利用直角坐标与极坐标的转换公式 ),20,0(sin ,cos π?ρ?ρ?ρ≤≤+∞≤≤==y x 将(S )的边界曲线化为极坐标,并把被积函数变换为 ).sin ,cos (),(?ρ?ρf y x f = 接下来就是把面积微元由极坐标表示出来, .?ρρ??≈?s 从而 ??????==β α?ρ?ρ ρρ?ρ?ρ??ρρ?ρ?ρ) () (21)sin ,cos (.)sin ,cos (),(d f d d d f ds y x f s s =??b a d f d ) ()(21 )sin ,cos (ρ?ρ??ρ?ρ?ρρ 例2:)0() (4102 2 2 2 2>+-=??-+--a dy y x a dx I a x a a x 解:将原积分化为极坐标下的累次积分计算. a d a d I a 2 2 240 4sin 20 2 2 -= -=?? --πρρ ρ θπθ (3)、曲线坐标下二重积分的计算法 1.正则变换 二重积分??) (),(s ds y x f

空间曲线积分的计算方法

空间曲线积分的计算方法. (1)曲线积分的计算 例1 计算222222()()()C I y z dx z x dy x y dz =-+-+-?,其中C 为平面 1=++z y x 被三个坐标平面所截三角形的边界,若从x 轴正向看去,定向为逆时针方向. 方法一 根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算 根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程,即可将曲线方程代入被积函数. 解法一:设(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D ,则0,1:==+z y x ,:1,0BD y z x +==,:1,0DA x z y +==,则:C AB BD DA ++.由曲线积分的定义,有 dz y x dy x z dx z y AB )()()(222222-+-+-? 32])1[(0122-=+-= ?dx x x . 同理可得: 222222()()()BD y z dx z x dy x y dz -+-+-? 2222222()()()3 DA y z dx z x dy x y dz =-+-+-=-?. 所以 2AB BD DA I =++=-???. 方法二 将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算 格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系. 解法二:设)0,0,0(O ,OA BO AB L ++:1,则dy dx dz y x z --=--=,1,D 是1L 围成的区域.代入原积分由格林公式得 原式))((])1[(])1([2222221dy dx y x dy x y x dx y x y L ---+---+---=? ??-=-=D dxdy 24. 化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值,但比格林公式要复杂得多.用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件,其次可用对称性简化计算. 方法三 根据对称性求曲线积分. 轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时,积分的值不变.当被积函数和积分域都具有轮换对称性,这种情形称为双轮换对称性;当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性.双轮换对称性把原题变成了原题,所以对我们解题没有任何帮助.我们主要在讨论单轮换对称的情形. 解法三:由题目特征可知该积分及曲线C 都具有轮换对称性,因此由对称性知 原式dz y x dy x z dx z y )()()(3222222-+-+-=?

会员积分计算公式

积分回报率 C=c1*c2(00,c2>0) C1:消费者每消费1元钱可以得到的积分,我们称之为积分增长率 C2:每个积分可以换取的礼品所折合的市场公允价值。由于商家的积分回报是为了取得利润,因此,c2我们称之为积分转换率 招商银行现金消费20元(A)-积累积分1积分(B), 消费积分300积分(C)抵扣消费20元(D)冰淇凌 C=c1*c2=(1/20)*(20/300) C=c1*c2=(B/A)*(D/C) C=c1*c2=(积累积分/现金消费)*(抵扣消费/消费积分) 会员积分营销四种类型 以现金为反馈 现金消费10元—积累1积分—消费1积分—抵扣消费1元 A B C D 积分回报率c=(1/10)*(1/1)=10% (当积分可以抵扣现金时,积分回报率也称作积分返比) (B/A)*(D/C) (积累积分/消费现金)*(抵扣消费/消费积分) 以商品为反馈 现金消费10元—积累1积分—消费10积分—抵扣价值10元商品 A B C D 积分回报率=(1*10)/(10*10)=10%

(积累积分*消费现金)/(抵扣消费*消费积分) 以物资或荣誉为反馈 该营销方式用户互联网营销或者在线游戏,作为反馈提供给消费者(头衔/昵称/更改头像/编辑签名等)本身并无实际价值,仅作为该用户使用时间或者游戏时间长短的象征,但作为消费者而言,该虚拟荣誉可以作为经验丰富或者信誉良好的保证并满足了其个性化需求。以服务为反馈 通常用于VIP服务,针对针对消费力非常强或者消费频次很高的客人,会有专属经理服务,例如,专属包间,专属车位,专属定制化服务等。 积分玩法 一·当钱花——最直接体现积分的价值 通过积分提醒或者消费比例变换达到不同的营销效果 1/积分唤醒:1带动消费2避免哄抢 2/闲时积分活用 3/特殊时间积分翻倍 二·随心送——将积分看作企业发行的货币 代金券/菜品券/自产品/礼品 1/积分商城:兑换的本质在于消耗和带动 2/积分换礼:储值礼品积分换 3/积分跨业态通兑:资源的活用 三·中奖——积分换取抽奖的权利 触发娱乐心理,中奖在于带动消费

高等数学三重积分计算方法总结

高等数学三重积分计算方法总结 1、利用直角坐标计算三重积分: (1)投影法(先一后二): 1)外层(二重积分):区域Ω在xoy 面上的投影区域Dxy 2)内层(定积分): 从区域Ω的底面上的z 值,到区域Ω的顶面上的z 值。 (2)截面法(先二后一): 1)外层(定积分): 区域Ω在z 轴上的投影区间。 2)内层(二重积分):Ω垂直于z 轴的截面区域。 2、利用柱坐标计算三重积分 3、利用球面坐标计算三重积分 定限方法: (1)转面定θ(2)转线定φ (3)线段定r 4、利用对称性化简三重积分计算 设积分区域Ω关于xoy 平面对称, (1)若被积函数 f (x,y,z ) 是关于z 的奇函数,则三重积分为零。 (2)若被积函数 f (x,y,z ) 是关于z 的偶函数,则三重积分等于:在xoy 平面上方的半个Ω,区域上的三重积分的两倍. 使用对称性时应注意: 1)积分区域关于坐标面的对称性; 2)被积函数关于变量的奇偶性。 (cos ,sin ,)f z d d dz ρθρθρρθΩ???(,,)f x y z dv Ω=??? (,,)f x y z dxdydz Ω??? (sin cos ,sin sin ,cos )f r r r φθφθφΩ=???2 sin r drd d φφθ

例 计算 ,其中Ω是由曲面z = x 2 + y 2和x 2 + y 2 + z 2 =2所围成的空间闭区域. 解: 是关于x 的奇函数,且Ω关于 yoz 面对称 故其积分为零。 2x 2 y 是关于y 的奇函数,且关于 zox 面对称 ???Ω++dxdydz z y x x 2)(2 )(z y x x ++ 22222222)(zx xyz y x z y x x +++++=xyz z y x x 2)(222+++ ,022???Ω=∴ydv x ???Ω++=∴dxdydz z y x x I 2)(,22???Ω=zdxdydz x ???Ωθρρ??θρ=dz d d z 22cos 2????θρρθ=zdz d d 23cos 2 ??πρρ-ρ-θρθ=20104 223)2(cos d d 245π=222ρ-ρπ20

常用微积分公式大全

常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为, 故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有. 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分

下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解:由于,所以 (为任意常数) 例3 求不定积分.

分析:将按三次方公式展开,再利用幂函数求积公式. 解: (为任意常数) 例4 求不定积分. 分析:用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解: (为任意常数) 例5 求不定积分. 分析:基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式: 解:

相关文档
最新文档